1、5.5.一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系教学目标教学目标1、掌握一元二次方程的根与系数的关系的关系并会初步应用。2、提高学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。3、渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。4、通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合、 判断的能力。 激发学生发现规律的积极性， 鼓励学生勇于探索的精神。【过程与方法】通过探究一元二次方程的根与系数的关系， 培养学生观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.【教学重点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.【教学难点】一元二次方程根与系数
2、之间的关系的运用.教学过程教学过程一、情境导入，初步认识一、情境导入，初步认识1.1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？2.2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？3.3.一元二次方程的根的情况怎样确定？一元二次方程的根的情况怎样确定？完成下列表格你发现了什么规律？)0(02acbxax)04(2422acbaacbbxacb42没有实数根两个相等的实数根两个不相等的实数根000用语言叙述你发现的规律： （两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项）设方程 x2+px+q=0 的两根为 x1,x2，用式子表示你发现的规律.（x1,+x2=p
3、,x1x2=q）完成下列表格上面发现的结论在这里成立吗？（不成立）请完善规律：用语言叙述发现的规律： （两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比） 设 方 程 ax2+bx+c=0 的 两 根 为 x1,x2， 用 式 子 表 示 你 发 现 的规 律 .（x1+x2=-ab,x1x2=ac）二、思考探究，获取新知二、思考探究，获取新知通过以上活动你发现的规律，对一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）这一规律是否也成立？试通过求根公式加以证明.ax2+bx+c=0 的两根aacbbx2421,aacbbx2422, x1+x2=-ab,x1x2=
4、ac.特别强调：根与系数的关系存在的前提条件是特别强调：根与系数的关系存在的前提条件是： （1)a1)a0(2)b0(2)b2 2-4ac-4ac0 0【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系，体会知识形成的过程，加深对知识的理解.例 1不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：（1）x2-6x-15=0;（2）3x2+7x-9=0;（3）5x-1=4x2.例 2已知方程 2x2+kx-9=0 的一个根是-3，求另一根及 k 的值.解：另一根为23，k=3.【教学说明】本题有两种解法，一种是根据根的定义，将 x=-3 代入方程先求 k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关
5、系解答.变式训练1、方程 2x2+3x+ k =0 的一个根是-3，求另一根及 k 的值.2、已知方程 ax2+3x-9 =0 的一个根是-3，求另一根及 a 的值.例 3已知,是方程 x2-3x-5=0 的两根，不解方程，求下列代数式的值.三、运用新知，深化理解三、运用新知，深化理解1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积:（1）x2-3x=15（2）5x2-1=4x22.两根均为负数的一元二次方程是（）A.7x2-12x+5=0B.6x2-13x-5=0C.4x2+21x+5=0D.x2+15x-8=0【教学说明】 两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为
6、正数.引申引申:1:1、若、若axax2 2 bxbx c c 0 0 ( (a a 0 0 0)0)（1 1）若两根互为相反数）若两根互为相反数, ,则则b b 0;0;（2 2）若两根互为倒数）若两根互为倒数, ,则则a a c;c;（3 3）若一根为）若一根为 0,0,则则c c 0 0 ; ;（4 4）若一根为）若一根为 1,1,则则a a b b c c 0 0 ; ;（5 5）若一根为）若一根为 1,1,则则a a b b c c 0;0;（6 6）若）若a a、c c异号异号, ,方程一定有两个实数根方程一定有两个实数根. .四、师生互动，课堂小结四、师生互动，课堂小结1 一元二
7、次方程根与系数的关系是什么?2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当 b2-4ac0 时，才能应用根与系数的关系.五、课后拓展应用已知x1,x2是关于一元二次方程方程x2+(2+(2m m 1)1)x x （m m2 2+1+1） 0 0 的两实数根的两实数根1）用含 m 的代数式表示 x12+x222)当x12+x22=15 的时候，求 m 的值六、课后作业1.P36 页 10、11 题2.完成练习册本课时的习题.教学反思教学反思本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系， 再猜想一般一元二次方程的根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑思维能力.胡晓萍
