1、高中数学资料群 734924357每天都有更新！离心率问题的离心率问题的 7 7 种题型种题型 1515 种方法种方法求离心率常用公式求离心率常用公式椭圆椭圆公式公式 1 1e= =ac公式公式 2 2e= =22b-1a证明：证明：e= =ac= =22ca= =222aab= =22-1ab公式公式 3 3已知椭圆方程为),0( 12222babyax两焦点分别为,21FF设焦点三角形21FPF，,1221FPFFPF则椭圆的离心率sinsin)sin(e证明：证明：,1221FPFFPF由正弦定理得：sinsin)180sin(1221PFPFFFo由等比定理得：sinsin)sin(2
2、121PFPFFF，即sinsin2)sin(c2asinsin)sin(ace。公式公式 4 4以椭圆)0( 12222babyax两焦点1F，2F及椭圆上任一点P（除长轴两端点外）为顶点21PFF，21FPF=，12FPF=，则cos2cos2e证明：证明：由正弦定理有)sin(sinsinsin212121FFFFPFPF2cos2sin22cos2sin2sinsin)sin(2121PFPFFF，cos2cos2cea公式公式 5 5点 F 是椭圆的焦点，过 F 的弦 AB 与椭圆焦点所在轴的夹角为,），（20，k 为直线 AB 的斜率，且)0(FBAF，则 e=11k12当曲线焦点
3、在 y 轴上时，e=11k112注：AFBFBFAF或者而不是ABBFABAF或高中数学资料群 734924357每天都有更新！双曲线双曲线公式公式 1 1e= =ac公式公式 2 2e= =22b1a证明：证明：e= =ac= =22ca= =222aab= =221ab公式公式 3 3已知双曲线方程为)0, 0( 12222babyax两焦点分别为,21FF设焦点三角形21FPF，,1221FPFFPF则sin()sin-sine证明：证明：,1221FPFFPF由正弦定理得：sinsin)180sin(1221PFPFFFo由等比定理得：sin-sin)(sin2121PFPFFF即si
4、n-sin2)(sinc2a，sin-sin)sin(ace。公式公式 4 4以双曲线)0, 0( 12222babyax的两个焦点1F、2F及双曲线上任意一点P（除实轴上两个端点外）为顶点的21PFF，21FPF=，12FPF=，则离心率2sin2sine（）证明：证明：由正弦定理，有)sin(sinsinsin212121FFFFPFPFsinsin，.)sin(sinsin2121FFPFPF即2sin2cosa2cos2sinc又02cos,o，2sin2sinace公式公式 5 5点 F 是双曲线焦点，过 F 弦 AB 与双曲线焦点所在轴夹角为,），（20，k为直线 AB 斜率，)0
5、(FBAF，则 e=11k12当曲线焦点在 y 轴上时，e=11k112注：AFBFBFAF或者而不是ABBFABAF或高中数学资料群 734924357每天都有更新！题型一题型一 椭圆离心率的求值椭圆离心率的求值1)1)定义法求离心率2)2)运用通径求离心率3)3)运用2111ek求离心率4)4)运用sinsin)sin(ace求离心率5)5)结论22OMABbakk 求离心率（A,B 为椭圆上任意两点，M 为直线 AB 中点）6)6)运用正弦定理余弦定理求离心率7)7)运用相似比求离心率8)8)求出点的坐标带入椭圆方程建立等式9)9)运用几何关系求离心率方法一方法一 定义法求离心率定义法求
6、离心率1.已知椭圆 C14222yax的一个焦点为(2,0),则 C 的离心率为（）A.31B.21C.22D.322【解析】【解析】14222yax， ? ? ? ? ? ? ? ，则 ? ? ?，选 C2.直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A13B12C23D34【解析】【解析】由直角三角形的面积关系得 bc=22124b bc，解得12cea，选 B3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.15【解析】【解析】设长轴为 2a，短轴为 2b，焦距为 2c，则2
7、22 2 .acb即22222()44()acbacbac.整理得：2225230,5230cacaee ，选 B4.椭圆12222byax（ab0）的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是 F1，F2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为【解析【解析】椭圆12222byax（ab0）左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是 F1，F2高中数学资料群 734924357每天都有更新！若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以（ac） （a+c）=4c2，即 a2=5c2，所以 e=55方法二方法二 运用通径求离心率运用通径求离心率5.设椭圆 C2
8、222xyab=1（ab0）的左右焦点为 F1，F2，过 F2作 x 轴的垂线与 C 相交于A，B 两点，F1B 与 y 轴相交于点 D，若 ADF1B，则椭圆 C 的离心率等于【解析解析】不妨假设椭圆中的 a=1，则 F1（c，0） ，F2（c，0） ，当 x=c 时，由2222xyab=1 得 y=ab2=b2，即 A（c，b2） ，B（c，b2） ，设 D（0，m） ，F1，D，B 三点共线，得 m=2b2，即 D（0，2b2） ，若 ADF1B，在，即=1，即 3b4=4c2，则3b2=2c=3（1c2） =2c， 即3c2+2c3=0， 解得 c=，则 c=，a=1，离心率 e=ac
