1、 小学数学各类型应用题小学数学各类型应用题 解答方法解答方法 汇汇 总总 2019 年 11 月 1 整数和小数整数和小数 简单应用题简单应用题 只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，叫做简单应用题。 解题步骤解题步骤 a 审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时， 不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题， 帮助理解题意。 b 选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要 求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系， 确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。 C 检验：就是根据应用
2、题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否 正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。 复合应用题复合应用题 有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应 用题，通常叫做复合应用题。 含有三个已知条件的两步计算含有三个已知条件的两步计算 求比两个数的和多（少）几个数的应用题。 比较两数差与倍数关系的应用题。 含有含有两个已知条件的两步计算两个已知条件的两步计算 已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）。 已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）。 解答小数计算解答小数计算 小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关
3、系、结构、和 解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。 答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。 解答加法应用题解答加法应用题 a 求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。 b 求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数 是多少。 2 解答减法应用题解答减法应用题 a 求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。 b 求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多 少，或乙数比甲数少多少。 c 求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，乙数比甲数少多少，求乙 数是多少。 解答乘法应用
4、题解答乘法应用题 a 求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。 b 求一个数的几倍是多少的应用题： 已知一个数是多少， 另一个数是它的几倍， 求另一个数是多少。 解答除法应用题解答除法应用题 a 把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题： 已知一个数和把这个数 平均分成几份的，求每一份是多少。 b 求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以 分成几份。 C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大 数是较小数的几倍。 d 已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。 常见的数量关系常见的数量关系 总价= 单价数量 路程=
5、速度时间 工作总量=工作时间工效 总产量=单产量数量 典型应用题典型应用题 具有独特结构特征的和特定的解题规律的复合应用题， 通常叫做典型应用题。 平均数问题平均数问题 平均数是等分除法的发展。 解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。 算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是 多少。数量关系式：数量之和 数量的个数=算术平均数。 加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。 数量关系式 （部分平均数权数）的总和（权数的和）=加权平均数。 3 差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，
6、求的是 标准数与各数相差之和的平均数。 数量关系式：（大数小数） 2=小数应得数 最大数与各数之差的和总份数=最大数应给数 最大数与个数之差的和总份数=最小数应得数。 例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。 分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程 设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100 ，所用的时 间为 1/100，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米 ，所用的时间是 1/60 ，汽车共 行的时间为 1/100+ 1/60 = 2/75 , 汽车的
7、平均速度为 2 2/75 =75 （千米） 归一问题归一问题 已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化 的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。 根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问 题。 根据求单一量之后， 解题采用乘法还是除法， 归一问题可以分为正归一问题， 反归一问题。 一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。” 两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。” 正归一问题： 用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。 反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再
8、用除法计算结果的归一问题。 解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量）， 然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。 数量关系式：单一量份数=总数量（正归一） 总数量单一量=份数（反归一） 例 一个织布工人， 在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算， 织布 6930 米 ， 需要多少天？ 分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。 693 0 （ 477 4 31 ） =45 （天） 归总问题归总问题 是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量 的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。 4 特点：两种相关联的量，其中一种量变
9、化，另一种量也跟着变化，不过变化 的规律相反，和反比例算法彼此相通。 数量关系式： 单位数量单位个数另一个单位数量 = 另一个单位数量 单位数量单位个数另一个单位数量= 另一个单位数量。 例 修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每 天修了多少米？ 分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类 应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是 先求出总量，再求单一量。80 0 6 4=1200 （米） 和差问题和差问题 已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和 差问题。 解题关键：是把
