高三数学期末考试模拟试题七.docx

1、第 1页 共 6页第 2页 共 6页高三数学期末考试模拟试题七高三数学期末考试模拟试题七学校:_姓名：_班级：_考号：_评卷人得分一、单选题一、单选题1已知集合 AxN|1x4，Bx|2x3，则 AB（）A1，3B2，4C0，1，2，3D1，2，32在复平面内，复数1 i1 iz对应的点的坐标为2, 2，则 z 在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知向量a，b满足1,3a ，4,1b ，则向量a在向量b上的投影向量为（）A7 1717B7 1717C28 17 7 17,1717D287,17 174为了弘扬张骞开拓进取精神，传承中华优秀传统文化，第四届中国古

2、筝日“盛世国乐，筝韵天下”汉中片区大型公益活动在久负盛名的张骞纪念馆盛大举行，其中有百人齐奏 二重奏 独奏 小合唱 伴唱和茶艺六个表演节目，如果百人齐奏必须排第一个， 小合唱和伴唱不能连续出场，那么出场顺序的排法种数为（）A18B36C72D545若34520122201201220121111xxxxaa xa xax，则3a等于（）A42012CB32013CC42013CD52012C6已知函数 sin 23fxx，则下列结论错误的是（）Af(x)的一个周期为Bf(x)在0,6上单调递增Cf(x)的图象关于直线712x对称Dsin()3yx的图像上所有的点横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不

3、变） ，可得到 f(x) 的图象7函数 1 cossinxxf x 在,的图象大致为（） ABCD8已知奇函数 fx是定义在R上的可导函数，其导函数为( )fx，当0 x 时，有22 ( )( )f xxfxx，则不等式220182018420 xfxf的解集为（）A, 2016 -B2016, 2012C, 2018 D2016,0评卷人得分二、多选题二、多选题9已知31nxx的展开式中第 3 项与第 2 项系数的比是 4，展开式里 x 的有理项有（）A284xB31xC284xD3x10已知定义在 R 上的函数( )f x满足()( )fxf x ，且对任意的12,0,)x x ，12xx

4、，都有 21212f xf xxx，(1)2020f，则下列能使不等式(2020)2(1011)f xx成立的 x 的值是（）A2020B2021C2022D202311下列说法中正确的是（）A将 6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有 10 种放法B2019501被 7 除后的余数为 5C若542345012345221xxaa xa xa xa xa x，则02481aaa D抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点 P 的横坐标，另一个的点数为点 P 的纵坐标，连续抛掷这第 3页 共 6页第 4页 共 6页两枚骰子三次，点 P 在圆2216xy内的次数的均值为71212

5、如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，设第n层有na个球，从上往下n层球的总数为nS，记 11nnnnbaa ，则（）A11nnaanB122020bbbC112nnn nSS，2nD12nna的最大值为32评卷人得分三、填空题三、填空题13已知函数24,1( )(23)45,1xax xf xaxax，若 fx在R上是增函数，则实数a的取值范围是_.14某学校有 100 人参加暑期社会实践，实践结束时的综合能力测试成绩X近似服从正态分布2110,N， 若1001100.35PX， 则综合能力测试成绩

6、在 120 分以上的人数大约为_.15下列说法正确的序号是_（1）函数1( )11f xx 在(,1)(1,)上单调递增；（2）函数1( )1xxef xe为奇函数；（3）函数( )xf xa（0a 且1a ） ，1,2x，最大值与最小值的差为2a，则a为32；（4）若函数2(21)1yxax在区间(,2上是减函数，则32a 16若在( )yf x的图象上存在点( , )A m n，恰在( )yg x的图象上也存在点( ,)A n m，则称两函数的图象存在一对“孪生点” 已知函数22,2( )(1) ,2xf xxxx，( )xg xa，（其中1a ） ， 若( )yf x与( )yg x的图

7、象恰有三对“孪生点”，则a的取值范围为_评卷人得分四、解答题四、解答题17已知(1,2 3sin)mx，2(2sin1,cos)nxx，令 .f xm n 其中01，满足 43fxf x.（1）求 fx的解析式；（2）在锐角ABC中，角, ,A B C所对边分别为, ,a b c， 1f B 且1c ，求ABC的面积的取值范围18数列 na满足：123231 21nnaaanan；数列 nb满足：1222nnnbbn，且11ba.（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）设1nniiTb，证明：13nT；（3）设1nnncab，证明：3333123111114ncccc.19 某校从高三年级