9、=336.从椭圆22221xyab(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是【解析】【解析】由题意知 A(a,0)，B(0，b)，P2,bcaABOP，2bbaca .bc；又a2b2c2，22212cea.22e 7.设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是【解法一】【解法一】设1(,0)Fc，2( ,0)F c，由题意易知，21212 ,2 2PFFFc PFc，1212212
10、1212FFceaPFPF 高中数学资料群 734924357每天都有更新！【解法二【解法二】 由题意易知，2122 ,PFFFc由通径得22=abPF， 故22c=ab， 解得 e=2 1方法三方法三 运用运用 e= =211 k1e求离心率求离心率8.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D，且FDBF2，则 C 的离心率为【解】【解】 如图，作 DD1y 轴于点 D1， 则由， 得， 所以，即，由椭圆的第二定义得又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得 e=33，9.经过椭圆2222=1xyab(ab0)的左焦点 F1作倾斜角为
11、 60的直线和椭圆相交于 A，B两点，若|AFBF112，求椭圆的离心率。【解析】【解析】直线 AB 的斜率 k=tan60=3, 带入公式 e=11k12=2121-2=32方法四方法四 运用运用sin()sinsincea求离心率求离心率10. 已知 F1、 F2是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点， 若21PFPF ， 且6012FPF,则 C 的离心率为（）A.1-23B.2-3C.21-3D.3-1【解析解析】sinsin)sin(ace=30sin60sin)3060sin(=21231=3-111. 椭圆：22221xyab(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距
12、为 2c.若直线y3(xc)与椭圆的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于高中数学资料群 734924357每天都有更新！_【解法一【解法一】由 y3(xc)知直线的倾斜角为 60， MF1F260，MF2F130.F1MF290.MF1c，MF23c.又 MF1MF22a，c3c2a，即23 131e .【解法二】【解法二】sinsin)sin(ace=30sin60sin)3060sin(=21231=3-1。12. 设椭圆 C：2222=1xyab(ab0)的左、 右焦点分别为 F1， F2， P 是 C 上的点， PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率
13、为()A36B13C12D33【解法一】【解法一】如图所示，在 RtPF1F2中，|F1F2|2c，设|PF2|x，则|PF1|2x，由 tan 30212|3|23PFxFFc，得2 33xc.而由椭圆定义得，|PF1|PF2|2a3x，332axc，333cceac.【解法二】【解法二】sinsin)sin(ace=30sin90sin)3090sin(=21123=3313. 过椭圆12222byaxab0）的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2为右焦点，若F1PF2=60，则椭圆的离心率为（）A22B33C12D31【解法一】【解法一】由题意知点 P 的坐标为（c，a2b）
14、或（c，a2b） ，F1PF2=60，=3，即 2ac=3b2=3（a2c2） 高中数学资料群 734924357每天都有更新！3e2+2e3=0，e=33或 e=3（舍去） 【解法二】【解法二】sinsin)sin(ace=30sin90sin)3090sin(=21123=33。方法五方法五 运用运用22OMABbkka 求离心率求离心率14. 过点 M（1，1）作斜率为21的直线与椭圆 C：2222xyab=1（ab0）相交于 A，B两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于【解法一】【解法一】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则，过点 M（1，1）作斜率为2
15、1的直线与椭圆 C：2222xyab=1（ab0）相交于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，两式相减可得，a=2b，=b，e=ac=22高中数学资料群 734924357【解法二】【解法二】由点差法可得22OMABbkka ，121=22ba，解得 a=2b，=b，e=ac=22方法六方法六 运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率15. 已知椭圆 C：2222=1xyab(ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF45，则 C 的离心率为()A35B57C45D67【