10、大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和）， 然后再求另一个数。 解题规律： （和差） 2 = 大数 大数差=小数 （和差） 2=小数 和小数= 大数 例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人， 因工作需要临时从乙班调 46 人到 甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？ 分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2 个 乙班，即 9 4 12 ，由此得到现在的乙班是（ 9 4 12 ） 2=41 （人）， 乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 （人），甲班为 9 4 87=7 （人） 和倍问题和倍问题 已知两个数的和
11、及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做 和倍问题。 解题关键：找准标准数（即 1 倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就 确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也 可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。 解题规律：和倍数和=标准数 标准数倍数=另一个数 例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输 场有大货车和小汽车各有多少辆？ 5 分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为 了使总数与（ 5+1 ）倍对应，总车辆数应（ 115-7 ）辆 。
12、 列式为（115-7）（5+1） =18 （辆）， 18 5+7=97 （辆） 差倍问题差倍问题 已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。 解题规律：两个数的差（倍数1 ）= 标准数 标准数倍数=另一个数。 例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长 度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？各减去 多少米？ 分析： 两根绳子剪去相同的一段， 长度差没变， 甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍， 实比乙绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。 列式（ 63-29 ）（ 3-1 ） =17 （米）乙绳剩下的长度 17
13、 3=51 （米）甲绳剩下的长度 29-17=12 （米）剪去的长度。 行程问题行程问题 关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。 解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念， 了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。 解题关键及规律： 同时同地相背而行：路程=速度和时间。 同时相向而行：相遇时间=速度和时间 同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。 同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差时间。 例 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ， 乙每小时行 9 千米
14、，甲几小时追上乙？ 分析： 甲每小时比乙多行 （ 16-9 ） 千米， 也就是甲每小时可以追近乙 （ 16-9 ） 千米，这是速度差。 已知甲在乙的后面 28 千米 （追击路程） ， 28 千米 里包含着几个 （ 16-9 ） 千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8 （ 16-9 ） =4 （小时） 6 流水问题流水问题 一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型， 它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。 船速：船在静水中航行的速度。 水速：水流动的速度。 顺水速度：船顺流航行的速度。 逆水速度：船逆流航行的速度。 顺速=船速水速 逆
15、速=船速水速 解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差， 所以流水问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索。 解题规律：船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）2 流水速度=（顺流速度逆流速度）2 路程=顺流速度 顺流航行所需时间 路程=逆流速度逆流航行所需时间 例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又 逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。求甲 乙两地相距多少千米？ 分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆 水的时间。已知顺水速度和水流 速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的
16、 时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2 小时，抓住这一点，就 可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。 列式为 284 2=20 （千米） 2 0 2 =40 （千米） 40 （ 4 2 ） =5 （小时） 28 5=140 （千米）。 还原问题还原问题 已知某未知数， 经过一定的四则运算后所得的结果， 求这个未知数的应用题， 我们叫做还原问题。 解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。 解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐 步推导出原数。 根据原题的运算顺序列出数量关系， 然后采用逆运算的方法计算推导出原数。 7
17、 解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别 忘记写括号。 例 某小学三年级四个班共有学生 168 人， 如果四班调 3 人到三班， 三班调 6 人到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等， 四个班原有学生多少人？ 分析： 当四个班人数相等时， 应为 168 4 ， 以四班为例， 它调给三班 3 人， 又从一班调入 2 人，所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。四班原 有人数列式为 168 4-2+3=43 （人） 一班原有人数列式为 168 4-6+2=38 （人） 二班原有人数列式为 168 4-6+6=42 （人） 三班
18、原有人数列式为 168 4-3+6=45 （人）。 植树问题植树问题 这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量 关系的应用题，叫做植树问题。 解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是 沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。 解题规律：沿线段植树 棵树=段数+1 棵树=总路程株距+1 株距=总路程（棵树-1） 总路程=株距（棵树-1） 沿周长植树 棵树=总路程株距 株距=总路程棵树 总路程=株距棵树 例 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全 部改装，只埋了 201 根。求改装后每相邻两根的间距
