1、4.1数列的概念（1） 导学案 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类.3.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.4.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.重点：数列的有关概念与数列的表示方法 难点：数列的函数特征一、数列1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.3.表示:数列的一般形式是a
2、1,a2,an,简记为an.点睛：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,与3,2,1就是不同的数列.(2)符号an和an是不同的概念,an表示一个数列,而an表示数列中的第n项.二、数列的分类 类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列三、数列与函数 数列an是从正整数集N*(或它的有限子集1,
3、2，n)到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为anf(n)另一方面，对于函数yf(x)，如果f(n)(nN*)有意义，那么 构成了一个数列f(n)f(1)，f(2)，f(n)， 四、数列的通项公式 如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)1,2,n为定义域的函数表达式.(2)并不是所有的数列都有通项公式.(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1,1,的通项公式可以写成an=(-1)
4、n,an=(-1)n+2,an=cos n等.1. 下列叙述正确的是()A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类B.数列中的数由它的位置序号唯一确定C.数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7D.同一个数在数列中不可能重复出现2.若数列an的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10=,224是该数列的第项.一、情景导学古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列. 那么什么叫数列呢?二、问题探究1. 王芳从一岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：75,87,96
5、,103,110,116,120,128,138，145,153,158,160,162,163,165,168 记王芳第i岁的身高为 hi，那么h1=75, h2=87,，h17=168.我们发现hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即h1=75是排在第1位的数，h2=87是排在第2位的数，h17 =168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置，所以具有确定顺序的一列数。2. 在两河流域发掘的一块泥板（编号K90，约生产于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天，每天月亮可见部分的数：5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,
6、176,192,208,224,240. 记第i天月亮可见部分的数为 si, 那么s1=5, s2=10,，s15=240.这里，si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从115顺序排列时的确定位置，即s1=5是排在第1位的数，s2=10是排在第2位的数 s15=240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置，所以，也是具有确定顺序的一列数。3. -12的n次幂按1次幂， 2次幂, 3次幂, 4次幂依次排成一列数：- 12， 14，- 18， 116 思考：你能仿照上面的叙述，说明也是具有确定顺序的一列数吗？三、典例解析例1. 根据下列数列an的通项公式，写出数列的前5项,并画出它们的图像.（1
7、） an=n2+n2; （2） an=cos(n-1)2例2. 根据数列的前4项,写出下列数列的一个通项公式:(1)12,2,92,8,252,; (2)1,-3,5,-7,9,;(3)9,99,999,9 999,; (4)22-11,32-23,42-35,52-47,;(5)-112,123,-134,145,;(6)4,0,4,0,4,0,.根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.(4)对于
8、周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.2.常见数列的通项公式(1)数列-1,1,-1,1,的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)数列1,2,3,4,的一个通项公式是an=n.(3)数列1,3,5,7,的一个通项公式是an=2n-1.(4)数列2,4,6,8,的一个通项公式是an=2n.(5)数列1,2,4,8,的一个通项公式是an=2n-1.(6)数列1,4,9,16,的一个通项公式是an=n2.(7)数列1,3,6,10,的一个通项公式是an=n(n+1)2.(8)数列1,12,13,14,的一个通项公式是
9、an=1n.跟踪训练1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(1)1,13,15,17; (2)212,414,618,8116;(3)3,5,9,17; (4)23,415,635,863;(5)7,77,777,7 777.例3 (1)已知数列an满足an=n2-5n-6,nN*.数列中有哪些项是负数?当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.(2)已知数列an的通项公式an=(n+1)1011n(nN*),试问数列an有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.求数列的最大(小)项的两种方法(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方