16、解析】【解析】如图所示，根据余弦定理，|AF|2|BF|2|AB|22|BF|AB|cosABF，即|AF|6 又|OF|2|BF|2|OB|22|OB|BF|cosABF，即|OF|5高中数学资料群 734924357每天都有更新！又根据椭圆的对称性，|AF|BF|2a14，a7，|OF|5c，所以离心率为5716. 在ABC中，ABBC，7cos18B ，若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e 【解析】【解析】设1ABBC，7cos18B 则222252cos9ACABBCAB BCB53AC ，582321,21,3328cacea 17. 在ABC中，90A，3tan4B
17、若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e 【解析】【解析】如图，不妨设|AC|=3，|AB|=4,则|BC|=5，所以 2a=8,2c=4,e=12.方法七方法七 运用相似比求离心率运用相似比求离心率18. 已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BFx轴，直线 AB 交 y 轴于点 P若=2，则椭圆的离心率是（）ABCD高中数学资料群 734924357【解法一】【解法一】如图，由于 BFx 轴，故 x=c，y=，设 P（0，t） ，=2，（a，t）=2（c，t） a=2c，e= ， ，选 D【解法二【解法二】 由题意可知 BFAPOA， 且相似
18、比为 3:2， 则32acaAFAO， 解得 e=。方法八方法八 求出点的坐标带入椭圆方程建立等式求出点的坐标带入椭圆方程建立等式19. 如图，在平面直角坐标系中，A1，A2，B1，B2为椭圆12222byax（ab0）的四个顶点，F 为其右焦点，直线 A1B1与直线 B2F 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为高中数学资料群 734924357每天都有更新！【解】【解】由题意，可得直线 A1B1的方程为，直线 B2F 的方程为两直线联立则点 T（） ，则 M（） ，由于此点在椭圆上，故有，整理得 3a210acc2=0即 e2+10e3=0，
19、解得高中数学资料群 734924357方法九方法九 运用几何关系求离心率运用几何关系求离心率20. 已知 F1、F2是椭圆 C:12222byax（ab0） 的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点P 在过 A 且斜率为63的直线上，PF1F2为等腰三角形，12021PFF,则 C 的离心率为（）A.32B.21C.31D.41【解析】【解析】过 A 直线斜率为63tan=63即 si? ?，?t?si?，si? ? si?ht ?-? ? ? ? ? t ? ?，e=41，选 D21. 已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C12222byax（ab0）的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点P
20、 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（）A31B21C32D43【解析】【解析】由题意可设 F（c，0） ，A（a，0） ，B（a，0） ，高中数学资料群 734924357每天都有更新！令 x=c，代入椭圆方程可得 y=b22-1ac=ab2，可得 P（c，ab2） ，设直线 AE 的方程为 y=k（x+a） ，令 x=c，可得 M（c，k（ac） ） ，令 x=0，可得 E（0，ka） ，设 OE 的中点为 H，可得 H（0，2ka） ，由 B，H，M 三点共线，可得 kB
21、H=kBM，即为accaka)(2ka,化简可得caca=21，即为 a=3c，可得 e=ac=31，选 A22. 椭圆2222xyab=1（ab0）的右焦点 F（c，0）关于直线 y=bcx 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是高中数学资料群 734924357【解析【解析】不妨令 c=1，设 Q（m，n） ，由题意可得，即：由可得：m=，n=，代入可得：，解得 e2（4e44e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e21=0即 4e62e4+2e4e2+2e21=0，可得（2e21） （2e4+e2+1）=0，解得 e=2223. 设1F、2F是椭圆 E：2222xyab=1（0ab）的
22、左、右焦点，P 为直线32ax 上一点，21F PF是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A、12B、23C、34D、45【解析【解析】 如图所示，21F PF是等腰三角形，212130F FPF PF ，212| | 2F PFFc，260PF Q，230F PQ，2|F Qc，又23|2aF Qc，所以32acc，解得34ca，因此34cea，选 C高中数学资料群 734924357每天都有更新！24. 如图，F1，F2是椭圆 C1：24xy21 与双曲线 C2的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是()A2B
