1、洛阳市洛阳市 2019-20202019-2020 学年第二学期期中考试学年第二学期期中考试高一数学试卷高一数学试卷第第卷（选择题）卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. .1.sin510 （）.A.12B.12C.32D.32【答案】A【解析】【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】1sin510sin 360150sin150sin302 .故选：A.【点睛】本题考查了诱导公式化简求值，属于简单题.2.函数 44cossin22xxf x 的最小正周期为（）.A.2B.C.2D.4【
2、答案】C【解析】【分析】先化简函数得 cosf xx，即得函数的最小正周期.【详解】由题得 442222cossin(cossin)(cossin)cos222222xxxxxxf xx.所以函数的最小正周期为2.故选：C.【点睛】本题主要考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的应用，考查余弦函数的最小正周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.若2 k,21 k,其中k Z,则角与的终边（）.A. 关于原点对称B. 关于x轴对称C. 关于y轴对称D. 关于yx对称【答案】C【解析】【分析】根据角度的终边周期性分析即可.【详解】根据角度的性质有2 k与的终边相同,21 k与的终边相同,且的
3、终边与的终边关于y轴对称,故角与的终边关于y轴对称.故选：C【点睛】本题主要考查了角度性质辨析.属于基础题.4.如果单位向量a与b的夹角为3，则ab（）.A. 1B.3C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】利用2222ababaa bb ，结合, a b 的模长和数量积进行求解.【详解】因为2222ababaa bb ，又, a b 为单位向量，且, a b 的夹角为3，所以1cos32a ba b ，所以222121 1232ababaa bb .故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的概念：cos,a ba ba b ，向量的模一般要转化为2aa来求，属于基础题.5.下面结论正确的是（）
4、.A. 若a，b是单位向量，abB. 若四边形ABCD内一点O满足OAOCOBOD ，则ABCD是平行四边形C. 若向量a，b共线，则ababD. 若a cb c ，则ab【答案】B【解析】【分析】根据单位向量的定义，向量的减法运算，共线向量的性质以及向量数量积的运算，分别对四个选项进行判断，从而得到答案.【详解】选项 A 中，a，b是单位向量，而单位向量也是有方向的，只有a，b是单位向量且方向相同时，才有ab，所以错误；选项 B 中，因为点O为四边形ABCD内一点，OAOCOBOD 所以OA OBODOC ，所以BACD ，又BA 与CD 不共线，所以可得BACD且BACD，所以ABCD是平
5、行四边形，所以正确；选项 C 中， 当向量a，b同向时， 有abab， 当向量a，b反向时， 有abab，所以错误；选项 D 中，因为a cb c ，所以cos,cos,aca cbcb c 即cos,cos,aa cbb c ，不能得到ab，所以错误.故选：B.【点睛】本题考查单位向量的定义，向量的减法运算，共线向量的性质以及向量数量积的运算，属于简单题.6.满足tancossin的一个可能值为（）.A.12B.38C.916D.1312【答案】C【解析】【分析】借助三角函数的单调性，采用中间值法，逐一判断四个选项，即可得到答案.【详解】当12时，2coscos1242，2sinsin124
6、2，不满足cossin，所以 A 选项错误；当38时，3tantan184，3cos18，不满足tancos，所以 B 选项错误；当916时，93tantan1164 ，91cos016 ，9sin016，满足tancossin，所以 C 选项正确；当1312时，1352coscos1242 ，1352sinsin1242 ，不满足cossin，所以 D 选项错误.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的单调性，熟记特殊三角函数值是本题的解题关键，属于基础题.7.下列函数既不是奇函数，也不是偶函数的是（）.A.sinyxxB.2cosyxxC.1tantanyxxD.sincosyxx【答案】D
