1、泉州第十六中学泉州第十六中学 20202020 年春季线上教学摸底测试年春季线上教学摸底测试高一数学高一数学考试时间：考试时间：120120 分钟满分：分钟满分：150150 分分第第卷（选择题共卷（选择题共 6060 分）分）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 小题，共小题，共 50.050.0 分）分）1.cos50 cos20sin50 sin20的值为（）A.12B.13C.32D.33【答案】C【解析】【分析】直接根据两角差的余弦公式计算，即可得答案；【详解】3cos50 cos20sin50 sin20cos(5020 )cos302 ，故选：C.【点睛】本题考查两
2、角差的余弦公式，考查运算求解能力，求解时注意cos()展开的右边是加号.2.在ABC中，若3a ，3 3b ，30A，则角B的大小为（）A.30B.60或120C.30或150D.60【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求出sinB，再根据角B的范围，即可得解.【详解】在ABC中，由正弦定理,得sinsinabAB，即33 3=1sin2B，解得3sin2B ，又因为0 ,180B，且BA，所以=60B或=120B，故选：B.【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，熟记正弦定理即可，属于基础题.3.若复数z满足2121 3zii (i 为虚数单位） ，则复数z在复平面内对应的点位于（
3、）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】因为2|1 3 |10( 1 2 )10(1 2 )241 2( 1 2 )( 1 2 )5iiiziiii ，所以该复数在复平面内对于的点位于第三象限，应选答案 C4.已知定义在复数集C上的函数 fx满足 1,1,x xRf xi x xR，则1ffi（）A.22iB. 0C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】先求内层函数1fi的值，再根据1fi的值所在定义域计算出1ffi的值即可.【详解】根据题意，211112fiiii ， 121 23ffif ，故选：D.【点睛】本题考查了分段函数和复数的简单计算，根据自变
4、量所处的范围准确选择函数解析式是本题的解题关键，属于基础题.5.如图， 圆锥顶点为P， 底面圆心为O， 过轴PO的截面PAB，C为PA中点，4 3PA ，6PO ，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为A.2 15B.2 156 2C.6D.2 156 3【答案】A【解析】【分析】先画出圆锥的侧面展开图如图所示，再求线段 BC 的长度，即得点C经圆锥侧面到点B的最短距离.【详解】先作出圆锥的侧面展开图如图所示，由题得圆锥底面圆的半径为22(4 3)62 3，所以114 32 2 34 3 ,4 3AAAPA,所以2APB,所以 BC=22(2 3)62 15.故答案为 A【点睛】(1)本题主要考
5、查圆锥侧面两点间的最短距离，意在考察学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.(2)求曲面上两点间的最短距离，一般利用展开法，转化成平面上两点间的最短距离.6.一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是（）A. 1 个B. 3 个C. 1 个或 3 个D. 1 个或 3个或 4 个【答案】D【解析】【分析】利用平面的基本性质及其推论即可得出结果.【详解】当A，B，C三点共线时，只能确定一个平面；当A，B，C三点不共线时，且其中两点连线与已知直线平行，这样的平面有 3 个；当A，B，C三点不共线时，且任意两点连线与已知直线不平行，则一条直线与直线外的每一点都可以确定一个平面，平面外的三
6、个点也可以确定一个平面，这样可确定的平面最多就可以达到 4 个.综上，直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是 1 个或 3 个或 4 个.故选：D.【点睛】本题主要考查平面的基本性质及其推论，熟练掌握平面的基本性质及其推论是解题的关键，属于基础题.7.ABC是边长为 1 的正三角形， 那么ABC的斜二测平面直观图A B C的面积 （）A.616B.68C.38D.34【答案】A【解析】【分析】先求出原三角形的面积，再根据原图和直观图面积之间的关系即可得解.【详解】以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，画对应的 x轴，y轴，使 45x O y，如下图所示，结合图
7、形，ABC的面积为113312224ABCSAB OC ，作CDAB ，垂足为D，则22122224C DO COCOC ， ABA B，所以A B C的面积11222244AB CABCSABC DOCABS ，即原图和直观图面积之间的关系为2=4SS直观图原图，所以，A B C的面积为2364416AB CS .故选：A.【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积的关系，属于基础题.8.过棱长为 1 的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是A. 1B.2C.32D.62【答案】D【解析】【分析】取对角线顶点所不在的两个侧棱的中点 M,N,与对角线两个顶点相连，所得四