23、3C32D62【解析】【解析】椭圆 C1中，|AF1|AF2|2a4，|F1F2|2c2 3.又四边形 AF1BF2为矩形，F1AF290，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，|AF1|22，|AF2|22，双曲线 C2中，2c2 3，2a|AF2|AF1|2 2，故3622e ，选 D25. 在平面直角坐标系中，椭圆 C 的标准方程为2222=1xyab(a0，b0)，右焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B.设原点到直线 BF 的距离为 d1，F 到 l 的距离为 d2.若216dd，则椭圆 C 的离心率为_【解析】【解析】设椭圆 C 的半焦距为 c，由题意可设直线 BF 的方
24、程为=1xycb，即 bxcybc0.于是可知122bcbcdabc，22222aacbdcccc.216dd，26bbcca，即26abc.a2(a2c2)6c4.6e4e210.e213. 33e .题型二题型二 双曲线离心率的求解双曲线离心率的求解1 1、定义法关系求离心率2 2、运用渐近线求离心率3、运用 e=11k12求离心率4 4、运用sin-sin)sin(ace求离心率5 5、运用结论ak22bkABOM求离心率（A,B 为椭圆上的任意两点，M 为直线 AB 的中点）6 6、运用几何关系求离心率高中数学资料群 734924357每天都有更新！方法一方法一 定义法关系求离心率定义
25、法关系求离心率1.设 F1,F2是双曲线22221xyab（0a ，0b ）的左，右焦点， O 是坐标原点。过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P。若 ?t? ?tt? ，则 C 的离心率为（）A.5B.2C.3D.2【解析】【解析】因为 OF2=c ，直线 OP 的斜率为ab，则tt ? ?h t? 则 ?t? ?ht? t,?ostt? ?ostt?则?t? ?2.设 F1，F2分别为双曲线1-2222byaxa0，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点 P使得（|PF1|PF2|）2=b23ab，则该双曲线的离心率为【解析】【解析】（|PF1|PF2|）2=b23ab，由双曲线的定
26、义可得（2a）2=b23ab，4a2+3abb2=0，a=4b，c=b22a=417b，e=ac=173.设 F1，F2分别为双曲线1-2222byax（a0，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点 P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|PF2|=49ab，则该双曲线的离心率为【解析】【解析】不妨设右支上 P 点的横坐标为 x,由焦半径公式有|PF1|=exa，|PF2|=ex+a，|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|PF2|=49ab，2ex=3b， （ex）2a2=49ab49b2a2=49ab,a=43b，c=b22a=45b，e=ac=35高中数学资料群 7349243574
27、.已知双曲线 E:1-2222byax（a0，b0） ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是【解析】【解析】令 x=c，代入双曲线的方程可得 y=b=a2b，由题意可设 A（c，a2b） ，B（c，a2b） ，C（c，a2b） ，D（c，a2b） ，高中数学资料群 734924357每天都有更新！由 2|AB|=3|BC|，可得 2a22b=32c，即为 2b2=3ac，由 b2=c2a2，e=ac，可得 2e23e2=0，解得 e=2（负的舍去） 方法二方法二运用渐近线求离心率运用渐近线求离心率5.若双曲线
28、1-2222byax的一条渐近线经过点（3，4） ，则此双曲线的离心率为【解析【解析】 双曲线1-2222byax的一条渐近线经过点 （3， 4） ， 可得 3b=4a， 即 9 （c2a2） =16a2，解得 e=ac=35高中数学资料群 7349243576.中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2） ，则离心率为【解析】【解析】渐近线的方程是 y=abx，2=ab4，ab=，a=2b，c=a，e=ac=，即它的离心率为257.设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为【解析】【解析】设双曲线方程
29、为22221xyab（a0，b0） ，则 F（c，0） ，B（0，b）直线 FB：bx+cybc=0 与渐近线 y=abx 垂直，所以，即 b2=ac所以 c2a2=ac，即 e2e1=0，所以或（舍去）方法三方法三 运用运用 e= =2111k求离心率求离心率8.已知双曲线222210,0 xyCabab：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为【解法一】【解法一】设双曲线22221xyCab：的右准线为l过AB、分 别作AMl于M,BNl于N,BDAMD于,高中数学资料群 734924357每天都有更新！由直线 AB 的斜率为3,知直线 AB 的倾斜
