1、 山东省潍坊市山东省潍坊市 2014 年中考数学试卷年中考数学试卷 一、选择题一、选择题 1（3 分）（2014潍坊）的立方根是（ ） A 1 B 0 C 1 D 1 考点： 立方根 分析： 根据开立方运算，可得一个数的立方根 解答： 解：的立方根是 1， 故选：C 点评： 本题考查了立方根，先求幂，再求立方根 2（3 分）（2014潍坊）下列标志中不是中心对称图形的是（ ） A B C D 考点： 中心对称图形 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解答： 解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选
2、项符合题意； D、是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C 点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念， 轴对称图形 的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心 对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 3（3 分）（2014潍坊）下列实数中是无理数的是（ ） A B 2 2 C 5. D sin45 考点： 无理数 分析： 根据无理数是无限不循环小数，可得答案 解答： 解：A、B、C、是有理数； D、是无限不循环小数，是无理数； 故选：D 点评： 本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数 4（3 分）（2014潍坊）一个几何体的三视图如图，则该几何体
3、是（ ） A B C D 考点： 由三视图判断几何体 分析： 由空间几何体的三视图可以得到空间几何体的直观图 解答： 解：由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱， 故选：D 点评： 本题只要考查三视图的识别和判断， 要求掌握常见空间几何体的 三视图，比较基础 5（3 分）（2014潍坊）若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） A x1 B x1 且 x3 C x1 D x1 且 x3 考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件 分析： 根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 解答： 解：由题意得，x+10 且 x30， 解得 x1 且 x3 故选 B
4、 点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被 开方数是非负数 6（3 分）（2014潍坊）如图，ABCD 的顶点 A、B、D 在O 上，顶点 C 在O 的直径 BE 上，连接 AE，E=36，则ADC 的度数是（ ） A 44 B 54 C 72 D 53 考点： 圆周角定理；平行四边形的性质 分析： 首先根据直径所对的圆周角为直角得到BAE=90，然后利用四边形 ABCD 是平行四边形，E=36，得到BEA=DAE=36，从而得到BAD=126， 求得到ADC=54 解答： 解：BE 是直径， BAE=90， 四边形 ABCD 是平行四边形，E=36， BEA=DAE
5、=36， BAD=126， ADC=54， 故选 B 点评： 本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解题的关键是认真审题，发现 图形中的圆周角 7（3 分）（2014潍坊）若不等式组无解，则实数 a 的取值范围是（ ） A a1 B a1 C a1 D a1 考点： 解一元一次不等式组 分析： 分别求出各不等式的解集，再与已知不等式组无解相比较即可得出 a 的取值 范围 解答： 解：，由得，xa，由得，x1， 不等式组无解， a1，解得 a1 故选 D 点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大 中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 8（3 分）（2
6、014潍坊）如图，已知矩形 ABCD 的长 AB为 5，宽 BC 为 4，E 是 BC 边上 的一个动点，AEEF，EF 交 CD 于点 F设 BE=x，FC=y，则点 E 从点 B运动到点 C 时， 能表示 y 关于 x 的函数关系的大致图象是（ ） A B C D 考点： 动点问题的函数图象 分析： 利用三角形相似求出 y 关于 x 的函数关系式，根据函数关系式进行分 析求解 解答： 解：BC=4，BE=x，CE=4x AEEF，AEB+CEF=90， CEF+CFE=90， AEB=CFE 又B=C=90， RtAEBRtEFC， ，即， 整理得：y= （4xx2）= （x2）2+ y
