1、2012019 9 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）（浙江卷）数数学学本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考生注意：1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。2答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。参考公式：参考公式：若事件 A，B 互斥，则()( )( )P ABP AP B若事件 A，B 相互独立，则()( ) ( )P A
2、BP A P B若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，则 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率( )C(1)(0,1,2, )kkn knnP kppkn台体的体积公式11221()3VSS SS h其中12,S S分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高柱体的体积公式VSh其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式13VSh其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式24SR 球的体积公式343VR其中R表示球的半径选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集1,0
3、,1,2,3U ，集合0,1,2A ，1,0,1B ，则UAB=A1B0,1 C1,2,3D1,0,1,32渐近线方程为 xy=0 的双曲线的离心率是A22B1C2D23若实数 x，y 满足约束条件3403400 xyxyxy，则 z=3x+2y 的最大值是A1B1C10D124祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式 V柱体=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A158B162C182D325若 a0，b0，则“a+b4”是 “ab4”的A充分不必要条件B必要不充分条件
4、C充分必要条件D既不充分也不必要条件6在同一直角坐标系中，函数 y =1xa，y=loga(x+)，(a0 且 a0)的图像可能是7设 0a1，则随机变量 X 的分布列是则当 a 在（0,1）内增大时AD（X）增大BD（X）减小CD（X）先增大后减小DD（X）先减小后增大8设三棱锥 V-ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点（不含端点） ，记直线 PB 与直线 AC 所成角为，直线 PB 与平面 ABC 所成角为，二面角 P-AC-B 的平面角为，则A，B，C，D，9已知, a bR，函数32,0( )11(1),032x xf xxaxax x，若函数( )yf xa
5、xb恰有三个零点，则Aa-1，b0Ba0Ca-1，b0Da-1，b010设 a，bR，数列an中 an=a，an+1=an2+b，bN,则A当 b=，a1010B当 b=，a1010C当 b=-2，a1010D当 b=-4，a1010非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。11复数11 iz （为虚数单位） ，则|z=_.12已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是.若直线230 xy与圆相切于点( 2, 1)A ，则m=_， =_.13 在二项式9( 2) x的展开式中， 常数项是_， 系数为有理数的项的个数是_.1
6、4 在ABC中，90ABC，4AB ，3BC ， 点D在线段AC上， 若45BDC，则BD _，cosABD_.15已知椭圆22195xy的左焦点为F，点P在椭圆上且在轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_.16已知aR，函数3( )f xaxx，若存在tR，使得2|(2)( )|3f tf t，则实数的最大值是_.17 已 知 正 方 形ABCD的 边 长 为 1 ， 当 每 个(1,2,3,4,5,6)ii取 遍1时 ，123456|ABBCCDDAACBD 的 最 小 值 是 _ ， 最 大 值 是_.三、解答题：本大题共 5 小题，共 74
7、分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.（本小题满分 14 分）设函数( )sin ,f xx xR.（1）已知0,2 ),函数()f x是偶函数，求的值；（2）求函数22 () ()124yf xf x的值域.19. （ 本 小 题 满 分 15 分 ） 如 图 ， 已 知 三 棱 柱111ABCABC， 平 面11A AC C 平 面ABC,90ABC，1130 ,BACA AACAC E F分别是 AC，A1B1的中点.（1）证明：EFBC；（2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值.20.（本小题满分 15 分）设等差数列na的前 n 项和为nS，34a ，43aS
8、，数列 nb满足：对每个12,nnnnnnnSb Sb SbN成等比数列.（1）求数列, nnab的通项公式；（2）记,2nnnaCnbN证明：12+2,.nCCCn n N21.（本小题满分 15 分）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)ypx p，点F为焦点，过点F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线上，使得ABC的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 右侧.记,AFGCQG的面积为12,S S.（1）求 p 的值及抛物线的标准方程；（2）求12SS的最小值及此时点 G 的坐标.22.（本小题满分 15 分）已知实数0a ，设函数(
9、 )= ln1,0.f xaxxx（1）当34a 时，求函数( )f x的单调区间；（2）对任意21,)ex均有( ),2xf xa求的取值范围.注：e=2.71828为自然对数的底数.2012019 9 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）（浙江卷）数数学学 参参 考考 答答 案案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分40分。1A2C3C4B5A6D7D8B9C10A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。1122122, 51316 2,51412 2 7 2,51015151643170,2 5
10、三、解答题：本大题共5小题，共74分。18本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。（ I ） 因 为()sin()f xx是 偶 函 数 ， 所 以 ， 对 任 意 实 数 x 都 有sin()sin()xx ，即sincoscos sinsincoscos sinxxxx ，故2sincos0 x，所以cos0又0,2)，因此2或32（）2222sinsin124124yfxfxxx1 cos 21 cos 2133621cos2sin222222xxxx 31cos 223x 因此，函数的值域是331,12219本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线
11、与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。方法一：（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC，则A1EBC.又因为A1FAB，ABC=90，故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC.（）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四边形EGFA1为矩形由（I）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G
12、交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=23，EG=3.由于O为A1G的中点，故11522AGEOOG，所以2223cos25EOOGEGEOGEO OG因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35方法二：连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC.如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.不妨设AC=4，则A1（0，0，23），B（3，1，0
13、），1( 3,3,2 3)B，3 3(,2 3)22F，C(0，2，0).因此，3 3(,2 3)22EF ，(3,1,0)BC 由0EF BC 得EFBC20本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。满分15分。（）设数列na的公差为d，由题意得11124,333adadad，解得10,2ad从而*22,nannN由12,nnnnnnSb Sb Sb成等比数列得212nnnnnnSbSbSb解得2121nnnnbSS Sd所以2*,nbnn nN（）*221,22 (1)(1)nnnanncnbn nn nN我们用数学归纳法证明（1）
14、当n=1时，c1=00，122113222134323424SmSmmmmmm .当3m 时，12SS取得最小值312，此时G（2，0）.22本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。满分15分。（）当34a 时，3( )ln1,04f xxx x 31( 12)(2 11)( )42 141xxf xxxxx ，所以，函数( )f x的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）（）由1(1)2fa，得204a当204a时，( )2xf xa等价于22 12ln0 xxxaa令1ta，则2 2t 设2( )212ln ,2 2g ttxtxx t
15、，则( )(2 2)84 2 12lng tgxxx（i）当1,7x时，112 2x，则( )(2 2)84 2 12lng tgxxx记1( )42 2 1ln ,7p xxxx x，则2212121( )11xxxxp xxxxx x .故171( ,1)71(1,)( )p x0+( )p x1( )7p单调递减极小值(1)p单调递增所以，( )(1)0p xp因此，( )(2 2)2 ( )0g tgp x（ii）当211,e7x时，12ln(1)( )12xxxg tgxx令211( )2ln(1),e7q xxxxx，则ln2( )10 xq xx ，故( )q x在211,e7上单调递增，所以1( )7q xq由（i）得12 712 7(1)07777qpp 所以，( )0q x因此1( )( )102q xg tgxx 由（i） （ii）得对任意21,ex，2 2,), ( ) 0tg t，即对任意21,ex，均有( )2xf xa综上所述，所求 a 的取值范围是20,4