30、角为16060 ,|2BADADAB由第二定义1| |(|)AMBNADAFFBe 11|(|)22ABAFFB 又15643|25AFFBFBFBee ，【解法二】【解法二】直线 AB 的斜率 k=3, 带入公式 e=11k12=2141-4=56方法四方法四 运用运用sin()sin-sincea求离心率求离心率9.设 F1，F2是双曲线 C：22221xyab(a0，b0)的两个焦点若在 C 上存在一点 P，使 PF1PF2，且PF1F230，则 C 的离心率为_【解法一】【解法一】如图所示，PF1PF2，PF1F230，可得|PF2|c.由双曲线定义知，|PF1|2ac，由|F1F2|
31、2|PF1|2|PF2|2得 4c2(2ac)2c2，即 2c24ac4a20，即 e22e20，22 32e，13e .高中数学资料群 734924357【解法二】【解法二】sinsin)sin(ace=30sin-60sin)3060sin(=21-231=3+110. 设ABC 是等腰三角形，ABC=120，则以 A，B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为（）ABCD【解】【解】sinsin)sin(ace=30sin-120sin)30120sin(=21-2321=。11. 已知 F1、F2是双曲线)0, 0( 12222babyax的两焦点，以线段 F1F2为边作正三角形 MF1
32、F2，若边 MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A324B13 C213 D13 【解析】sinsin)sin(ace=30sin-60sin)3060sin(=21-231=3+1，选 D高中数学资料群 734924357每天都有更新！方法五方法五 运用结论运用结论22OMABbkka求离心率求离心率12. 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C：2222100 xyabab ， 相交于 B、D 两点，且BD 的中点为1,3M.求 C 的离 心率；【解法一】【解法一】由题设知，l的方程为：2.yx带入C的方程，并化简，得2222222()440.baxa xaa b设1122(
33、,),(,),B x yD xy则22221212222244,aaa bxxx xbaba 由(1,3)M为BD的中点知1212xx，故222141,2aba即223ba，故222 ,caba所以C的离心率2.cea【解法二】【解法二】由22BDakbkOM，即 13=22ab，e=22a1b=2方法六方法六 运用几何关系求离心率运用几何关系求离心率13. 若双曲线C:22221xyab（0a ，0b ）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为 2，则C的离心率为解法一：常规解法解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为byxa ，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离
34、为3， 圆心到渐近线的距离为221baba，即2231baba，解得2e .解法二：待定系数法解法二：待定系数法设渐进线的方程为ykx，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为3， 圆心到渐近线的距离为221kk，即2231kk，解得23k ；由于渐近线的斜率与离心率关系为221ke，解得2e .高中数学资料群 734924357每天都有更新！解法三：几何法解法三：几何法从题意可知：112OAOOO A，1OO A为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为3，由于tank，可得3k ，渐近线的斜率与离心率关系为221ke，解得2e .解法四：坐标系转化法解法四：坐标系转化法根据圆的直角坐标
35、系方程：2224xy，可得极坐标方程4cos，由4cos2可得极角3，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以3k ，渐近线的斜率与离心率关系为221ke，解得2e .解法五：参数法之直线参数方程解法五：参数法之直线参数方程如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为byxa ，可以表示点A的坐标为2cos ,2sin， cosac，sinbc 点A的坐标为22,abcc， 代入圆方程中， 解得2e .14. 平面直角坐标系中， 双曲线 C1：1-2222byax（a0， b0） 的渐近线与抛物线 C2： x2=2py（p0）交于点 O，A，B，若OAB 的垂心为 C2的
36、焦点，则 C1的离心率为【解析】【解析】 双曲线 C1:1-2222byax（a0，b0）的渐近线方程为 y=abx与抛物线 C2： x2=2py 联立， 可得 x=0 或 x=， 取 A （，） ， 则=OAB 的垂心为 C2的焦点，（ab）=15a2=4b2，5a2=4（c2a2）e=ac=2315. 设 F1，F2是双曲线 C：22221xyab(a0，b0)的两个焦点，P 是 C 上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为 30，则 C 的离心率为_【解析】【解析】不妨设|PF1|PF2|，由1212| 6 ,| 2PFPFaPFPFa可得12| 4 ,| 2 .PFaP