7、与 x 的函数关系式为：y= （x2）2+ （0x4） 由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2， ），对称轴为直线 x=2 故选 A 点评： 本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解 题关键 9（3 分）（2014潍坊）等腰三角形一条边的边长为 3，它的另两条边的边长是关于 x 的 一元二次方程 x212x+k=0 的两个根，则 k 的值是（ ） A 27 B 36 C 27 或 36 D 18 考点： 等腰三角形的性质；一元二次方程的解 分析： 由于等腰三角形的一边长 3 为底或腰不能确定，故应分两种情况进行 讨论：当 3 为腰时，其他两条边中必有一
8、个为 3， 把 x=3 代入原方程 可求出 k 的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判 断是否符合题意即可；当 3 为底时，则其他两条边相等，即方程有 两个相等的实数根，由=0 可求出 k 的值，再求出方程的两个根进行 判断即可 解答： 解：分两种情况： 当其他两条边中有一个为 3 时，将 x=3 代入原方程， 得 32123+k=0，k=27 将 k=27 代入原方程，得 x212x+27=0， 解得 x=3 或 9 3，3，9 不能够组成三角形，不符合题意舍去； 当 3 为底时，则其他两条边相等，即=0， 此时 1444k=0，k=36 将 k=36 代入原方程，得 x212
9、x+36=0， 解得 x=6 3，6，6 能够组成三角形，符合题意 故 k 的值为 36 故选 B 点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式及三角形 的三边关系，在解答时要注意分类讨论，不要漏解 10（3 分）（2014潍坊）如图是某市 7 月 1 日至 10 日的空气质量指数趋势图，空气质量 指数小于 100 表示空气质量优良， 空气质量指数大于 200 表示空气重度污染， 某人随机选择 7 月 1 日至 7 月 8 日中的某一天到达该市，并连续停留 3 天，则此人在该市停留期间有且仅 有 1 天空气质量优良的概率是（ ） A B C D 考点： 概率公式；折线统计图 分
10、析： 先求出 3 天中空气质量指数的所有情况， 再求出有一天空气质量优 良的情况，根据概率公式求解即可 解答： 解：由图可知，当 1 号到达时，停留的日子为 1、2、3 号，此时 为（86，25，57），3 天空气质量均为优； 当 2 号到达时，停留的日子为 2、3、4 号，此时为（25，57，143）， 2 天空气质量为优； 当 3 号到达时， 停留的日子为 3、 4、 5 号， 此时为 （57， 143， 220） ， 1 天空气质量为优； 当 4 号到达时， 停留的日子为 4、 5、 6 号， 此时为 （143， 220， 160） ， 空气质量为污染； 当 5 号到达时， 停留的日子为
11、 5、 6、 7 号， 此时为 （220， 160， 40） ， 1 天空气质量为优； 当 6 号到达时， 停留的日子为 6、 7、 8 号， 此时为 （160， 40， 217） ， 1 天空气质量为优； 此人在该市停留期间有且仅有 1 天空气质量优良的概率= = 故选 C 点评： 本题考查的是概率公式，熟知随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关 键 11（3 分）（2014潍坊）已知一次函数 y1=kx+b（k0）与反比例函数 y2= （m0）的 图象相交于 A、B两点，其横坐标分别是1 和 3，当 y1y2时，实数 x 的取值范
12、围是（ ） A x1 或 0x 3 B 1x0 或 0 x3 C 1x0 或 x 3 D xx3 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题 分析： 根据观察图象，可得直线在双曲线上方的部分，可得答案 解答： 解：如图： 直线在双曲线上方的部分，故答案为：x1 或 0x3， 故选：A 点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题， 直线在双曲线上 方的部分是不等式的解 12（3 分）（2014潍坊）如图，已知正方形 ABCD，顶点 A（1，3）、B（1，1）、C（3， 1）规定“把正方形 ABCD 先沿 x 轴翻折，再向左平移 1 个单位”为一次变换，如此这样， 连续经过 2014 次变换后，
13、正方形 ABCD 的对角线交点 M 的坐标变为（ ） A （2012，2） B （2012，2） C （2013，2） D （2013，2） 考点： 翻折变换（折叠问题）；正方形的性质；坐标与图形变化-平移 专题： 规律型 分析： 首先由正方形 ABCD，顶点 A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然 后根据题意求得第 1 次、2 次、3 次变换后的对角线交点 M 的对应点 的坐标，即可得规律：第 n 次变换后的点 M 的对应点的为：当 n 为奇 数时为（2n，2），当 n 为偶数时为（2n，2），继而求得把正 方形 ABCD 连续经过 2014 次这样的变换得到正方形 ABCD 的对角线
14、 交点 M 的坐标 解答： 解：正方形 ABCD，顶点 A（1，3）、B（1，1）、C（3，1） 对角线交点 M 的坐标为（2，2）， 根据题意得：第 1 次变换后的点 M 的对应点的坐标为（21，2）， 即（1，2）， 第 2 次变换后的点 M 的对应点的坐标为：（22，2），即（0，2）， 第 3 次变换后的点 B的对应点的坐标为 （23， 2） ， 即 （1， 2） ， 第 n 次变换后的点 B的对应点的为：当 n 为奇数时为（2n，2）， 当 n 为偶数时为（2n，2）， 连续经过 2014 次变换后，正方形 ABCD 的对角线交点 M 的坐标变 为（2012，2） 故选：A 点评：