7、【解析】【分析】直接利用函数奇偶性的定义逐一判断四个选项，即可得到答案.【 详 解 】 对 于 A ， sinyf xxx， 定 义 域 为R， 关 于 原 点 对 称 ， sinsinfxxxxxf x ，则sinyxx为偶函数；对于 B， 2cosyf xxx，定义域为R，关于原点对称， 22coscosfxxxxxfx ，则2cosyxx为偶函数；对于 C， 1tantanyfxxx，定义域为,2kx xkZ，关于原点对称， 11tantantantanfxxxf xxx ，则1tantanyxx为奇函数；对于 D， sincosyf xxx，定义域为R，关于原点对称，sincossin
8、cosfxxxxx ， fxf x，且 fxfx ，则sincosyxx既不是奇函数，也不是偶函数.综上，D 选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查的是函数的奇偶性，属于基础题.定义法判断函数的奇偶性，分为三步： （1）定义域关于原点对称，若不对称，则函数 fx既不是奇函数，也不是偶函数，若对称，则进行下一步； （2）求fx； （3）若 fxf x，则 fx为偶函数；若 fxfx ，则 fx为奇函数；若 fxf x，且 fxfx ，则 fx既不是奇函数，也不是偶函数.8.已知函数 sin4cos 4136f xxx，则下列判断错误的是（）.A. fx的最小正周期为2B. fx的图象关于直线2
9、4x 对称C. fx的值域为1,3D. fx的图象关于点,16对称【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换进行化简，再根据正弦型函数的图象和性质，即可得出答案.【详解】 sin4cos 4136f xxxsincos4cossin4cos4 cossin4 sin13366xxxx3131cos4sin4cos4sin412222xxxx3cos4sin41xx2sin 413x242T，所以， fx的最小正周期为2，A 选项正确；432xkkZ，解得244kxkZ，所以，B 选项错误；由1sin 413x ，得12sin 4133x ，即 fx的值域为1,3，故 C 选项正确；43xkkZ
10、，解得124kxkZ ，所以 fx的对称中心为,1124kkZ，故 D 选项正确.故选：B.【点睛】本题考查了三角恒等变换及正弦型函数的图象和性质，考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.9.在边长为 1 的正方形ABCD内,以AB为直径作半圆,若点M为半圆（包括端点A,B）上任意点,则MAMBMCMD 的取值范围是（）.A.0,2 2B.0,2 2C.0,4 2D.0,4 2【答案】A【解析】【分析】设正方形的中心为O,再根据平面向量的加法法则,将MAMBMCMD 转换为MO 的关系表达,再分析取值范围即可.【详解】设,AB DC的中点分别为,Q P,正方形的中心为O.根据正方形的对称性可
11、知O为,Q P中点.根据平面向量的加法有222 24MAMBMCMDMQMPMOMO .易得当M在O处4 MO 取最小值 0；当M在,A B处4 MO 均可取最大值为42 2AO .故MAMBMCMD 的取值范围是0,2 2.故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量的加法运用,需要根据题意结合平面向量的线性运算转换.属于中档题.10.函数 sin0,0,2f xAxA的图象关于3x对称，将 yf x图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，所得图象对应的函数为 g x，若 g x的最小正周期是2，且12g，6f（）.A.2 33B.33C.33D.2 33【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的
12、图象变换及最小正周期，求出值，再利用三角函数的对称轴及的范围，求出值，利用12g，求出A值，进而求出6f.【详解】将 yf x图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，所得图象对应的函数为 sin2xg xA，因为 g x的最小正周期是2，所以222，解得2，所以 sing xAx， sin 2f xAx，22xkkZ，解得242kxkZ，所以，函数 fx关于242kxkZ对称，所以2342kkZ，且2，解得6 ，所以 sin 26f xAx，12g，即sin126A，即sin13A，解得2 33A ，所以 2 3sin 236f xx，2 32 313sin6336323f.故选：C.【点睛
