1、绝密启用前三湘名校教育联盟2020 年下学期高一期中考试试题数学本试卷共 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 A2，3，4，6，7，B2，3，5，7，则 ABA.2
2、，3，5B.2，3，7C.2，3，5，7D.2，3，4，5，6，72.“ac 且 bd”是“abcd”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.中文“函数(function)”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数” ，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中两个函数相等的是A.f(x)x与 g(x)|x|B.f(x)x(xR)与 g(x)x(xZ)C.f(x)|x|与 g(x)x0 xx0，D.f(x)x1 与 g(x)2x1x14.设 ab0，c0，则下列结论中正确的是A.
3、ac2b2cC.11abbcD.ccab5.函数 y2x3x2的单调递增区间为A.(，32B.32，)C.32，2D.1，326.若不等式 x212mx 在 R 上恒成立，则实数 m 的取值范围是A.(，1)(1，)B.(，11，)C.1，1D.(1，1)7.已知函数 f(x)2x4axx12a3 x4a5x1，若 f(x)在 R 上是增函数，则实数 a 的取值范围是A.(12，1B.12，32C.(12，)D.1，28.在 R 上定义运算：AB(A2)B，若不等式(tx)(xt)0，Bx|x22x30，则A.AB2，1)B.AB(3，3)C.A(RB)(1，3)D.A(RB)(，3(2，)1
4、0.下列命题正确的是A.“x1，x212”是“1a0 时，x1x2B.当 x3 时，x1x的最小值是 2C.当 x0，y0，且 2xy1，则21xy的最小值是 912.已知 aZ，关于 x 的一元二次不等式 x28xa0 的解集中有且仅有 3 个整数，则 a 的值可以是A.13B.14C.15D.17三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.幂函数 f(x)的图像过点(3，9)，则 f(4)的值为。14.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)3x2，则 f(3)。15.已知 f(x1)2x3，则 f(x)的解析式为。16.已知 f(x)是定义在
5、 R 上的偶函数，且 f(x)在0，)上是增函数，若 f(a1)f(3)，则a 的取值范围是。四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10 分)已知集合 Ax|2x3，Bx|k1x3k。(1)当 k1 时，求 AB；(2)若 ABB，求实数 k 的取值范围。18.(12 分)(1)已知函数 f(x)的定义域为(0，2)，求 f(x3)的定义域；(2)已知函数 f(x2)x24x8，求 f(x)的解析式，并求函数 f(x)在区间2，7上的最大值与最小值。19.(12 分)2020 年是不平凡的一年，由于世界疫情的影响，就业岗位竞争激烈，为了鼓励大学毕业生自主创业
6、，某市出台了相关政策：由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担。某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能设备。 已知这种节能设备的成本价为每件 20 元， 出厂价为每件 24 元， 每天的销售量 p(单位：件)与销售单价 x(25x0)(单位：元)，写出 y 关于 x 的函数解析式；(2)求当每件节能设备的销售单价 x 定为多少时， 该大学毕业生每天获得的销售利润最大？最大销售利润为多少?20.(12 分)已知 x0，y0，4xy3。(1)求 xy 的最大值；(2)求312xy的最小值。21.(12 分)已知函数 f(x)22a2 xxb 1
7、1x是定义在 R 上的奇函数。(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：f(x)在(1，)上是减函数；(3)求不等式 f(13x2)f(2xx25)0 的解集。22.(12 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足：x，yR，f(xy)f(x)f(y)，且当 x0，f(2)4。(1)判断函数 f(x)的奇偶性并证明；(2)若x2，2，a3，4，f(x)3at5 恒成立，求实数 t 的取值范围。高一数学高一数学参考答案参考答案选择题（本大题共选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分）题号题号1 12 23 34 45 56 67 78 89 910
8、1011111212答案答案BACADDBCBDBCADABC1.B【详解】由集合2,3,4,6,7A ，集合2,3,5,7B ，则AB2,3,7.本题考查了集合的并运算，考查了基本概念的理解，属于基础题.2.A详解：由不等式的性质可以推出考点：充分条件与必要条件的判定3.C详解：判断两个函数是同一函数的依据是：定义域和对应关系相同。A，B，D 中的定义域不同，所以不是同一函数4.A详解：B 中当0,0ab时不成立,C 中当0,0ab，则不等式不成立，D 中当0,0ab时不成立.5.D详解：函数的定义域为1,2,配方后得到单调递增区间为 D.6.D详解：一元二次不等式2-210 xmx 在 R
9、 上恒成立，等价于22=24011,1mmm 7.B详解：先保证每一段在定义域内单调递增，再保证在1x 时的单调性保持一致，即211323022142345aaaaaa .8.C【详解】()(t2)()xtxtxxt，即()(t2)()4xtxxttx 对任意实数x恒成立，222240 xxtt对任意实数x恒成立，所以0 ，解得13t ，故选：C9.BD解析： =| 23 ,B| 31=, 31,RAxxxxB ，C， 再由集合的运算可知 BD 正确.10.BC解析：选项 A: 根据命题的否定可知：“1x ,21x ”的否定是“1x ,21x ”，A 错误；选项 B:12a等价于0a 或12a