15、此题考查了对称与平移的性质此题难度较大，属于规律性题目，注 意得到规律：第 n 次变换后的对角线交点 M 的对应点的坐标为：当 n 为奇数时为（2n，2），当 n 为偶数时为（2n，2）是解此题的 关键 二、填空题二、填空题 13（3 分）（2014潍坊）分解因式：2x（x3）8= 2（x4）（x+1） 考点： 因式分解-十字相乘法等 分析： 首先去括号，进而整理提取 2，即可利用十字相乘法分解因式 解答： 解：2x（x3）8 =2x26x8 =2（x23x4） =2（x4）（x+1） 故答案为：2（x4）（x+1） 点评： 此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，熟练掌握十 字相乘
16、法分解因式是解题关键 14（3 分）（2014潍坊）计算：82014 （0.125）2015= 0.125 考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法 分析： 根据同底数幂的乘法，可化成指数相同的幂的乘法，根据积的乘方， 可得答案 解答： 解：原式=82014 （0.125）2014 （0.125） =（80.125）2014 （0.125）=0.125， 故答案为：0.125 点评： 本题考查了积的乘方，先化成指数相同的幂的乘法，再进行积的乘方 运算 15（3 分）（2014潍坊）如图，两个半径均为的O1与O2相交于 A、B两点，且 每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 23
17、（结果保留 ） 考点： 扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；相交两圆的性质 分析： 根据题意得出一部分弓形的面积，得出= S进而得出即可 解答： 解：连接 O1O2，过点 O1作 O1CAO2于点 C， 由题意可得：AO1=O1O2=AO2=， AO1O2是等边三角形， CO1=O1O2sin60= ， S= =， =， =S=， 图中阴影部分的面积为：4（）=23 故答案为：23 点评： 此题主要考查了扇形的面积公式应用以及等边三角形的判定与性质，熟练 记忆扇形面积公式是解题关键 16（3 分）（2014潍坊）已知一组数据3，x，2，3，1，6 的中位数为 1，则其方差 为 9 考点：
18、方差；中位数 专题： 计算题 分析： 由于有 6 个数，则把数据由小到大排列时，中间有两个数中有 1，而数据 的中位数为 1，所以中间两个数的另一个数也为 1，即 x=1，再计算数据的 平均数，然后利用方差公式求解 解答： 解：数据3，x，2，3，1，6 的中位数为 1， =1，解得 x=1， 数据的平均数= （32+1+1+3+6）=1， 方差= （31）2+（21）2+（11）2+（11）2+（31）2+ （61）2=9 故答案为 5 点评： 本题考查了方差： 一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数， 叫做这组数据的方差 方差通常用 s2来表示， 计算公式是： s2= （x1x）
19、 2+ （x2x）2+ （xnx）2； 方差是反映一组数据的波动大小的一个量 方 差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均 值的离散程度越小，稳定性越好也考查了中位数 17（3 分）（2014潍坊）如图，某水平地面上建筑物的高度为 AB，在点 D 和点 F 处分 别竖立高是 2 米的标杆 CD 和 EF，两标杆相隔 50 米，并且建筑物 AB、标杆 CD 和 EF 在同 一竖直平面内，从标杆 CD 后退 2 米到点 G 处，在 G 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 C 在 同一条直线上；从标杆 FE 后退 4 米到点 H 处，在 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E
20、 在 同一条直线上，则建筑物的高是 50 米 考点： 相似三角形的应用 分析： 根据题意可得出CDGABG，EFHABH，再根据相似三角形的 对应边成比例即可得出结论 解答： 解：ABBH，CDBH，EFBH， ABCDEF， CDGABG，EFHABH， =，=， CD=DG=EF=2m，DF=50m，FH=4m， =，=， =，解得 BD=50m， =，解得 AB=52m 故答案为：52 点评： 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答 此题的关键 18（3 分）（2014潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈， 周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五