13、】本题考查了三角函数的图象变换、利用最小正周期求参数、利用三角函数的对称轴求参数及特殊角的三角函数值，考查学生的运算求解能力，属于中档题.11.已知函数 2sin0,2fxx的图象过点0, 3,且在5,12 12上单调,把 fx的图象向右平移个单位与原图象重合,若130,12x时,直线yt与 yf x有三个不同的交点,则实数t的取值范围是（）.A.2, 3B.0,2C.0,2D.3,2【答案】D【解析】【分析】根据 fx过点0, 3可得3,再根据 fx在5,12 12上单调,且 fx的图象向右平移个单位与原图象重合可得2.进而求得 2sin 23f xx.再根据三角函数图像性质数形结合分析实数
14、t的取值范围即可.【详解】因为函数 2sinf xx的图象过点0, 3,故3sin2,又2,故3.又 fx在5,12 12上单调且0,故1 2521212,即03.又因为 fx的图象向右平移个单位与原图象重合,故2,kkZ,所以2.故 2sin 23f xx.当130,12x时,52,332x.再分析 52sin ,32g xx x可得：2sin333g,数形结合可知当直线yt与 g x有三个交点时,3,2t.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质综合运用,包括三角函数解析式的求解、数形结合求解参数范围的问题等,需要结合三角函数的单调性与周期性等分析.属于难题.12.已知点O为AB
15、C内一点， 满足3OAOBOC ， 若13AOBABCSS， 则（） .A.2B.12C.12D. 2【答案】A【解析】【分析】利用数乘的定义作图，作13OBOB ，1OCOC ，构造出O是11ABC的重心，根据重心性质，及三角形面积比得出结论【详解】点O为ABC内一点，满足3OAOBOC ，0，如图，作13OBOB ，1OCOC ，则110OAOBOC ，O是11ABC的重心，11 111 113OABOB COACAB CSSSS，由13OBOB ，1OCOC ，知113OABOABSS，1 11 111133OBCOB COB CSSS ，11OACOACSS，111:():()33OA
16、BOBCOCASSS，113111333OABABCSS，解得2 故选：A【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是利用数乘定义构造出以O为重心的11ABC，然后利用面积比得出结论第第卷（非选择题）卷（非选择题）二、填空题：二、填空题：13.若tan2，则cos2_【答案】13【解析】【分析】先由二倍角公式将cos2化为22cossin，再根据同角三角函数基本关系即可求出结果.【详解】因为tan2，所以2222221tan1cos21tan3cossincossin .【点睛】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型.14.在平面直角坐标系中，已知3,4A
17、，将OA绕原点O逆时针旋转45到OB，则点B的横坐标为_.【答案】22.【解析】【分析】作出图形，求出OA，以及sinAOC，cosAOC，利用两角和与差的三角函数求出点B的横坐标，即可得解.【详解】如图，过点A作ACx轴于点C，作ADy轴于点D，作BEx轴于点E，作BFy轴于点F，由3,4A，则5OA，4sin5AOC，3cos5AOC，将OA绕原点O逆时针旋转45到OB，所以，点B的横坐标为：324225cos45552522AOC .故答案为：22.【点睛】本题考查了坐标与图形的变化旋转，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键，作出图形更形象直观.15.在梯形ABCD中，/AB CD，AC为
18、DAB的平分线，且30CAB，若10AB ，4 3AC ，则AD CB _.【答案】4【解析】【分析】由题意画出图形，由平面几何的知识可得4AD，利用平面向量线性运算法则可得AD CBADABAC ，再利用平面向量数量积的运算律及定义即可得解.【详解】由题意画出梯形ABCD的图形，如图：/AB CD，AC为A的平分线，且30CAB，30CADDCACAB ，60DAB，ADCD，又10AB ，4 3AC ，取AC的中点E，连接DE，则2 34cos32AEADEAD，AD CBADABACAD ABAD AC coscosADABDABADACDAC 134 104 4 3422 .故答案为：