8、边形即为所有过对角线的截面中面积最小的，由此可求出截面面积.【详解】如图：在正方体中，取11,A A C C的中点,M N,连接11,D M BM BN D N,过1D B的平面截得正方体的截面中，当截面为菱形1D MBN时，截面面积最小，111623222sMN D B,故选 D.【点睛】本题主要考查了正方体的截面面积的求法，考查了空间想象能力，属于中档题.9.已知向量a，b满足：2a ，a，60b ，且12catb tR ，则cca的最小值为()A.13B. 4C.2 3D.9 34【答案】A【解析】【分析】由题意可知，把a看作2,0，根据坐标系，和向量的坐标运算，则cca的最小值可转化为
9、在直线3yx取一点B，使得BDBC最小，作点C关于3yx的对称点C，则BDBC最小值即可求出DC【详解】解：由题意可知，把a看作2,0，a，60b ，则tb可表示为BO ，点B在直线3yx上，设1,0C ，3,0D，12catb ，tR，cBC，32caatb ，caBD，则cca的最小值可转化为在直线3yx取一点B，使得BDBC最小，作点C关于3yx的对称点C，则BDBC最小值即可求出DC，设,Cx y，由1131322yxyx ，解得12x ，32y ，则2213(3)(0)1322C D ，故cca的最小值为13故选A【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的模的几何意义，考查了转化能力和
10、数形结合的能力，属于难题10.如图，已知四面体ABCD为正四面体，2AB ，E，F分别是AD，BC中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）A. 1B.2C.3D. 4【答案】A【解析】【分析】把正四面体补成正方体，在正方体内利用截面为平行四边形KLMN，有2KLLM，进而利用基本不等式即可得解.【详解】因为四面体ABCD为正四面体，所以，如图所示，补全四面体ABCD为正方体AODPHBGC，设截面分别交面HAPC，面HAOB，面BODG，面CGDP于K，L，M，N，连接KL，LM，MN，NK，根据正方体的
11、性质，则四边形KLMN为平行四边形，且KL CB，LMAD，由,KLAL LMLNBCANADAN，两式相加可得2KLLM，因为CBAD，所以KLLM，所以，212KLMNKLLMSKL LM四边形，当且仅当KLLM时取等号，所以，该多边形截面面积最大值为 1.故选：A.【点睛】本题考查了平面的基本性质及推论，其中涉及到基本不等式的应用，用了割补法，属于中档题.二、不定项选择题（本大题共二、不定项选择题（本大题共 2 2 小题，共小题，共 10.010.0 分）分）11.下列命题错误的是（）A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
12、C. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直D. 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形【答案】ABD【解析】【分析】直接利用棱柱，棱锥，棱台的性质判断选项即可.【详解】对于 A，棱柱的侧面不一定全等，故错误；对于 B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；对于 C，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；对于 D，棱台的侧面不一定是等腰梯形，故错误.综上，ABD 错误.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了点、线、面间位置特征的判断，棱柱的结构特征，考查学生的空间想象能力和推理论证能力，属于基础题.1
13、2.下列说法中错误的为（）A. 已知1,2a r，1,1b r，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3B. 向量12, 3e ，213,24e 不能作为平面内所有向量的一组基底C. 若/ /ab，则a在b方向上的正射影的数量为arD. 三个不共线的向量OA ，OB ，OC，满足ABCABACBOAOBABCABACB 0CABCOCCABC ，则O是ABC的内心【答案】AC【解析】【分析】对于 A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于 0，且两向量不共线，计算即可；对于 B，由124ee ，可知1e，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底；对于 C，利用向量投影的定义即可判断；对
14、于 D，由0ABCAOAABCA ，点O在角A的平分线上，同理，点O在角B的平分线上，点O在角C的平分线上，进而得出点O是ABC的内心.【详解】对于 A，已知1,2a r，1,1b r，且a与ab的夹角为锐角，可得0aab，且a与ab不共线，1,2ab，即有1220 ，且212，解得53 且0，则实数的取值范围是53 且0，故 A 不正确；对于 B，向量， ，213,24e ，124ee ，向量1e，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底，故 B 正确；对于 C，若a b，则a在b上的投影为a，故 C 错误；对于 D，ABCAABCA 表示与ABC中角A的外角平分线共线的向量，由0ABCAOA
15、ABCA ，可知OA 垂直于角A的外角平分线，所以，点O在角A的平分线上，同理，点O在角B的平分线上，点O在角C的平分线上，故点O是ABC的内心，D 正确.故选：AC.【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.第第卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分）三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分）13.把一个底面半径为 3cm，高为 4cm的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗） ，则该钢球的半径为_cm【答案】3【解析】【分析】根据熔化前