21、周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把 枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自 点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺 考点： 平面展开-最短路径问题 分析： 这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可 转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出 解答： 解：如图，一条直角边（即枯木的高）长 20 尺， 另一条直角边长 53=15（尺）， 因此葛藤长为=25（尺） 故答案为 25 点评： 本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面
22、图形，本题 是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解 三、解答题三、解答题 19（9 分）（2014潍坊）今年我市把男生“引体向上”项目纳入学业水平体育考试内容， 考试前某校为了解该项目的整体水平， 从九年级 220 名男生中， 随机抽取 20 名进行“引体向 上”测试，测试成绩（单位：个）如图 1： 其中有一数据被污损，统计员只记得 11.3 是这组样本数据的平均数 （1）求该组样本数据中被污损的数据和这组数据的极差； （2）请补充完整下面的频数、频率分布表和频数分布直方图（如图 2）； 频数、频率分布表： 测试成绩/个 频数 频率 15 2 0.10 610 6 0.30 1115
23、 9 0.45 1620 3 0.15 合计 20 1.00 （3） 估计在学业水平体育考试中该校九年级有多少名男生能完成 11 个以上 （包含 11 个） “引 体向上”？ 考点： 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数与频率；频数（率）分布表 分析： （1）直接利用平均数求法得出 x 的值，进而求出极差即可； （2）直接利用已知数据得出各组频数，进而求出频率，填表和补全条形图 即可； （3）利用样本估计总体的方法得出，能完成 11 个以上的是后两组所占百分 比，进而得出九年级男生能完成 11 个以上（包含 11 个）“引体向上”的人数 解答： 解：（1）设被污损的数据为 x， 由题意知
24、：=11.3， 解得：x=19， 根据极差的定义，可得该组数据的极差是：193=16， （2）由样本数据知，测试成绩在 610 个的有 6 名，该组频数为 6，相应频 率是：=0.30， 测试成绩在 1115 个的有 9 名，该组频数为 9，相应频率是：=0.45， 补全的频数、频率分布表和频数分布直方图如下所示： 测试成绩/个 频数 频率 15 2 0.10 610 6 0.30 1115 9 0.45 1620 3 0.15 合计 20 1.00 （3）由频率分布表可知，能完成 11 个以上的是后两组，（0.45+0.15） 100%=60%， 由此估计在学业水平体育考试中能完成 11 个
25、以上“引体向上”的男生数是： 22060%=132（名） 点评： 此题主要考查了频数分布直方表以及条形统计图等知识，正确掌握相关定义 求出各组频率是解题关键 20（10 分）（2014潍坊）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，以 AB为直径 作O，恰与另一腰 CD 相切于点 E，连接 OD、OC、BE （1）求证：ODBE； （2）若梯形 ABCD 的面积是 48，设 OD=x，OC=y，且 x+y=14，求 CD 的长 考点： 切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；梯形 分析： （1）连接 OE，证出 RTOADRTOED，利用同弦对圆周角是圆心角的 一半，得出AOD=A
26、BE，利用同位角相等两直线平行得到 ODBE， （2）由 RTCOERTCOB，得到COD 是直角三角形，利用 S梯形 ABCD=2SCOD， 求出 xy=48，结合 x+y=14，求出 CD 解答： （1）证明：如图，连接 OE， CD 是O 的切线， OECD， 在 RtOAD 和 RtOED， RtOADRtOED（SAS） AOD=EOD= AOE， 在O 中，ABE= AOE， AOD=ABE， ODBE （2）解：与（1）同理可证：RtCOERtCOB， COE=COB= BOE， DOE+COE=90， COD 是直角三角形， SDEO=SDAO，SOCE=SCOB， S梯形AB
27、CD=2（SDOE+SCOE）=2SCOD=OCOD=48，即 xy=48， 又x+y=14， x2+y2=（x+y）22xy=142248=100， 在 RTCOD 中，CD=10， CD=10 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定 理、圆周角定理和全等三角形的判定与性质关键是综合运用，找准线段及 角的关系 21（10 分）（2014潍坊）如图，某海域有两个海拔均为 200 米的海岛 A 和海岛 B，一勘 测飞机在距离海平面垂直高度为 1100 米的空中飞行，飞行到点 C 处时测得正前方一海岛顶 端 A 的俯角是 45，然后沿平行于 AB的方向水平飞行 1