19、4.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量数量积的运算律及定义，关键是对于条件进行合理转化，属于基础题.16.已知函数 2 cos02f xx x，设函数 fx图象的最高点从左至右依次为0A，1A，2A， fx与x轴的交点从左至右依次为0B，1B，2B，在线段22A B上取 10个不同的点1C，2C，3C，10C，则1112110OA OCOA OCOA OC L_.【答案】100【解析】【分析】由题意结合三角函数的性质画出函数图象，进而可得12, 2A，24, 2A，25,0B，利用平面向量数量积的坐标运算可得1220OABA 即120nOA A C ，连接2OA，由平面向量线
20、性运算法则可得1122nnOA OCOAOAA C ，再利用平面向量数量积的运算律及坐标运算即可得解.【 详 解 】 函 数2cos02yx x的 最 小 正 周 期242T， 将 函 数2cos02yx x位于x轴上方的图象不变、位于x轴下方的图象翻折到x轴上方后即可得函数 2 cos02f xx x的图象，如图所示：可得12, 2A，24, 2A，25,0B，所以12, 2OA ，221,2BA ，所以122220OABA ，由1,2,310nCn 在线段22A B上可得120nOA A C ，连接2OA，则24, 2OA ，所以11221212nnnOA OCOAOAA COA OAOA
21、 A C 2 422010 ，1,2,310n ，所以111211010 10100OA OCOA OCOA OC L.故答案为：100.【点睛】本题考查了三角函数图象的应用，考查了平面向量线性运算、数量积的应用与运算求解能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. .17.（1）求值：sin20 cos110cos200 sin70；（2）已知是第二象限角，化简1 sin 1 sin 21 sin 1 sin.【答案】 （1）1； （2）2cos.【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用22sinc
22、os1即可得到结论；（2）根据是第二象限角，得到sin与cos的符号，再利用二次根式的性质即可得到结论.【详解】 （1）原式sin20 cos 9020cos 18020sin 902022sin20sin20cos20 cos20sin 20cos 201 （2）由是第二象限角，则sin0，cos0，所以，1 sin1 sin 21 sin1 sin1 sin1 sin1 sin1 sin2coscoscossincoscossincos21 sin1 sincoscos .【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关
23、键18.已知,2A x，2,3B，2,5C .（1）若1x ，判断ABC的形状，并给出证明；（2）求实数x的值，使得CACB 最小；（3）若存在实数，使得CACB ，求x、的值.【答案】 （1）ABC为直角三角形； （2）5； （3）34,2x.【解析】【分析】（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为 0，即可证明；（2）根据题意可得6, 5CACBx ，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；（3）利用向量共线可得方程组，解得即可.【详解】 （1）当1x 时，ABC为直角三角形.证明如下：当1x 时，由1,2A，2,3B，2,5C ，则3,3AC ，1,1AB ，此时3
24、1 3 10AC AB ，即ACAB ，即2A，所以，ABC为直角三角形.（2）由题意，2, 3CAx ，4, 2CB ，则6, 5CACBx ，所以，26255CACBx ，当且仅当6x 时取等号.故当6x 时，CACB 取得最小值为5.（3）由题意，2, 3CAx ，4, 2CB ，因CACB ，所以2432x ，解得432x.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题.19.已知函数 sin0,0,2fxAxA的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为3，图象上一个最低点为5, 2.（1）求 fx的解析式；（2）当0,3x时，
25、求 fx的最值，以及取得最值时的x值.【答案】 （1） 12sin36xfx； （2）当0 x 时， fx取最小值1；当2x时， fx取最大值2.【解析】【分析】（1） 由函数的最低点可求得2A ， 由函数图象与x轴相邻两个交点的距离为3可得6T，由2T可得，再代入点5, 2求出后即可得解；（2）由0,3x可得15,3666x ，由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】 （1）函数 fx图像上的一个最低点为5, 2，0A，2A ，又函数 fx的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为3，函数的最小正周期6T即26，解得13， 12sin3f xx，152sin523f ，5sin13 ，52,