37、Fa高中数学资料群 734924357每天都有更新！2a2c，PF1F230，cos 302222422 2 4caaa ，整理得，c23a22 3ac0，即 e22 3e30，3e .16. 如图，F1，F2分别是双曲线 C：22221xyab (a，b0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线 F1B 与 C的两条渐近线分别交于 P，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M若|MF2|F1F2|，则 C 的离心率是A2 33B62C2D3【解析】【解析】如图：|OB|b，|OF1|ckPQbc，kMNbc直线 PQ 为：ybc(xc)，两条渐近线为：ybax由()byxccbyx
38、a ，得：Q(acca ，bcca )；由()byxccbyxa -，得：P(acca ，bcca )直线 MN 为：ybcca bc(xacca )，令 y0 得： xM322cca 又|MF2|F1F2|2c， 3cxM322cca ， 解之得：2232acea ，即 e6217. 过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线， 该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C若12ABBC ，则双曲线的离心率是 ()A2B3C5D10【解析】【解析】对于,0A a，则直线方程为0 xya，高中数学资料群 734924357每天都有更新！直线与两渐近线的交点为 B，C，
39、22,(,)aabaabBCab ababab，则有22222222(,),a ba bababBCABababab ab 22245ABBCabe ，题型三题型三椭圆、双曲线离心率综合运用椭圆、双曲线离心率综合运用1.已知椭圆 M:12222byax(ab0）,双曲线 N：1m2222nyx. 若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 则椭圆 M 的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_【解法一】【解法一】图中 A ?h? ，设椭圆焦距为 2c,又 ? ? t ? ? ? 。 ? t? ? ?t? ? ? ，又? ? ， ?t ? ?，即双
40、曲线离心率为? ?。【解法二】【解法二】连接 AF1，则AF1F2=30,AF2F1=60对于椭圆sinsin)sin(ace=30sin60sin)3060sin(=21231=3-1。连接六边形的对角线 AB 则AOF2=60，360tanba，则231)(1e2ab2.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，,M N是双曲线的两顶点。若,M O N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A3B2C3D2【解析】【解析】设双曲线和椭圆的方程分别为2222111xyab，2222221xyab，则12cc高中数学资料群 734924357每天都有更新！依题意可得，212a
41、a，所以121212:2cceeaa3.设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点若|AF|3|BF|，则 l 的方程为()Ayx1 或 yx1By3(1)3x或 y3(1)3xCy3(1)x或 y3(1)xDy2(1)2x或 y2(1)2x【解析】【解析】由题意可得抛物线焦点 F(1,0)，准线方程为 x1.当直线 l 的斜率大于 0 时，如图所示，过 A，B 两点分别向准线 x1 作垂线，垂足分别为M，N，则由抛物线定义可得，|AM|AF|，|BN|BF|.设|AM|AF|3t(t0)，|BN|BF|t，|BK|x，而|GF|2，在AMK 中，由|
42、NBBKAMAK，得34txtxt，解得 x2t，则 cosNBK|1|2NBtBKx，NBK60，则GFK60，即直线 AB 的倾斜角为 60.斜率 ktan 603，故直线方程为 y3(1)x当直线 l 的斜率小于 0 时，如图所示，同理可得直线方程为 y3(1)x，故选 C.高中数学资料群 734924357每天都有更新！题型四题型四根据已知不等式求离心率的取值范围根据已知不等式求离心率的取值范围1.已知椭圆 E：12222byax（ab0）的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y=0 交椭圆 E 于 A，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点 M 到直线 l 的距离不小
43、于54，则椭圆 E 的离心率的取值范围是（）A（0，B （0，C，1） D，1）【解析】【解析】如图，设 F为椭圆的左焦点，连接 AF，BF，则四边形 AFBF是平行四边形，4=|AF|+|BF|=|AF|+|AF|=2a，a=2取 M（0，b） ，点 M 到直线 l 的距离不小于54，解得 b1e=椭圆 E 的离心率的取值范围是2.椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，若12MNFF，则该椭圆离心率的取值范围是（）102，202，112，212，【解析【解析】 椭圆22221(0)xyabab焦点为1F，2F， 两条准线与x轴的交点分别为MN，若
