1、 2019 年山东省枣庄市中考数学试卷年山东省枣庄市中考数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正 确的选项选出来。每小题选对得确的选项选出来。每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。 1 （3 分）下列运算，正确的是（ ） A2x+3y5xy B （x3）2x29 C （xy2）2x2y4 Dx6x3x2 2 （3 分）下列图形，可以看作中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）将一副直角
2、三角板按如图所示的位置放置，使含 30角的三角板的一条直角边和 含 45角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则 的度数是（ ） A45 B60 C75 D85 4 （3 分）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于 A，B 两点，P 是线段 AB 上任意一 点（不包括端点） ，过点 P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为 8，则 该直线的函数表达式是（ ） Ayx+4 Byx+4 Cyx+8 Dyx+8 5 （3 分）从1、2、3、6 这四个数中任取两数，分别记为 m、n，那么点（m，n）在函 数 y图象的概率是（ ） A B C D 6 （3 分）在平面直角坐标系中，将点 A
3、（1，2）向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到点 A，则点 A的坐标是（ ） A （1，1） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 7 （3 分）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把ADE 绕点 A 顺时针旋转 90 到ABF 的位置若四边形 AECF 的面积为 20，DE2，则 AE 的长为（ ） A4 B2 C6 D2 8 （3 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以点 B 为圆心，AB 为半径画弧，交对角 线 BD 于点 E，则图中阴影部分的面积是（结果保留 ） （ ） A8 B162 C82 D8 9 （3 分）如图，在平
4、面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，ABC90，CAx 轴，点 C 在函数 y（x0）的图象上，若 AB 1，则 k 的值为（ ） A1 B C D2 10 （3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中 空白处的是（ ） A B C D 11 （3 分）点 O，A，B，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，AC1，OAOB若点 C 所表示的数为 a，则点 B 所表示的数为（ ） A（a+1） B（a1） Ca+1 Da1 12 （3 分）如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC的位置已知A
5、BC 的面积为 16，阴影部分三角形的面积 9若 AA1，则 AD 等于（ ） A2 B3 C4 D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 24 分。只填写最后结果，每小题填对得分。只填写最后结果，每小题填对得4 分。分。 13 （4 分）若 m3，则 m2+ 14 （4 分）已知关于 x 的方程 ax2+2x30 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围 是 15 （4 分）如图，小明为了测量校园里旗杆 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直放在距旗杆底部 B 点 6m 的位置，在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 53，若测角仪的高度是 1.5m，则旗 杆 AB
6、的高度约为 m （精确到 0.1m参考数据：sin530.80，cos530.60， tan531.33） 16 （4 分）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图 1 所示） ，然后轻轻拉紧、压平 就可以得到如图 2 所示的正五边形 ABCDE图中，BAC 度 17 （4 分）把两个同样大小含 45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的 锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 A，且另外三个锐角顶点 B，C，D 在同一 直线上若 AB2，则 CD 18 （4 分）观察下列各式： 1+1+（1） ， 1+1+（） ， 1+1+（） ， 请利用你发现的规律，计算： +， 其结果为
7、三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 小题，满分小题，满分 60 分解答时，要写分解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤。演算步骤。 19（8 分） 先化简， 再求值： （+1） ， 其中 x 为整数且满足不等式组 20 （8 分）如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线，CBD75， （1） 请用尺规作图法， 作 AB 的垂直平分线 EF， 垂足为 E， 交 AD 于 F； （不要求写作法， 保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接 BF，求DBF 的度数 21 （8 分）对于实数 a、b，定义关于“”的一种运算：ab2a+b，例如 3423+