28、.99104米到达点 D 处，在 D 处测 得正前方另一海岛顶端 B的俯角是 60，求两海岛间的距离 AB 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析： 首先过点 A 作 AECD 于点 E， 过点 B作 BFCD 于点 F， 易得四边形 ABFE 为矩形， 根据矩形的性质， 可得 AB=EF， AE=BF 由题意可知： AE=BF=1100 200=900 米，CD=1.99104米，然后分别在 RtAEC 与 RtBFD 中，利 用三角函数即可求得 CE 与 DF 的长，继而求得两海岛间的距离 AB 解答： 解：过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B作 BFCD 于点 F， ABC
29、D， AEF=EFB=ABF=90， 四边形 ABFE 为矩形 AB=EF，AE=BF 由题意可知：AE=BF=1100200=900 米，CD=1.99104米=19900 米 在 RtAEC 中，C=60，AE=900 米 CE=300（米） 在 RtBFD 中，BDF=45，BF=900 米 DF=900（米） AB=EF=CD+DFCE=19900+300900=19000+300（米） 答：两海岛间的距离 AB为（19000+300）米 点评： 此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质注意能借助俯角构造 直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用 22（12
30、 分）（2014潍坊）如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点， 连接 AE、BF，交点为 G （1）求证：AEBF； （2） 将BCF 沿 BF 对折， 得到BPF （如图 2） ， 延长 FP 到 BA 的延长线于点 Q， 求 sinBQP 的值； （3）将ABE 绕点 A 逆时针方向旋转，使边 AB正好落在 AE 上，得到AHM（如图 3）， 若 AM 和 BF 相交于点 N，当正方形 ABCD 的面积为 4 时，求四边形 GHMN 的面积 考点： 四边形综合题 分析： （1）运用 RtABERtBCF，再利用角的关系求得BGE=90求证； （2）BCF 沿
31、BF 对折，得到BPF，利用角的关系求出 QF=QB，解出 BP，QP 求解； （3）先求出正方形的边长，再根据面积比等于相似边长比的平方，求得 SAGN= ，再利用 S四边形GHMN=SAHMSAGN求解 解答： （1）证明：如图 1，E，F 分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点， CF=BE， 在 RtABE 和 RtBCF 中， RtABERtBCF（SAS）， BAE=CBF， 又BAE+BEA=90， CBF+BEA=90， BGE=90， AEBF （2）解：如图 2，根据题意得，FP=FC，PFB=BFC，FPB=90 CDAB， CFB=ABF， ABF=PFB， Q
32、F=QB， 令 PF=k（k0），则 PB=2k 在 RtBPQ 中，设 QB=x， x2=（xk）2+4k2， x=， sinBQP= （3）解：正方形 ABCD 的面积为 4， 边长为 2， BAE=EAM，AEBF， AN=AB=2， AHM=90， GNHM， =， =， SAGN= ， S四边形GHMN=SAHMSAGN=1 = ， 四边形 GHMN 的面积是 点评： 本题主要考查了四边形的综合题，解决的关键是明确三角形翻转后边的大 小不变，找准对应边，角的关系求解 23（12 分）（2014潍坊）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度 v（千米/小时）是车 流密度 x（辆/千米）的函
33、数，当桥上的车流密度达到 220 辆/千米时，造成堵塞，此时车流 速度为 0 千米/小时； 当车流密度不超过 20 辆/千米时， 车流速度为 80 千米/小时， 研究表明： 当 20x220 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 （1）求大桥上车流密度为 100 辆/千米时的车流速度； （2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于 40 千米/小时且小于 60 千米/小时，应 控制大桥上的车流密度在什么范围内？ （3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度 车流密度求大桥上车流量 y 的最大值 考点： 一次函数的应用 分析： （1）当 20x22
34、0 时，设车流速度 v 与车流密度 x 的函数关系式为 v=kx+b，根 据题意的数量关系建立方程组求出其解即可； （2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可； （3）设车流量 y 与 x 之间的关系式为 y=vx，当 x20 和 20x220 时分别表示 出函数关系由函数的性质就可以求出结论 解答： 解：（1）设车流速度 v 与车流密度 x 的函数关系式为 v=kx+b，由题意，得 ， 解得：， 当 20x220 时，v= x+88； （2）由题意，得 ， 解得：70x120 应控制大桥上的车流密度在 70x120 范围内； （3）设车流量 y 与 x 之间的关系式为 y=vx， 当 0