16、后的体积不变求解钢球的半径即可.【详解】圆柱体积：=9 4=36V 圆柱，球的体积：34=3Vr球，所以34363r，解得3r .【点睛】圆柱的体积公式：2Vr h；球的体积公式：343Vr.14.函数sin3cosyxx在0, 上的减区间为_【答案】,6【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式化简sin3cosyxx函数的解析式为2sin3yx,结合正弦函数图像,即可求得函数的减区间.【详解】函数sin3cosyxx132sincos22xx2sin3x根据正弦函数减区间可得:3222232kxk,kz解得:72266kxk,kz故函数的减区间为:722,66kxkkz再由0, x,可得函数的
17、减区间为,6故答案为:,6【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间的求法,利用正弦函数的图像和性质是解决本题的关键,考查了计算能力,属于基础题.15.如图， 在平面四边形 ABCD 中， AC， BD 相交于点 O， E 为线段 AO 的中点.若BEBABD （,R ） ，则【答案】34【解析】试题分析：11111()()22224BEBABOBABDBABD 所以11,24，则34；考点：1.平面向量的运算；2.平面向量基本定理；16.下列四个命题：两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点经过空间任意三点有且只有一个平面过两平行直线有且只有一个平面在空间两两相交的三条直线必共面其中正确命题的序
18、号是_ .【答案】【解析】【分析】由平面的基本性质及推论可判断，根据空间线线关系，可判断.【详解】两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误；经过空间不共线三点，有且只有一个平面，故错误；过两平行直线有且只有一个平面，故正确；在空间两两相交，且交点不重合的三条直线必共面；当三线共点时，三线可能不共面，故错误.故正确命题的序号是.故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是平面的基本性质及推论，空间线线关系，难度不大，属于基础题.四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分）17.已知平面向量1,ax，23,bxx，xR.（1）若ab，求x的值；（2
19、）若/ /ab，求2ab.【答案】 （1）x的值为1或3； （2）25ab或5.【解析】【分析】（1）根据向量垂直，数量积为 0，得到一个关于x的方程，解此方程，即可得解；（2）根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标公式，可求出x的值，进而得到2ab，利用向量模的坐标运算即可得解.【详解】 （1）ab，则 1,23,1230a bxxxxxx ，即2230 xx，解得1x 或3x .所以，x的值为1或3.（2）若a b，则1230 xxx ，即240 xx，解得0 x 或2x ，当0 x 时，1,0a ，3,0b ，25,0ab，25ab，当2x 时，1, 2a r，1,2b r，21, 2a
20、b，222125ab .故25ab或5.【点睛】本题考查的是向量的坐标运算和向量的模，意在考查学生的计算能力，属于基础题.求向量的模的方法： （1）利用坐标进行求解，,ax yr，则22|axy； （2）利用性质进行求解，2aa，结合向量数量积进行求解.18.已知21zmmmi， （mR，i为虚数单位） ，（1）若复数z为纯虚数，求m的值；（2）若2m ，求1zzi.【答案】 （1）0m （2）22【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义即可得解；（2）求出z和z，代入1zzi，利用复数代数形式的乘除运算及复数模的计算公式进行求解.【详解】解： （1）z为纯虚数，则2010mmm ，解得0m ，
21、所以m的值为 0；（2）当2m 时，2zi，2zi，2211ziziii 2111222222iiii ，所以212zzi.【点睛】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算以及复数模的计算，考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.19.某市有一特色酒店由一些完全相同的帐篷构成.每座帐篷的体积为54立方米，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r（单位：米）的半球体，下层是半径为r米，高为h米的圆柱体（如图）.经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为 2 千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为 3 千元，设每座帐篷的建造费用为y千元.参考公式：球的体积343V
22、r，球的表面积24Sr，其中r为球的半径.（1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r为何值时，每座帐篷的建造费用最小，并求出最小值.【答案】 （1）2546yrr，定义域为3|13 3rr； （2）当半径r为3m时，建造费用最小，最小为162千元【解析】【分析】（1）由图可知帐篷体积半球体积圆柱体积，即322543rr h，表示出h，则22222323yrrrh，化简得2546yrr；再由254203rr，即可求出函数的定义域（2）254( )f rrr，3133r ，根据导函数求出其最小值即可【详解】解： （1）由题意可得322543rr h，所以25423hrr，所