10、法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集1,2,n这一条件.(2)可以利用不等式组an-1an,anan+1(n1)找到数列的最大项;利用不等式组an-1an,anan+1(n1)找到数列的最小项.变式探究：在本例(2)中,若已知数列的通项公式an=1n+398n,nN*,试求该数列an的最小项.1.下列各项表示数列的是()A.,B.2 008,2 009,2 010,2 017C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形D.a+b,a-b,ab,a2.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是()A.1,2,3,20B.-1,-2,-3,-n,C
11、.1,2,3,2,5,6,D.-1,0,1,2,100,3. 观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有小圆圈.4.已知数列an的通项公式为an=log3(2n+1),则a3=.5.已知数列3,7,11,15,则53是该数列的第项.6.在数列an中,已知an=n2+n-13(nN*).(1)写出a10,an+1.(2)7923是不是该数列中的项?如果是,是第几项?7.已知数列an的通项公式an=kn2n+3(kR).(1)当k=1时,判断数列an的单调性;(2)若数列an是递减数列,求实数k的取值范围.数列的概念与表示数列的定义数列的表示数列的分类数列的函数特征数列的通项公
12、式参考答案：知识梳理1. 解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合1,3,5,7是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.答案:B2.解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第15项.答案:9915学习过程一、 典例解析例1.解:（1）当通项公式中的n=1，2，3，4，5时，数列an的前5项依次为1,3,6,10,15如图所示(1)（
13、2）当通项公式中的n=1，2，3，4，5时，数列 an的前5项依次为 1,0,-1,0,1如图所示(2)例2. 解:(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,12,42,92,162,252,所以,它的一个通项公式为an=n22.(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.(4)数列中每一项均由三部
14、分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个通项公式为an=(n+1)2-n2n-1=n2+n+12n-1.(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n1n(n+1).(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an=4,n为奇数,0,n为偶数.又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,因此其通项公式
15、又可表示为an=2+2(-1)n+1.跟踪训练1.解:(1)an=12n-1;(2)an=2n+12n;(3)an=2n+1;(4)an=2n(2n)2-1;(5)an=79(10n-1).例3 分析:(1)根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;根据二次函数的性质即可求出.(2)数列an的通项计算an+1-an确定单调性求解最大(小)项(1)解:an=n2-5n-60,解得0n6.nN*,数列中第1,2,3,4,5项为负数,即-10,-12,-12,-10,-6.an=n2-5n-6=n-522-494,当n=2,3时,an取得最小值,最小值为-12.(2)解法一:an+1-an=
16、(n+2)1011n+1-(n+1)1011n=1011n9-n11,当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an.故a1a2a3a11a12,数列中有最大项,最大项为第9,10项,即a9=a10=1010119.解法二:设ak是数列an的最大项, 则akak-1,akak+1,即(k+1)1011kk1011k-1,(k+1)1011k(k+2)1011k+1,整理,得10k+1011k,11k+1110k+20,得9k10,所以k=9或k=10.又a1=2011a5=a6,即a5与a6都是数列的最小项,且a5=a6=9
17、586.达标检测1.解析:数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合.答案:B2.解析:由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.答案:D3. 分析:仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.解析:观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,12+1,23+1,34+1,45+1,故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)n+1=n2-n+1.答案:n2-n+14.解析:观察可得数列的一个通项公式是an=4n-1,而53=75=419-1,所以53是该数列的第19项.答案:19 5.解析:an=log3(2n+1),a3=log3(2
18、3+1)=log39=2.答案:26.解:(1)a10=102+10-13=1093;an+1=(n+1)2+(n+1)-13=n2+3n+13.(2)令an=n2+n-13=7923,解得n=15(n=-16舍去),所以7923是该数列中的项,并且是第15项.7.分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;对于(2),可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.解:(1)当k=1时,an=n2n+3,所以an+1=n+12n+5,所以an+1-an=n+12n+5-n2n+3=3(2n+5)(2n+3)0,故数列an是递增数列.(2)若数列an是递减数列,则an+1-an0恒成立,即an+1-an=kn+k2n+5-kn2n+3=3k(2n+5)(2n+3)0,所以必有3k0,故k0.