8、4 10 （1）求 4（3）的值； （2）若 x（y）2， （2y）x1，求 x+y 的值 22 （8 分）4 月 23 日是世界读书日，习近平总书记说： “读书可以让人保持思想活力，让人 得到智慧启发，让人滋养浩然之气 ”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读， 该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间， 过程如下： 一、数据收集，从全校随机抽取 20 学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下 （单位：min） ： 30 60 81 50 44 110 130 146 80 100 60 80 120 140 75 81 10 30 81 92 二
9、、整理数据，按如下分段整理样本数据并补全表格： 课外阅读时间 x（min） 0x40 40x80 80x120 120x160 等级 D C B A 人数 3 a 8 b 三、分析数据，补全下列表格中的统计量： 平均数 中位数 众数 80 c 81 四、得出结论： 表格中的数据：a ，b ，c ； 用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为 ； 如果该校现有学生 400 人，估计等级为“B”的学生有 人； 假设平均阅读一本课外书的时间为 320 分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一 年（按 52 周计算）平均阅读 本课外书 23 （8 分）如图，在 RtABC 中，ABC90
10、，以 AB 为直径作O，点 D 为O 上一 点，且 CDCB，连接 DO 并延长交 CB 的延长线于点 E （1）判断直线 CD 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 BE2，DE4，求圆的半径及 AC 的长 24 （10 分）在ABC 中，BAC90，ABAC，ADBC 于点 D （1）如图 1，点 M，N 分别在 AD，AB 上，且BMN90，当AMN30，AB2 时，求线段 AM 的长； （2）如图 2，点 E，F 分别在 AB，AC 上，且EDF90，求证：BEAF； （3）如图 3，点 M 在 AD 的延长线上，点 N 在 AC 上，且BMN90，求证：AB+AN AM 25 （
11、10 分）已知抛物线 yax2+x+4 的对称轴是直线 x3，与 x 轴相交于 A，B 两点（点 B 在点 A 右侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式和 A，B 两点的坐标； （2）如图 1，若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点（不与 B、C 重合） ，是否存 在点 P，使四边形 PBOC 的面积最大？若存在，求点 P 的坐标及四边形 PBOC 面积的最 大值；若不存在，请说明理由； （3） 如图 2， 若点 M 是抛物线上任意一点， 过点 M 作 y 轴的平行线， 交直线 BC 于点 N， 当 MN3 时，求点 M 的坐标 2019 年山东省枣庄市中考数学试卷年山
12、东省枣庄市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正 确的选项选出来。每小题选对得确的选项选出来。每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。 1 （3 分）下列运算，正确的是（ ） A2x+3y5xy B （x3）2x29 C （xy2）2x2y4 Dx6x3x2 【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则、同底数幂的 乘除运算法则分别计算得
13、出答案 【解答】解：A、2x+3y，无法计算，故此选项错误； B、 （x3）2x26x+9，故此选项错误； C、 （xy2）2x2y4，正确； D、x6x3x3，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和积的乘方运算、同底数幂的乘 除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 2 （3 分）下列图形，可以看作中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本
14、选项不符合题意 故选：B 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 3 （3 分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含 30角的三角板的一条直角边和 含 45角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则 的度数是（ ） A45 B60 C75 D85 【分析】先根据三角形的内角和得出CGFDGB45，再利用D+DGB 可得答案 【解答】解：如图， ACD90、F45， CGFDGB45， 则D+DGB30+4575， 故选：C 【点评】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和 三角形外角的性质 4 （3 分