8、学生中随机抽取100名学生的某次数学考试成绩， 将其成绩分成50,60，60,70，70,80，80,90，90,100的5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中x的值；（2）估计这组数据的平均数；第 5页 共 6页第 6页 共 6页（3）若成绩在50,60内的学生中男生占40%.现从成绩在50,60内的学生中随机抽取2人进行分析，求2人中恰有1名女生的概率.20为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了100人，其中男生占总人数的40%，且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数

9、占总人数的32%学校为了考察学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下22列联表：不适应寄宿生活适应寄宿生活合计男生女生合计（1）请将22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；（2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10中随机抽取2人，若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望附：22()()()()()n adbcKa b cd a c b d，其中nabcd 20P Kk0.0250.010.0010k5.0256.63510.82821随着科技的发展，移动互联已进入全新

10、的5G时代，远程实时遥控已成为现实.某无人机生产厂家计划在2022年将新技术应用到生产中去， 经过市场调研分析， 生产某种型号的无人机全年需投入固定成本300万元，每生产x千台无人机，需投入成本 G x万元，且25200 ,050( )200006029000,50 xxxG xxxx由市场调研知，每台无人机售价为0.6万元，且全年内生产的无人机当年能全部售完.（1）求出2022年的利润 W x（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式（利润销售额成本） ；（2）2022年产量为多少时，该厂家所获利润最大？最大利润为多少？22设函数1( )ln ()f xxax ax R（1）讨论函数( )f

11、x的单调性；（2）当(0,1)x时，证明：211lnxxxexx 答案第 1页，共 16页参考答案参考答案1C【分析】计算0,1,2,3,4A，再计算交集得到答案.【详解】| 140,1,2,3,4Axx N， | 23Bxx ，故0,1,2,3AB .故选：C.2D【分析】由已知可得1 i22i1iz，求出复数z，从而可求出 z 在复平面内对应的点所在的象限【详解】由已知可得1 i22i1iz，则2(1 i)22i(1 i)(1 i)z，得i22iz ，所以2 iz ，所以 z 在复平面内对应的点为(2, 1)，位于第四象限，故选：D3D【分析】首先根据平面向量的坐标运算求出a b 、b，再

12、求出向量a在向量b上的投影，最后根据a bbbb 求出向量a在向量b上的投影向量；【详解】解：因为1,3a ，4,1b ，所以4 1 1 37a b ，224117b ，所以向量a在向量b上的投影为77 171717a bb ，所以向量a在向量b上的投影向量为4,17 1728 7,1717 1717a bbbb 故选：D4C答案第 2页，共 16页【分析】按照分步计数原理即可求解.【详解】解：根据题意，分三步进行分析将二重奏 独奏和茶艺三个节目全排列，有33A6种情况三个节目排好后，有四个空位，将小合唱和伴唱安排在四个空位中，有24A12种情况将百人齐奏排第一个，有一种情况所以共有：6 12

13、72种情况故选：C.5C【分析】由已知条件可知3a为展开式中3x的系数，利用二项式定理及组合数的性质即可得出答案.【详解】解：由已知条件可知3a为展开式中3x的系数，则333333452012aCCCC43334452012CCCC433552012CCC4362012CC434201220122013CCC.故选：C.6B【分析】根据 sin 23fxx，逐项判断.【详解】答案第 3页，共 16页因为 sin 23fxx，所以22T，即 f(x)的一个周期为，故 A 正确；因为0,6x，所以22,333x，所以 f(x)不单调，故 B 错误；因为 73sin 2sin11232f x ，所以

14、 f(x)的图象关于直线712x对称，故 C 正确；sin()3yx的图像上所有的点横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变） ，可得到 f(x) 的图象，故 D 正确.故选：B7C【分析】根据定义判断 1 cossinxxf x 是奇函数排除 B；根据0,x时， 0f x ，故排除选项 A；求导，利用导数判断单调性和极值点可排除 D，进而可得正确选项.【详解】因为函数 1 cossinxxf x 的定义域为,，关于原点对称，由 1 cossin1 cossinfxf xxxxx ，所以 1 cossinxxf x 是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项 B；当0,x时， 1 cossin0 xfx

15、x ，故排除选项 A； 22sin1 coscos2coscos1cos1 2cos1xxxxxxxfx 当203x时， 0fx；当23x时， 0fx，所以函数 1 cossinxxf x 在0,上的极大值点为23x ，故排除选项 D，故选：C.8A【分析】利用22( )0)fxfxxx，构造出 2g xx f x，会得到 g x在R上单调递增，再将待解不等式的形式变成和 g x相关的形式即可.【详解】答案第 4页，共 16页设 2g xx f x，因为 fx为R上奇函数，所以 22gxxfxx fx ，即 g x为R上奇函数对 g x求导，得( )2 ( )( )g xf xxxxf，而当0