26、32kkZ 即132,6kkZ ，又2，令1k ，6 ， 12sin36xfx；（2）当0,3x时，15,3666x ，当1366x 即0 x 时， fx取最小值， min2sin16fx ；当1362x即2x时， fx取最大值， max2sin22f x.当0 x 时， fx取最小值1；当2x时， fx取最大值2.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了三角函数图象的确定与运算求解能力，关键是对于知识点的熟练应用，属于中档题.20.已知3a ，2,2 3b ，且a与b夹角为23.（1）求2ab；（2）若43akbab，求实数k的值.【答案】 （1）7； （2）34.【解析】【分析】
27、（1）由题意结合平面向量模的坐标表示可得4b ，利用平面向量数量积的定义可得a b，再利用222abab化简即可得解；（2）由题意结合平面向量垂直的性质可得 430akbab，由平面向量数量积的运算律化简即可得解.【详解】 （1）2,2 3b ，4 124b ，又3a ，a与b夹角为23，21cos3 4632a bab ，2222244924647ababaa bb；（2）43akbab， 2243443324180akbabaka bkbk，34k .【点睛】本题考查了平面向量数量积的求解与应用，考查了运算求解能力，关键是对于条件的合理转化，属于基础题.21.已知正方形ABCD的边长为 1
28、，P，M，N分别为AB，BC，DA上的点.（1）如图，当APPBuu u ruur，0PM PN 时，求MPN面积的最小值；（2）如图，当APN周长为 2 时，求PCN的大小.【答案】 （1）14； （2）4.【解析】【分析】（1）设MPB，则ANP，由题意结合三角函数的概念、正弦的二倍角公式可得1124sin2MPNSPN PM，求得sin2的最大值即可得解；（2）设APx，ANy，PCB，DCN，由题意结合正切的概念及和角公式可得2tanxyxyxy，再结合三角形周长即可得解.【详解】 （1）由题意可得12APPB，PMPN，设MPB，则ANP，1sin2sinAPPNANP，1cos2c
29、osPBPMMPB，11128sincos4sin2MPNSPN PM，当sin21即4时，MPN的面积取最小值，最小值为14；（2）设APx，ANy，PCB，DCN，则tan1PBxBC ，tan1DNyDC ，则2tantantan1tantanxyxyxy，APN周长为 2，222xyxy，化简得22xyxy，22tan122xyxyxyxyxyxy，又02，4，24PCN.【点睛】本题考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.22.已知 4422sin2coscos2442xxxf x .（1）试用五点作图法画出函数 fx在0,2x上的简图
30、；（2） 定义在,5上的减函数 g x， 若 2212g afxg afx 对xR恒成立，求实数a的取值范围.【答案】 （1）见解析； （2）1102,2.【解析】【分析】（1）由题意结合降幂公式可得 cosf xx，利用五点法即可得解；（2）由题意结合函数的单调性和定义域可得221 cossin5axax 对xR恒成立，转化条件为22151sin24aax 、25sinax对xR恒成立，利用恒成立问题的解决方法结合三角函数的性质即可得解.【详解】 （1）由题意可得 4422sin2coscos2442xxxf x 22221 cos1 cos2222cos22cos1cos2222xxxxx
31、 ，列表如下：x02322 fx10101则函数 fx在0,2x上的简图如下：；（2） g x为定义在,5上的减函数， 2212g afxg afx 对xR恒成立， 22152afxafx 即221 coscos52axax 对xR恒成立，221 cossin5axax 对xR恒成立，2222151cossin1 sinsinsin24aaxxxxx 对xR恒成立，25sinax对xR恒成立，又xR时，2max155sin244x，minsin1x ，2251451aaa ，解得11022a ，实数a的取值范围为1102,2.【点睛】本题考查了降幂公式在三角函数化简上的应用，考查了函数的单调性、定义域及三角函数性质的应用，属于中档题.