10、 ，由小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围可以判断选项 C: 由0a 能推出0ab ,由0ab 不能推出0a ,所以 C 正确；选项 D:根据不等式的性质可知：由1x 且1y 能推出222xy,本选项是不正确的；故选 BC.11.AD解析：对于选项 A，当0 x 时，0 x ，1122xxxx，当且仅当1x 时取等号，结论成立，故 A 正确；对于选项 B，当3x 时，1122xxxx，当且仅当1x 时取等号，但3x ，等号取不到，因此1xx的最小值不是 2，故 B 错误；对于选项 C，因为32x ，所以320 x，则4442132223222233232yxxxxxx ，当且仅当43232
11、xx，即12x 时取等号，故 C 错误；对于选项 D，因为0 x ，0y ，则2222252=915212yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当22yxxy，即13xy时，等号成立，故 D 正确.故选：AD.12.12.ABC解析：设 f(x)x28xa，其对称轴为 x4，3 个整数解为 3，4，5，f(2)0且 f(3)0，即 12a15，a13，14，15，故选 ABC.三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13.1614.2915. 2=2451f xxxx16. , 42, U13.16解析：设幂函数的解析式为
12、af xx，再代点求出2a ，算出 416f14.-29解 析 ： f x为 定 义 在R上 的 奇 函 数 ， fxf x ，33(3)(32)29ff .15. 2=2451f xxxx解析：利用换元法求解析式：令1 1tx ，得到21xt，得到 222132451f tttxt.16. , 42, U解析：函数 yf x是R上的偶函数，且 fx在0,上是增函数，不等式1-3f af等价为 |1|3faf，即|1| 3a，解得4a 或2a ，所以实数a的取值范围是 , 42, U.四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程
13、或演算步骤）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.【答案】(1)| 24ABxx ;(2)0k .解： （1）当1k 时，|-24Bxx，则|-24ABxx （4 分）（2）ABB，则BA （5 分）（1）当B 时，-13kk，解得2k ； （7 分）（2）当B 时，由BA得-13-1233kkkk ，即210kkk ，解得02k （9 分）综上，k的取值范围是0,) （10 分）18.解： （1）( )f x的定义域为(0,2)，02x ，032x，31x ，即( )f x的定义域为( 3, 1).（5 分）（2）令2tx，则2xt 2(2)48f xxx，2( )(2)4(2)
14、8f ttt2820tt，2( )820f xxx fx的对称轴为直线4x ，开口方向向上， f x在2,4上递减，在4,7上递增，当4x 时，min( )(4)4f xf，426743 ， max( 2)f xf，当2x 时，240f . max40f x.（12 分）19.解： （1）依题意可知每件的销售利润为(20)x元，每月的销售量为( 10420)x件，所以每月获得的利润y与销售单价x的函数关系为(20)( 10420)yxx （3 分）y0,2042,x又2545,xxN，2542,xxN（5 分）(20)( 10420)yxx(2542,)xxN（6 分）（2）由（1）得2106
15、208400(2542,)yxxxxN （7 分）所以210(31)1210(2542,)yxxxN ， （9 分）则当31x 时，max1210y （11 分）即当每件的销售价定为 31 元时，每天可获得最大的销售利润，最大销售利润为 1210 元（12分）20.解： （1）42 4xyxy，32 4xy， （2 分）当且仅当4xy时取等号，即33,82xy时取等号.（4 分）916xy ， （5 分）所以xy的最大值为916.（6 分）（2）413xy， （7 分）312416168281633xyxyx yxyyxyx， （10 分）当且仅当16xyyx时取等号，即33,82xy时取等号
16、.（11 分）所以312xy的最小值为16.（12 分）21.【答案】 （1）2( )1xf xx； （2）证明见解析； （3）| 21xx .【详解】 （1）函数2221( )1axxbf xx为定义在R上的奇函数，(0)0f，即2,1ab ，2( )1xf xx.（4 分）（2）证明：设12,(1,)x x ，且12xx，则1212221211xxf xf xxx，2212211212222212121111111xxxxxxx xxxxx，120 xx，2110 x，2210 x，1210 x x， 120f xf x，( )f x在(1,)上是减函数.（8 分）（3）由221 3250
17、fxfxx，得221 325fxfxx .( )f x是奇函数，221 325fxf xx.（9分）又21 31x，2225(1)41xxx，且( )f x在(1,)上为减函数，221 325xxx，即22240 xx，解得21x ， （11 分）不等式221 3250fxfxx的解集是| 21xx .（12 分）22.解：(1) fx的定义域为R，令0 xy，则 000fff， 00f，令yx，则 fxxfxfx， 00f xfxf， fxf x， f x是奇函数. （4 分）(2) 设21xx， 由 f xyf xfy得：2121f xf xf xx， 且当且当0 x 时时 0,f x 120 xx210 xx，210f xx， 210f xf x，即 21f xf x， f x在R上为减函数（7 分）因为函数 fx在区间2 2 ,上是减函数，且24f ，要使得对于任意的2,2x ，3,4a 都有 35f xat 恒成立，只需对任意的3,4a ，354at恒成立.令31yat ，此时y可以看作a的一次函数，且在3,4a 时，0y 恒成立.因此只需9101210tt ，解得11912t ，所以实数t的取值范围是11,9 12.（12 分）