16、 x 时，有 220fxxfxx，故0 x 时， 0gx，即 g x单调递增，所以 g x在R上单调递增不等式22018+2018420 xfxf22018+201842xfxf ，又 fx是奇函数，则 22018+201842xfxf，即 20182g xg所以20182x，解得2016x ，即(, 2016)x .故选：A.9AB【分析】由题意可得21C4Cnn，从而求出9n ，再由二项式展开式的通项公式即可求解.【详解】由题意，得21C4Cnn，即142n nn，解得9n 或0n （舍去） ，9n .通项27 59619931CCrrrrrrTxxx（0,1,9r ）.根据题意，得275

17、6rZ，解得3r 或9r .展开式里所有 x 的有理项为2484Tx，1031Tx.故选：AB10CD【分析】构造新函数 2g xf xx，用题干中的条件得到 g x的单调性，对(2020)2(1011)f xx进行变形，从而得到不等关系，求出解集，得到答案【详解】答案第 5页，共 16页因为()( )fxf x ，所以( )f x是奇函数，对任意的12,0,)x x ，12xx，都有 21212f xf xxx，不妨令12xx，则 212122f xf xxx，即 221122f xxf xx，令 2g xf xx，则 21g xg x，故 g x单调递增，因为(2020)2(1011)f

18、xx，变形为(2020)2(2020)2(1011)2(2020)2018f xxxx因为(1)2020f，所以2018(1)2f，故(2020)2(2020)(1)2f xxf-，即(2020)(1)g xg，由 g x单调递增得：20201x-，解得：2021x ，故选：CD11AC【分析】对于 A：采用隔板法共有35C10；对于 B：2019201950491，展开式中只有最后一项 1 不是 7 的倍数；对于 C：分别令1x 得：01234580aaaaaa，令1x ，得，012345242aaaaaa ，两式相加除以 2，计算可判断；对于 D： 点 P 共有 36 种情况， 其中在圆2

19、216xy内的有1,1，1,2，1,3，2,1，2,2，2,3，3,1，3,2，共 8 种，可得点 P 在圆内的概率为29.继而有23,9B，由二项分布的期望公式可判断.【详解】解：对于 A：6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中，要求不出现空盒，即每个盒子至少 1个，采用隔板法共35C10（种） ，故 A 正确；对于 B：2019201950491，展开式中只有最后一项 1 不是 7 的倍数，所以2019501被 7 除后的余数为 2，故 B 错误；对于 C：在542345012345221xxaa xa xa xa xa x中，令1x 得：01234580aaaaaa，令1x ，得，01

20、2345242aaaaaa ，答案第 6页，共 16页两式相加除以 2，得02481aaa ，故 C 正确；对于 D： 点 P 共有 36 种情况， 其中在圆2216xy内的有1,1，1,2，1,3，2,1，2,2，2,3，3,1，3,2， 共 8 种， 所以掷这两枚骰子一次， 点 P 在圆内的概率为29.因为23,9B，所以的均值为22393，故 D 错误，故选：AC.12ACD【分析】根据11a ，23a ，36a 可得1nnaa进而可判断 A；求出nb，由并项求和可判断 B；利用累加法求出na，结合2n时1nnnSSa可判断 C；作差法计算1122nnnnaa可得12nna的单调性，由单

21、调性可得最大值可判断 D，进而可得正确选项.【详解】212aa，323aa，L，1nnaan，11nnaan，故选项 A 正确；因为 1111nnnnnbaan ，所以12202345672021 10bbb ，故选项 B 不正确；因为11a ，212aa，323aa，L，1nnaan，所以11232nn nan ，所以2n时，112nnnn nSSa，故选项 C 正确；11112222nnnnan nn n，11112212112222nnnnnnnnnnannna，所以当1n 时，1122nnnnaa；当2n 时，1122nnnnaa；当3n 时，1122nnnnaa，所以当2n 或3时，

22、12nna的最大值为32，故选项 D 正确；故选：ACD.131 3,2 2【分析】根据分段函数的两段都单调递增，1x 时 fx最大值小于或等于1x 时 fx的下界列不等式组，解不等式组即可求解.答案第 7页，共 16页【详解】当1x 时，24yxax 对称轴为2xa，因为函数24,1( )(23)45,1xax xf xaxax在R上是增函数，则211 4231 45230aaaaa ，解得1322a，故答案为：1 3,2 2.1415【分析】根据正态分布的性质进行求解即可.【详解】因为X近似服从正态分布2110,N，1001100.35PX，所以1101201001100.35PXPX，由