23、以22225422223231063yrrrhrrrr ，即2546yrr；因为1r，0h ，所以254203rr，则3133r ，所以定义域为3|13 3rr，故2546yrr，定义域为3|13 3rr；（2）设254( )f rrr，3133r ，则254( )2f rrr，令( )0fr，解得3r ，当1,3r时，( )0fr，( )f r单调递减；当33,3 3r 时，( )0fr，( )f r单调递增，所以当3r 时，( )f r取极小值也是最小值，且( )27minf r当半径r为3m时，建造费用最小，2min54631623y答：当半径r为3m时，建造费用最小，最小为162千元【
24、点睛】本题考查函数模型的实际应用，利用导数求最值等知识点，属于中档题20.如图所示，在正方体1111ABCDABC D中，E为AB的中点，F为1AA的中点.求证： （1）1,E C D F四点共面；（2）1,CE D F DA三线共点.【答案】 （1）见证明 （2）见证明【解析】【分析】（1）连接11,EF AB DC，结合平面几何知识可证得1EFCD，于是可得结论成立 （2）由题意可得直线1D F与CE必相交， 设交点为P， 然后再证明点P在平面ABCD与平面11AAD D的交线上，进而得到结论成立【详解】证明： （1）连接11,EF AB DC.EF，分别是AB和1AA的中点，111,2E
25、FAB EFAB.又11111111,ADBCBC AD BCBC=，四边形11ADCB是平行四边形，11ABCDP，1EFCD，EF与1CD确定一个平面，1,E C D F四点共面（2）由（1）知，1EFCD，且112EFCD，直线1D F与CE必相交，设1D FCEP.1D F 平面11AAD D，1PD F，P平面11AAD D.又CE 平面ABCD，PEC，P平面ABCD，即P是平面ABCD与平面11AAD D的公共点，又平面ABCD平面11AAD DAD，PAD，1,CE D F DA三线共点【点睛】 （1）要证明“线共面”或“点共面”，可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或
26、点也在这个平面内（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理 3 可知这些点在交线上，因此可得点共线21.已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中AB，且22cos3sincoscos3sincosABBBAA.（1）求角C的大小；（2）若5ab，求ABC的外接圆的半径的最小值.【答案】 （1）23C（2）52【解析】【分析】（1） 利用三角恒等变换将原式化简， 求得AB的值， 再结合三角形的内角和， 即可求出角C的大小；（2）利用正弦定理以及3AB，求得52sinsin3RAA，再借助三角恒等变换及三角函数的取值范围得到si
27、n13A，从而52R ，进而求得结果.【详解】 （1）由题意，22cos3sincoscos3sincosABBBAA，得1cos21cos233sin2sin22222ABBA，即sin 2sin 266AB，又AB，0,AB，所以2266AB，即3AB，所以23C.（2）设ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理2sinsinsinabcRABC，得52sinsinsinsin3abRABAA.又13sinsinsincossin13223AAAAA，当且仅当32A，即6A时等号成立，所以25R ，即52R ，所以ABC的外接圆的半径的最小值为52.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理以及
28、三角函数的取值范围问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.22.已知向量(1,cos),(sin, 3),(0)mx nx，函数( )f xm n ，且( )f x图象上一个最高点为(,2)12P与P最近的一个最低点的坐标为7(, 2)12.()求函数( )f x的解析式；()设a为常数，判断方程( )f xa在区间0,2上的解的个数；（）在锐角ABC中，若cos()13B，求(A)f的取值范围.【答案】 （1）( )2sin(2)3f xx（2）见解析（3）(3, 3)【解析】试题分析： （1）先根据向量数量积得 sin3cosf xm nxx ，再根据配角公式得 2sin3f
29、xx.（2）根据自变量范围画出函数图像，根据正弦函数图像确定交点个数（3）先根据条件求出锐角 B，再根据锐角三角形确定角 A 范围为62A，最后根据正弦函数性质确定 f A的取值范围.试题解析：() sin3cosf xm nxx 132sincos22xx2sin3x.图象上一个最高点为P，与P最近的一个最低点的坐标为,7212122T，T，于是22T.所以 2sin 23fxx.()当x0,2时，42333x，由 2sin 23fxx图象可知：当3,2a时， f xa在区间0,2上有二解；当3, 3a 或2a 时， f xa在区间0,2上有一解；当3a 或2a 时， f xa在区间0,2上无解.（）在锐角中，.又，故，.在锐角中,2262AABA.242333A,33sin 2,322A , 2sin 23fAA3, 3 . 即的取值范围是3, 3 .点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()yAxB的形式再借助三角函数图象研究性质， 解题时注意观察角、 函数名、结构等特征
