1、4.3.2等比数列的前n项和公式 (1) 导学案 1. 掌握等比数列的前n项和公式及其应用2会用错位相减法求数列的和3能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.重点：等比数列的前n项的运用难点：等比数列的前n项和公式的推导1. 等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q表示(显然q0 ) 符号语言： anan-1=q(n2,nN*) 2.等差与等比数列3.等比数列的前n项和公式已知量首项a1、公比q(q1)与项数n首项a1、末项an与公比q(q1)首项a1、公比q
2、1求和公式Sn Sn Sn ; na1 一、 新知探究国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016-2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.问题1：每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列?并写出这个等比数
3、列的通项公式.问题2：请将发明者的要求表述成数学问题. 问题3：如何求解该问题.回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程.等差数列 a1,a2, a3, an的前 n项和是Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an根据等差数列的定义an+1-an= dSn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1 + 得，2Sn=n(a1+an).所以Sn=n(a1+an).2问题4：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？ 问题5：求和的根本目的是什么？思路：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示.Sn=a1+a1q+a2
4、q2+a1qn-3+a1qn-2+a1qn-1 问题6：观察 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？问题7：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？问题8：要求出Sn，是否可以把上式两边同时除以(1 -q) ？问题3的解决： “请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”二、典例解析例1.已知数列是等比数列.（1）若，求；（2）若，求；（3）若，求.例2 已知等比数列的首项为，前项和为，若，求公比.在等比数列an的五
5、个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用跟踪训练1. 已知等比数列an满足a312，a8，记其前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式；(2)若Sn93，求n.例3 已知等比数列的公比，前项和为.证明，成等比数列，并求这个数列的公比.1等比数列an中，a11，公比q2，当Sn127时，n()A8 B7 C6 D52等比数列an的前n项和为Sn，若a2S30，则公比q()A1 B1 C2 D2 3已知等比数列an的公
6、比为2，且Sn为其前n项和，则()A5 B3 C5 D34已知等比数列an的前n项和为Sn，且a13，S39，则S4()A12 B15 C12或15 D12或155等比数列an中，公比为q，前n项和为Sn.(1)若a18，a32，求S4；(2)若S6315，q2，求a1.（1）等比数列前项和公式，对于公比未知的等比数列，应用等比数列的前项和公式时，需讨论公比是否为1；（2）等比数列前项和公式的推导：错位相减法；（3）数学思想方法的应用:方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现；分类讨论思想：由等比数列前项和公式可知，解答等比数列求和问题时常常要用到分类讨论思想.参考
7、答案：知识梳理学习过程一、 新知探究问题1：是等比数列,首项是1，公比是2，共64项. 通项公式为an=2n-1问题2：求这个等比数列的前64项的和，即：1+2+22+23+263=？ 问题3：如何求解该问题.回顾：等差数列 a1,a2, a3, an的前 n项和是Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an根据等差数列的定义an+1-an= dSn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1 + 得，2Sn=n(a1+an).所以Sn=n(a1+an).2问题4： 在等比数列中a1+ana2+an-1a3+an-2，所以2Snn(a1+a
8、n).对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的.问题5：求和的根本目的是什么？思路：Sn=a1+a1q+a2q2+a1qn-3+a1qn-2+a1qn-1 问题6： an=an-1q(n2,q0)问题7： Sn=a1+a1q+a2q2+a1qn-3+a1qn-2+a1qn-1 qSn=a1q+a1q2+a2q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn 设等比数列 an 的首项为a1 ，公比为q ，则an 的前n项和是SnSn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an根据等比数列的通项公式，Sn=a1+a1q+a2q2+a1qn-3+a1qn-2+a1q
9、n-1 qSn=a1q+a1q2+a2q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn - 得, Sn -qSn=a1 -a1qn即Sn(1 -q)=a1( 1-qn)问题8： Sn(1 -q)=a1( 1-qn)当1 -q=0 时，即 q=1 时，Sn=na1当1 -q0 时，即 q1 时， Sn=a1(1-qn)1-q问题3的解决：1+2+22+23+263a1=1,q=2，n=64S64=1(1-264)1-2 =264 -11.841019一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨.不能实现！二、典例解析例1.解：（1）因为，所以.（2）由，可得，即.
10、又由，得 .所以 .（3）把，代入，得，整理，得 ，解得.例2 解：若，则，所以.当时,由得，.整理，得 ，即 .所以 .跟踪训练1. 解：(1)设等比数列an的公比为q，则解得所以ana1qn148n1. (2)Sn96.由Sn93，得9693，解得n5.例3 证明:(方法一)当时，所以，成等比数列，公比为1.当时，所以 .因为为常数,所以，成等比数列，公比为.(方法二) ， ， .所以 .因为为常数，所以，成等比数列，公比为.结论：等比数列的公比，前项和为，则，成等比数列，公比为.注：当时，此结论不一定成立.例如，当时，此结论不成立.达标检测1B解析：由Sn，a11，q2.当Sn127时，则127，解得n7.故选B.2 A解析：a2S3a2(a1a2a3)0，a12a2a3a1(12qq2)a1(1q)20.又a10，q1.故选A3C解析：由题意可得：1(2)25，故选C4C解析：因为a13，S39，当q1时，满足题意；故可得S44a112；当q1时，S39，解得q2，故S415.综上所述S412或15.故选C5解：(1)由题意可得q2，所以q或q.当q时，S45；当q时，S415.综上所述，S415或S45.(2)S6315，解得a15.