19、。 分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。 列式为 50 （ 301-1 ）（ 201-1 ） =75 （米） 盈亏问题盈亏问题 是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品，平均分 配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或 8 两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫 做盈亏问题。 解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量 的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一 个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。 解题规律：总差额 每人差额=人数 总差额的
20、求法可以分为以下四种情况： 第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足 第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额=多余或不足 第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余 第一次不足，第二次也不足， 总差额= 大不足-小不足 例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人， 则多 25 支，如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分得几支？共有多少 支色铅笔？ 分析： 每个同学分到的色笔相等。 这个活动小组有 12 人， 比 10 人多 2 人， 而色笔多出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 个人多出 20 支，一个人分得 10 支。 列式为 （25-5
21、 ）（ 12-10 ） =10 （支） 10 12+5=125 （支）。 年龄问题年龄问题 将差为一定值的两个数作为题中的一个条件， 这种应用题被称为“年龄问题”。 解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，主要特点是随着时间的 变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题 是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。 例 父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？ 分析： 父子的年龄差为 48-21=27 （岁） 。 由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍， 可知父子年龄的倍数差是（ 4-1 ）倍。这样可以算出几年前父子的年龄
22、，从而可 以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。 列式为： 21（ 48-21 ）（ 4-1 ） =12 （年） 鸡兔问题鸡兔问题 已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称 为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题 9 解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡” 或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。 解题规律：（总腿数鸡腿数总头数）一只鸡兔腿数的差=兔子只数 兔子只数=（总腿数-2总头数）2 如果假设全是兔子，可以有下面的式子： 鸡的只数=（4总头数-总腿数）2 兔的头数=总头数-鸡的只数 例 鸡兔同笼共 50 个头，
23、170 条腿。问鸡兔各有多少只？ 兔子只数 （ 170-2 50 ） 2 =35 （只） 鸡的只数 50-35=15 （只） 分数分数和和百分数百分数 求一个数是另一个数的百分之几求一个数是另一个数的百分之几 这类问题的结构特征是，已知两个数量，所求问题是这两个量间的百分率。 求一个数是另一个数的百分之几与求一个数是另一个数的几倍或几分之几的实质是 一样的，只不过计算结果用百分数表示罢了，所以求一个数是另一数的百分之几时，要 用除法计算。 一般规律一般规律 设 a、b 是两个数，当求 a 是 b 的百分之几时，列式是 ab。解答这类应用题时，关 键是理解问题的含意。 例题例题 养猪专业户李阿姨
24、去年养猪 350 头，今年比去年多养猪 60 头，今年比去年多养猪百 分之几？ 思路分析思路分析 问题的含义是：今年比去年多养猪的头数是去年养猪头数的百分之几。所以应用今 年比去年多养猪的头数去去年养猪的头数，然后把所得的结果转化成百分数。 求一个数的几分之几或百分之几求一个数的几分之几或百分之几 求一个数的几分之几或百分之几是多少，都用乘法计算。 解答这类问题时，要从反映两个数的倍数关系的那个已知条件入手分析，先确定单 位“1” ，然后确定求单位“1”的几分之几或百分之几。 10 已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数 这类应用题可以用方
25、程来解，也可以用算术法来解。 用算术方法解时，要用除法计算。 解答这类应用题时，也要反映两个数的倍数关系的已知条件入手分析： 先确定单位“1” ，再确定单位“1”的几分之几或百分之几是多少。 一些稍难的应用题，可以画图帮助分析数量关系。 工程问题工程问题 工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量的问题。 题目题目特点特点 工作总量没有给出实际数量，把它看做“1” ，工作效率用来表示，所求问题大多是 合作时间。 例题例题 一件工程，甲工程队修建需要 8 天，乙工程队修建需要 12 天，两队合修 4 天后，剩 下的任务，有乙工程队单独修，还需几天？ 思路分析思路分析 把一件工程的工作量看作“1”
26、 ，则甲的工作效率是 1/8，乙的工作效率是 1/12。 已知两队合修了 4 天，就可求出合修的工作量，进而也就能求出剩下的工作量。 用剩下的工作量除以乙的工作效率，就是还需要几天完成。 比和比例比和比例 比和比例应用题是小学数学应用题的重要组成部分。在小学中，比的应用题包括： 比例尺应用题和按比例分配应用题，正、反比例应用题。 比例尺比例尺 这种应用题是研究图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系的。 解答这类应用题时，最主要的是要清楚比例尺的意义，即： 图上距离实际距离=比例尺 根据这个关系式，已知三者之间的任意两个量，就可以求出第三个未知的量。 例题例题 在比例尺是 1：3000000
27、的地图上，量得 A 城到 B城的距离是 8 厘米，A 城到 B城的 实际距离是多少千米？ 11 思路分析思路分析 把比例尺写成分数的形式， 把实际距离设为 x,代入比例尺的关系式就可解答了。 所设 未知数的计量单位名称要与已知的计量单位名称相同。 按比例分配按比例分配 这类应用题的特点是：把一个数量按照一定的比分成两部分或几部分，求各部分的 数量是多少。 这是学生在小学阶段唯一接触到的不平均分问题。 解题规律解题规律 先求出各部分的份数和，在确定各部分量占总数量的几分之几，最后根据求一个数 的几分之几是多少，用乘法计算，求出各部分的数量。 按比例分配也可以用归一法来解。 例题例题 一种农药溶液
28、是用药粉加水配制而成的，药粉和水的重量比是 1：100。2500 千克水 需要药粉多少千克？5.5 千克药粉需加水多少千克？ 思路分析思路分析 已知药和水的份数，就可以知道药和水的总份数之和，也就可以知道药和水各自占 总份数的几分之几，知道了分率，相应地也就可以求出各自相对量。 正、反比例正、反比例 解答这类应用题，关键是判断题目中的两种相关联的量是成正比里的量，还是成反 比例的量。 如果用字母 x、y 表示两种相关联的量，用 K 表示比值（一定） ，两种相向关联的量成 正比例时，用下面的式子来表示： kxy（一定） 。 如果两种相关联的量成反比例时，可用下面的式子来表示： y=K（一定） 。 例题例题 六一玩具厂要生产 2080 套儿童玩具。前 6 天生产了 960 套，照这样计算，完成全部 任务共需要多少天？ 思路分析思路分析 因为工作总量工作时间=工作效率，已知工作效率一定，所以工作总量与工作时间 成正比例。