23、正态分布的对称性可知：1200.51101200.50.350.15P XPX，所以综合能力测试成绩在 120 分以上的人数大约为0.15 10015，故答案为：1515 （2） （4）【分析】根据函数单调性定义，举反例判断（1） ，根据奇函数的定义判断（2） ，根据指数函数的单调性，分类讨论可判断（3） ，利用二次函数对称轴建立不等式可判断（4）.【详解】（1）取1202xx，(0)2(2)0ff知1( )11f xx 在(,1)(1,)上单调递增错误；（2）由1( )1xxef xe的定义域为 R，且11()( )11xxxxeefxf xee 知1( )1xxef xe为奇函数正确；答案

24、第 8页，共 16页（3）若1a 时，2maxmin( )( )2af xf xaa，解得32a 或0a （舍去） ，当01a时，2maxmin( )( )2af xf xaa， 解得12a 或0a （舍去） ， 综上12a 或32a ，故错误；（4）函数2(21)1yxax的对称轴为122ax，若函数2(21)1yxax在区间(,2上是减函数则1 222a，解得32a ，故正确.故答案为： （2） （4）16(2,)【分析】由点( ,)A n m在( )yg x的图象上可得loganm，再结合给定条件求出函数logayx与( )yf x的图象恰有三个公共点即可.【详解】由点( ,)A n m

25、在( )yg x的图象上可得loganm，依题意，点( , )A m n在函数logayx的图象，而( )yf x与( )yg x的图象恰有三对“孪生点”，则函数logayx与( )yf x的图象恰有三个公共点，因函数22,2( )(1) ,2xf xxxx图象除点(1，0)外均在 x 轴上方，在(,1)上单调递减，在1x时，0( )2f x，且max( )(2)1f xf，当01a时，logayx在(0,)单调递减，函数logayx与( )yf x的图象只有一个公共点，于是得1a ，在同一坐标系内作出函数logayx与( )yf x的图象，如图，答案第 9页，共 16页观察图象得，当且仅当l

26、og 21a，即2a 时，函数logayx与( )yf x的图象恰有三个公共点，所以a的取值范围是(2,).故答案为：2,17（1） 2sin6fxx（2）33,82【分析】（1） 利用向量的坐标运算及三角公式求出 2sin 26f xx， 再根据 43fxf x求出即可；（2）先通过 1f B 求出 B，再根据三角形为锐角三角形求出a的范围，最后通过面积公式可得计算面积的范围.（1） 22sin12 3sincos3sin2cos22sin 26f xxxxxxx 又 43fxf x，则4sin 2sin 2366xx即78sin 2sin 2636xx782636k 1324k，又01，1

27、2，即 2sin6fxx；（2）由（1）知 2sin16f BB，又663B，答案第 10页，共 16页66B，即3B如图，当点 C 在线段 MN 之间运动（不含端点）时，可使ABC为锐角三角形cos3cos3cca，即122a1333sin,2482ABCSacBa，即ABC的面积的取值范围是33,82.18（1）12nna-=，12nnnb（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）当2n时，11231232 21nnaaanan,与条件等式两边相减，即得数列 na的通项公式，再利用累乘法求数列 nb的通项公式；（2）利用错位相减法求得332nnnT，再利用单调性证明得解；（3）只需证明

28、23331111123441n，再通过放缩和裂项相消证明不等式.（1）当1n 时，11a ;当2n时，11231232 21nnaaanan与条件等式两边相减，得n 11 22 2nnnannn12n答案第 11页，共 16页所以12nna-=.所以11ba=1,324123134514682nnbbbbnbbbbn.故有11122nnnnbnnbb，所求通项公式分别为12nna-=和12nnnb（2）12323412222nnnT23411234122222nnnT-：12311111121111112212222222212nnnnnnnnTT所以332nnnT，所以1+1202nnnnT

29、T所以 nT递增所以11nTT 又当n 时，3nT 所以13nT（3）11nnncabn只需证明23331111123441n当2n时，322111111112111nnn nnn n nn nn nnn.所以333312311111111111112 2 12 32 2 33 4211nccccn nn n答案第 12页，共 16页1114214n n故原不等式成立19（1）0.020（2）77（3）35【分析】(1)根据给定条件结合频率分布直方图中各小矩形面积和为 1 的特点列式计算即得.(2)利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算即得.(3)求出成绩在50,60内的学生及男女生人数