15、）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于 A，B 两点，P 是线段 AB 上任意一 点（不包括端点） ，过点 P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为 8，则 该直线的函数表达式是（ ） Ayx+4 Byx+4 Cyx+8 Dyx+8 【分析】设 P 点坐标为（x，y） ，由坐标的意义可知 PCx，PDy，根据围成的矩形的 周长为 8，可得到 x、y 之间的关系式 【解答】解：如图，过 P 点分别作 PDx 轴，PCy 轴，垂足分别为 D、C， 设 P 点坐标为（x，y） ， P 点在第一象限， PDy，PCx， 矩形 PDOC 的周长为 8， 2（x+y）8， x+y4， 即该直
16、线的函数表达式是 yx+4， 故选：A 【点评】本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的 坐标都满足函数关系式 ykx+b根据坐标的意义得出 x、y 之间的关系是解题的关键 5 （3 分）从1、2、3、6 这四个数中任取两数，分别记为 m、n，那么点（m，n）在函 数 y图象的概率是（ ） A B C D 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出 mn6，列表找出所有 mn 的值，根 据表格中 mn6 所占比例即可得出结论 【解答】解：点（m，n）在函数 y的图象上， mn6 列表如下： m 1 1 1 2 2 2 3 3 3 6 6 6 n 2 3 6 1
17、3 6 1 2 6 1 2 3 mn 2 3 6 2 6 12 3 6 18 6 12 18 mn 的值为 6 的概率是 故选：B 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表 找出 mn6 的概率是解题的关键 6 （3 分）在平面直角坐标系中，将点 A（1，2）向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到点 A，则点 A的坐标是（ ） A （1，1） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可 【解答】解：将点 A（1，2）向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度， 得到点
18、A， 点 A的横坐标为 121，纵坐标为2+31， A的坐标为（1，1） 故选：A 【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加， 左移减；纵坐标上移加，下移减 7 （3 分）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把ADE 绕点 A 顺时针旋转 90 到ABF 的位置若四边形 AECF 的面积为 20，DE2，则 AE 的长为（ ） A4 B2 C6 D2 【分析】利用旋转的性质得出四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积，进而可求 出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案 【解答】解：ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置 四
19、边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积等于 20， ADDC2， DE2， RtADE 中，AE2 故选：D 【点评】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应 边关系是解题关键 8 （3 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以点 B 为圆心，AB 为半径画弧，交对角 线 BD 于点 E，则图中阴影部分的面积是（结果保留 ） （ ） A8 B162 C82 D8 【分析】根据 S阴SABDS扇形BAE计算即可 【解答】解：S阴SABDS扇形BAE4482， 故选：C 【点评】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割
20、法求阴影部分面积 9 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，ABC90，CAx 轴，点 C 在函数 y（x0）的图象上，若 AB 1，则 k 的值为（ ） A1 B C D2 【分析】 根据题意可以求得 OA 和 AC 的长， 从而可以求得点 C 的坐标， 进而求得 k 的值， 本题得以解决 【解答】解：等腰直角三角形 ABC 的顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，ABC 90，CAx 轴，AB1， BACBAO45， OAOB，AC， 点 C 的坐标为（，） ， 点 C 在函数 y（x0）的图象上， k1，
21、故选：A 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键 是明确题意，利用数形结合的思想解答 10 （3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中 空白处的是（ ） A B C D 【分析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为 10，据此可得 【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为 10， 符合此要求的只有 故选：D 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数 之和为 10 11 （3 分）点 O，A，B，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，AC1，OAOB若点 C 所表示的数