44、2| 2aMNc，12| 2FFc，12MNFF，则22acc该椭圆离心率 e22，取值范围是212，3.若双曲线22221xyab（a0,b0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D. (5,+)【解析】【解析】2033,22aexaeaaac 23520ee高中数学资料群 734924357每天都有更新！2e 或13e (舍去),(2,e 4.设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab） 的左、 右焦点， 若在其右准线上存在,P使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是（）A202
45、，B303，C212，D313，【解析】【解析】由已知 P2(, )ayc，所以1FP的中点 Q 的坐标为2(,)22byc由12124222222,1,22F PQFF PQFcycybkkkkybbbcc 22222113()(3)0(3)0,13yaceee当10F Pk时，2QFk不存在，此时2F为中点，2323accec综上得31.3e题型五题型五根据顶角建立不等式求离心率范围根据顶角建立不等式求离心率范围1、P 为椭圆上任意一点，F1，F2为椭圆的焦点，则F1PF2最大当且仅当 P 为短轴顶点；2、P 是椭圆上的任意一点，A,B 为椭圆的长轴顶点，则APB 最大当且仅当 P 为短轴
46、顶点；3、P 为椭圆上任意一点，F1，F2为椭圆的焦点，若F1PF2= ，则椭圆的离心率的取值范围为2sineb0)的左右焦点，若椭圆上存在点 P,使得F1PF2=900，则椭圆的离心率 e 的取值范围为高中数学资料群 734924357每天都有更新！【解析】【解析】设上顶点为 B，只要F1BF22,就存在点 P 使得F1PF2=900所以 e=sinF1BOsin4=22，解得22eb0)长轴的两个顶点， 若椭圆上存在点 P,使得APB=1200，则椭圆的离心率 e 的最小值为【解析】设上顶点为 M，只要AMB32,就存在点 P 使得APB=1200所以ba=22aac=2e-11=tanA
47、OMtan3=3，解得36e变式变式 3已知椭圆 C：22221(0)xyabab两个焦点为12,F F，如果曲线 C 上存在一点 Q，使12FQF Q，求椭圆离心率的最小值。【解析】设1221,PFFPF F，根据三角形的正弦定理及合分比定理可得cossin2cossinsinsin90sin221210aPFPFPFPFc故22)45sin(210e，故椭圆离心率的最小值为22题型六题型六根据焦半径范围求离心率范围根据焦半径范围求离心率范围1、F 是椭圆的一个焦点，P 是椭圆上的任意一点，则 a-cPFa+c；2、F 是双曲线的右焦点，若 P 是双曲线右支上的任意一点，则 c-aPF；若
48、P 是双曲线左支上的任意一点，则caPF，根据题给等式确定 P 位置。3、P 是椭圆上的任意一点，则-axpa, -byp0,b0）的左、右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） ，若双曲线上存在一点 P 使cFPFFPFasinsin1221，则该双曲线的离心率的取值范围是【解析】【解析】根据正弦定理知212211sinsinPFPFFPF FPF211PFaPFce，21e PFPF又122 (1)PFPFa e，2(1)2ePFa，221aPFe，高中数学资料群 734924357每天都有更新！由双曲线性质知2PFca，21acae，即211ee，得2210ee ，又1e ，得(1
49、, 21)e 2.2.已知椭圆12222byax（ab0）的左、右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） ，若椭圆上存在一点 P 使，则该椭圆的离心率的取值范围为【解析】【解析】在PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：， 即：a|PF1|=c|PF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=aex0则 a（a+ex0）=c（aex0） ，解得：由椭圆的几何性质知：x0a 则，整理得 e2+2e10，解得：e1-2，又 e（0，1） ，故椭圆的离心率：e（1-2，1） 。3.3.已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左， 右焦点分别为12,F F
50、,点 P 在双曲线的右支上，且12| 4|PFPF,则此双曲线的离心率 e 的最大值为：()A.43B .53C.2D .73【解析】【解析】由题意可知a242121PFPFPFPF即32a3821aPFPF由 c+a1PF则 e35.4.4.如果椭圆222210 xyabab上存在一点 P，使得点 P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 （）A(0,21B 21,1)C(0, 31D 31,1)【解析】【解析】设2PFm，由题意及椭圆第二定义可知1PFme122(1)21aPFPFm eame2112PFPFFF（当且仅当12PFF， ，三点共线等号成立）2c