30、，再用列举法即可求出概率.（1）由频率分布直方图得0.0050.0350.0300.010101x，解得0.020 x ，所以图中x的值是 0.020.（2）由频率分布直方图得这组数据的平均数：55 0.00565 0.02075 0.03585x 0.03095 0.0101077，所以这组数据的平均数为 77.（3）数学成绩在50,60内的人数为0. 005 10 1005(人)，其中男生人数为5 40%2(人)，则女生人数为3人，记2名男生分别为1A，2A，3名女生分别为1B，2B，3B，从数学成绩在50,60内的5人中随机抽取2人进行分析的基本事件为：121112132122A A A

31、B ABAB A B A B,23121323A BB BB BB B,，共10个不同结果，它们等可能，其中2人中恰有1名女生的基本事件为111213212223,AB AB AB A B A B A B，共6种结果，所以2人中恰有1名女生的概率为为63105.20答案第 13页，共 16页（1）列联表见解析，有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联（2）分布列见解析，数学期望为25【分析】（1）根据题意求出表中数据，计算卡方值即可判断；（2）随机变量X的取值可以是0，1，2，求出X取不同值的概率，即可求出分布列和期望.（1）补充列联表如下：不适应寄宿生活适应寄宿生活合计男生8324

32、0女生322860合计4060100根据列联表中的数据，22100 (8 2832 32)11.1116.63540 60 40 60K，所以有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联（2）抽取的10人中，有2人不适应寄宿生活，有8人适应寄宿生活，故随机变量X的取值可以是0，1，2，28210C28(0)C45P X ，1182210C C16(1)C45P X ，22210C1(2)C45P X ，随机变量X的分布列如下：X012P28451645145因此，28245161()01245455E X 21（1）25400300,050,( )2000028700,50.xxxW x

33、xxx答案第 14页，共 16页（2）2022年产量为100千台时，厂家所获利润最大，最大利润为8300万元【分析】（1）分050 x、50 x ，利用利润销售额成本可答案；（2）当050 x时，利用配方法可得max( )W x；当50 x 时，利用基本不等式可得max( )W x，再比较两个最大值的大小可得答案.（1）当050 x时，22( )60052003005400300W xxxxxx ，当50 x 时，20000( )6006029000300W xxxx2000028700 xx ，25400300,050( )2000028700,50 xxxW xxxx.（2）当050 x时

34、，2( )5(40)7700W xx ，当40 x 时，max( )7700W x，当50 x 时，20000( )28700 W xxx100001000028700487008300 xxxx，当且仅当10000 xx，即100 x 时，等号成立，max( )8300W x，83007700，2022年产量为100千台时，厂家所获利润最大，最大利润为8300万元.22（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导函数，分0a ，02a，2a 讨论导函数的符号，得出原函数的单调性.（2）先证明1ln 1xx在(0,1)x上成立，将不等式转化为需证21111xxxexx ，只需证21xex

35、，令 21xh xex，求导函数，分析导函数的符号，得出单调性可由最答案第 15页，共 16页值得证.（1）解： fx的定义域为(0,)，则22211( )1,axaxfxxxx ，令2( )10,h xxax 则当0a 时， fx在(0,)上单调递增，当240.0aa ，即02a时， fx在(0,)上单调递增，当2a 时，210 xax 有两根2212440,.22aaaaxx所以 fx的增区间为2244(0,),(,)22aaaa，减区间为2244(,)22aaaa.综上得：当2a时， fx在(0,)上单调递增，当2a 时， fx的增区间为2244(0,),(,)22aaaa，减区间为22

36、44(,)22aaaa.（2）解： 令 1ln +1g xxx， 则 22111xgxxxx， 当(0,1)x时， 0gx ， 所以 g x在(0,1)上单调递减，所以 1ln1+1 10g xg ，即1ln +10 xx，所以1ln 1xx，所以要证211lnxxxexx ，只需证21111xxxexx ，整理得 2111xxxxexx，又因为(0,1)x，所以只需证21xex，令 21xh xex， 则 21xh xex， 令 21xH xh xex， 则 2xHxe，令 20 xHxe，得ln2x ，当0ln2x时， 0Hx ， H x单调递减，当ln21x时， 0Hx， H x单调递增，所以 ln2ln22 ln2 12ln20H xHe ，又 002 0 110He ， 112 1 140Hee，所以在(0,1)x时， 0H xh x恒成立，所以 h x在01 ，上单调递减，所以答案第 16页，共 16页 0200110h xhe ，即 210 xh xex，即21xex成立，即得证.