22、为 a，则点 B 所表示的数为（ ） A（a+1） B（a1） Ca+1 Da1 【分析】根据题意和数轴可以用含 a 的式子表示出点 B 表示的数，本题得以解决 【解答】解：O 为原点，AC1，OAOB，点 C 所表示的数为 a， 点 A 表示的数为 a1， 点 B 表示的数为：（a1） ， 故选：B 【点评】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 12 （3 分）如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC的位置已知ABC 的面积为 16，阴影部分三角形的面积 9若 AA1，则 AD 等于（ ） A2 B3 C4 D 【分析】由 SABC16、SAEF9
23、且 AD 为 BC 边的中线知 SADESAEF，S ABD SABC8，根据DAEDAB 知（）2，据此求解可得 【解答】解：SABC16、SAEF9，且 AD 为 BC边的中线， SADESAEF，SABDSABC8， 将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到ABC， AEAB， DAEDAB， 则（）2，即（）2， 解得 AD3 或 AD（舍） ， 故选：B 【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的 性质、相似三角形的判定与性质等知识点 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 24 分。只填写最后结果，每小题填对得分。
24、只填写最后结果，每小题填对得4 分。分。 13 （4 分）若 m3，则 m2+ 11 【分析】根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案 【解答】解：m22+9， m2+11， 故答案为 11 【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，把已知式子变形，然后整体代入求值计 算，难度适中 14 （4 分）已知关于 x 的方程 ax2+2x30 有两个不相等的实数根， 则 a 的取值范围是 a 且 a0 【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根 的判别式是 b24ac0 即可进行解答 【解答】解：由关于 x 的方程 ax2+2x3
25、0 有两个不相等的实数根 得b24ac4+43a0， 解得 a 则 a且 a0 故答案为 a且 a0 【点评】 本题重点考查了一元二次方程根的判别式， 在一元二次方程 ax2+bx+c0 （a0） 中， （1）当0 时，方程有两个不相等的实数根； （2）当0 时，方程有两个相等的 实数根； （3）当0 时，方程没有实数根 15 （4 分）如图，小明为了测量校园里旗杆 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直放在距旗杆底部 B 点 6m 的位置，在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 53，若测角仪的高度是 1.5m，则旗 杆 AB 的高度约为 9.5 m （精确到 0.1m参考数据：sin530.80
26、，cos530.60， tan531.33） 【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可 【解答】解：过 D 作 DEAB， 在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 53， ADE53， BCDE6m， AEDEtan5361.337.98m， ABAE+BEAE+CD7.98+1.59.48m9.5m， 故答案为：9.5 【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三 角形注意方程思想与数形结合思想的应用 16 （4 分）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图 1 所示） ，然后轻轻拉紧、压平 就可以得到如图 2 所示的正五边形 ABCDE图中，BAC 3
27、6 度 【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题 【解答】解：ABC108，ABC 是等腰三角形， BACBCA36 度 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质 n 边形的内角和为：180（n2） 17 （4 分）把两个同样大小含 45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的 锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 A，且另外三个锐角顶点 B，C，D 在同一 直线上若 AB2，则 CD 【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出 BC2，BFAF，再利用勾股定理 求出 DF，即可得出结论 【解答】解：如图，过点 A 作 AFBC 于 F， 在 Rt
28、ABC 中，B45， BCAB2，BFAFAB， 两个同样大小的含 45角的三角尺， ADBC2， 在 RtADF 中，根据勾股定理得，DF， CDBF+DFBC+2， 故答案为： 【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题 的关键 18 （4 分）观察下列各式： 1+1+（1） ， 1+1+（） ， 1+1+（） ， 请利用你发现的规律，计算： +， 其结果为 2018 【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可 【解答】解：+ 1+（1）+1+（）+1+（） 2018+1+ 2018， 故答案为：2018 【点评】本题考查的是二次根式的化简、数字
29、的变化规律，掌握二次根式的性质是解题 的关键 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 小题，满分小题，满分 60 分解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或分解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤。演算步骤。 19（8 分） 先化简， 再求值： （+1） ， 其中 x 为整数且满足不等式组 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求出其整数解， 继而代入计算可得 【解答】解：原式（+） ， 解不等式组得 2x， 则不等式组的整数解为 3， 当 x3 时，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算 法则及解一元一次
30、不等式组的能力 20 （8 分）如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线，CBD75， （1） 请用尺规作图法， 作 AB 的垂直平分线 EF， 垂足为 E， 交 AD 于 F； （不要求写作法， 保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接 BF，求DBF 的度数 【分析】 （1）分别以 A、B 为圆心，大于AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可； （2）根据DBFABDABF 计算即可； 【解答】解： （1）如图所示，直线 EF 即为所求； （2）四边形 ABCD 是菱形， ABDDBCABC75，DCAB，AC ABC150，ABC+C180， CA30， EF 垂直平分线段 AB， A
31、FFB， AFBA30， DBFABDFBE45 【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解 题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型 21 （8 分）对于实数 a、b，定义关于“”的一种运算：ab2a+b，例如 3423+4 10 （1）求 4（3）的值； （2）若 x（y）2， （2y）x1，求 x+y 的值 【分析】 （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出所求 【解答】解： （1）根据题中的新定义得：原式835； （2）根据题中的新定义化简得：， +得：3x+3y3， 则 x+y1 【点评】此题
32、考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题 的关键 22 （8 分）4 月 23 日是世界读书日，习近平总书记说： “读书可以让人保持思想活力，让人 得到智慧启发，让人滋养浩然之气 ”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读， 该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间， 过程如下： 一、数据收集，从全校随机抽取 20 学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下 （单位：min） ： 30 60 81 50 44 110 130 146 80 100 60 80 120 140 75 81 10 30 81 92 二、整理数据，按如下
33、分段整理样本数据并补全表格： 课外阅读时间 x（min） 0x40 40x80 80x120 120x160 等级 D C B A 人数 3 a 8 b 三、分析数据，补全下列表格中的统计量： 平均数 中位数 众数 80 c 81 四、得出结论： 表格中的数据：a 5 ，b 4 ，c 80.5 ； 用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为 B ； 如果该校现有学生 400 人，估计等级为“B”的学生有 160 人； 假设平均阅读一本课外书的时间为 320 分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一 年（按 52 周计算）平均阅读 13 本课外书 【分析】根据已知数据和中位数的概念
34、可得； 由样本中位数和众数、平均数都是 B 等级可得答案； 利用样本估计总体思想求解可得； 用没有阅读书籍的平均时间乘以一年的周数，再除以阅读每本书所需时间即可得 【解答】解：由已知数据知 a5，b4， 第 10、11 个数据分别为 80、81， 中位数 c80.5， 故答案为：5、4、80.5； 用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为 B， 故答案为：B； 估计等级为“B”的学生有 400160（人） ， 故答案为：160； 估计该校学生每人一年（按 52 周计算）平均阅读课外书5213（本） ， 故答案为：13 【点评】此题主要考查数据的统计和分析的知识准确把握三数（平均
35、数、中位数、众 数）和理解样本和总体的关系是关键 23 （8 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，以 AB 为直径作O，点 D 为O 上一 点，且 CDCB，连接 DO 并延长交 CB 的延长线于点 E （1）判断直线 CD 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 BE2，DE4，求圆的半径及 AC 的长 【分析】 （1）欲证明 CD 是切线，只要证明 ODCD，利用全等三角形的性质即可证明； （2）设O 的半径为 r在 RtOBE 中，根据 OE2EB2+OB2，可得（4r）2r2+22， 推出 r1.5，由 tanE，推出，可得 CDBC3，再利用勾股定 理即可解决问题； 【解答】
36、 （1）证明：连接 OC CBCD，COCO，OBOD， OCBOCD（SSS） ， ODCOBC90， ODDC， DC 是O 的切线； （2）解：设O 的半径为 r 在 RtOBE 中，OE2EB2+OB2， （4r）2r2+22， r1.5， tanE， ， CDBC3， 在 RtABC 中，AC3 圆的半径为 1.5，AC 的长为 3 【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型 24 （10 分）在ABC 中，BAC90，ABAC，ADBC 于点 D （1）如图 1，点 M，N 分别在 AD，AB 上
37、，且BMN90，当AMN30，AB2 时，求线段 AM 的长； （2）如图 2，点 E，F 分别在 AB，AC 上，且EDF90，求证：BEAF； （3）如图 3，点 M 在 AD 的延长线上，点 N 在 AC 上，且BMN90，求证：AB+AN AM 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 ADBDDC，求出 MBD30，根据勾股定理计算即可； （2）证明BDEADF，根据全等三角形的性质证明； （3）过点 M 作 MEBC 交 AB 的延长线于 E，证明BMEAMN，根据全等三角形 的性质得到 BEAN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论 【解答】 （1）解：B
38、AC90，ABAC，ADBC， ADBDDC，ABCACB45，BADCAD45， AB2， ADBDDC， AMN30， BMD180903060， MBD30， BM2DM， 由勾股定理得，BM2DM2BD2，即（2DM）2DM2（）2， 解得，DM， AMADDM； （2）证明：ADBC，EDF90， BDEADF， 在BDE 和ADF 中， ， BDEADF（ASA） BEAF； （3）证明：过点 M 作 MEBC 交 AB 的延长线于 E， AME90， 则 AEAM，E45， MEMA， AME90，BMN90， BMEAMN， 在BME 和AMN 中， ， BMEAMN（ASA）
39、 ， BEAN， AB+ANAB+BEAEAM 【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 25 （10 分）已知抛物线 yax2+x+4 的对称轴是直线 x3，与 x 轴相交于 A，B 两点（点 B 在点 A 右侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式和 A，B 两点的坐标； （2）如图 1，若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点（不与 B、C 重合） ，是否存 在点 P，使四边形 PBOC 的面积最大？若存在，求点 P 的坐标及四边形 PBOC 面积的最 大值；若不存在，请说明理
40、由； （3） 如图 2， 若点 M 是抛物线上任意一点， 过点 M 作 y 轴的平行线， 交直线 BC 于点 N， 当 MN3 时，求点 M 的坐标 【分析】 （1）由抛物线的对称轴是直线 x3，解出 a 的值，即可求得抛物线解析式，在 令其 y 值为零，解一元二次方程即可求出 A 和 B 的坐标； （2）易求点 C 的坐标为（0，4） ，设直线 BC 的解析式为 ykx+b（k0） ，将 B（8，0） ， C（0，4）代入 ykx+b，解出 k 和 b 的值，即得直线 BC 的解析式；设点 P 的坐标为（x， x2+x+4） ， 过点 P 作 PDy 轴， 交直线 BC 于点 D， 则点 D
41、 的坐标为 （x， x+4） ， 利用关系式 S四边形PBOCSBOC+SPBC得出关于 x 的二次函数，从而求得其最值； （3）设点 M 的坐标为（m，+4）则点 N 的坐标为（m，） ，MN| +4（）|+2m|，分当 0m8 时，或当 m0 或 m8 时来化简绝对值，从而求解 【解答】解： （1）抛物线的对称轴是直线 x3， 3，解得 a， 抛物线的解析式为：yx2+x+4 当 y0 时，x2+x+40，解得 x12，x28， 点 A 的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为（8，0） 答：抛物线的解析式为：yx2+x+4；点 A 的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为（8， 0） （2）
42、当 x0 时，yx2+x+44， 点 C 的坐标为（0，4） 设直线 BC 的解析式为 ykx+b（k0） ，将 B（8，0） ，C（0，4）代入 ykx+b 得 ，解得， 直线 BC 的解析式为 yx+4 假设存在点 P，使四边形 PBOC 的面积最大， 设点 P 的坐标为（x，x2+x+4） ，如图所示，过点 P 作 PDy 轴，交直线 BC 于点 D，则点 D 的坐标为（x，x+4） ， 则 PDx2+x+4（x+4）x2+2x， S四边形PBOCSBOC+SPBC 84+PDOB 16+8（x2+2x） x2+8x+16 （x4）2+32 当 x4 时，四边形 PBOC 的面积最大，最
43、大值是 32 0x8， 存在点 P（4，6） ，使得四边形 PBOC 的面积最大 答：存在点 P，使四边形 PBOC 的面积最大；点 P 的坐标为（4，6） ，四边形 PBOC 面积 的最大值为 32 （3）设点 M 的坐标为（m，+4）则点 N 的坐标为（m，） ， MN|+4（）|+2m|， 又MN3， |+2m|3， 当 0m8 时，+2m30，解得 m12，m26， 点 M 的坐标为（2，6）或（6，4） ； 当 m0 或 m8 时，+2m+30，解得 m342，m44+2， 点 M 的坐标为（42，1）或（4+2，1） 答：点 M 的坐标为（2，6） 、 （6，4） 、 （42，1）或（4+2，1） 【点评】本题属于二次函数压轴题，综合考查了待定系数法求解析式，解析法求面积及 点的坐标的存在性，最大值等问题，难度较大