35、x20 时 y=80x， k=800， y 随 x 的增大而增大， x=20 时，y 最大=1600； 当 20x220 时 y=（ x+88）x= （x110）2+4840， 当 x=110 时，y 最大=4840 48401600， 当车流密度是 110 辆/千米，车流量 y 取得最大值时 4840 辆/小时 点评： 本题考查了车流量=车流速度车流密度的运用， 一次函数的解析式的运用， 一元 一次不等式组的运用， 二次函数的性质的运用， 解答时求出函数的解析式是关键 24（13 分）（2014潍坊）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，4）， 与 x 轴交于点
36、 A 和点 B，其中点 A 的坐标为（2，0），抛物线的对称轴 x=1 与抛物线交 于点 D，与直线 BC 交于点 E （1）求抛物线的解析式； （2）若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点 F 使四边形 ABFC 的面积 为 17，若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）平行于 DE 的一条动直线 l 与直线 BC 相交于点 P，与抛物线相交于点 Q，若以 D、E、 P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标 考点： 二次函数综合题 分析： （1）先把 C（0，4）代入 y=ax2+bx+c，得出 c=4，再由抛物线的对称 轴 x=1，得到
37、b=2a，抛物线过点 A（2，0），得到 0=4a 2b+c，然后由可解得，a= ，b=1，c=4，即可求出抛物线的 解析式为 y= x2+x+4； （2）假设存在满足条件的点 F，连结 BF、CF、OF，过点 F 作 FHx 轴于点 H，FGy 轴于点 G设点 F 的坐标为（t， t2+t+4），则 FH= t2+t+4，FG=t，先根据三角形的面积公式求出 SOBF= OBFH= t2+2t+8，SOFC= OCFG=2t，再由 S四边形ABFC=SAOC+SOBF+SOFC， 得到 S四边形ABFC=t2+4t+12令t2+4t+12=17，即 t24t+5=0，由= （4）245=40
38、，得出方程 t24t+5=0 无解，即不存在满足条件 的点 F； （3）先运用待定系数法求出直线 BC 的解析式为 y=x+4，再求出抛物 线 y= x2+x+4 的顶点 D （1， ） ， 由点 E 在直线 BC 上， 得到点 E（1， 3），于是 DE= 3= 若以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边 形，因为 DEPQ，只须 DE=PQ，设点 P 的坐标是（m，m+4），则 点 Q 的坐标是（m， m2+m+4）分两种情况进行讨论：当 0m 4 时，PQ=（ m2+m+4）（m+4）= m2+2m，解方程 m2+2m= ，求出 m 的值，得到 P1（3，1）；当 m0 或 m4 时
39、，PQ= （m+4）（ m2+m+4）= m22m，解方程 m22m= ，求出 m 的值，得到 P2（2+，2），P3（2，2+） 解答： 解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）过点 C（0，4），c=4 对称轴 x=1，b=2a 抛物线过点 A（2，0）， 0=4a2b+c ， 由解得，a= ，b=1，c=4， 抛物线的解析式为 y= x2+x+4； （2）假设存在满足条件的点 F，如图所示，连结 BF、CF、OF，过点 F 作 FHx 轴于点 H，FGy 轴于点 G 设点 F 的坐标为（t， t2+t+4），其中 0t4， 则 FH= t2+t+4，FG=t， SOBF= OBFH
40、= 4（ t2+t+4）=t2+2t+8， SOFC= OCFG= 4t=2t， S四边形ABFC=SAOC+SOBF+SOFC=4t2+2t+8+2t=t2+4t+12 令t2+4t+12=17，即 t24t+5=0， 则=（4）245=40， 方程 t24t+5=0 无解， 故不存在满足条件的点 F； （3）设直线 BC 的解析式为 y=kx+n（k0）， B（4，0），C（0，4）， ，解得， 直线 BC 的解析式为 y=x+4 由 y= x2+x+4= （x1）2+ ， 顶点 D（1， ）， 又点 E 在直线 BC 上，则点 E（1，3）， 于是 DE= 3= 若以 D、E、P、Q 为
41、顶点的四边形是平行四边形，因为 DEPQ，只须 DE=PQ， 设点 P 的坐标是（m，m+4），则点 Q 的坐标是（m， m2+m+4） 当 0m4 时，PQ=（ m2+m+4）（m+4）= m2+2m， 由 m2+2m= ，解得：m=1 或 3 当 m=1 时，线段 PQ 与 DE 重合，m=1 舍去， m=3，P1（3，1） 当 m0 或 m4 时，PQ=（m+4）（ m2+m+4）= m22m， 由 m22m= ，解得 m=2，经检验适合题意， 此时 P2（2+，2），P3（2，2+） 综上所述，满足题意的点 P 有三个，分别是 P1（3，1），P2（2+，2 ），P3（2，2+） 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、 一次函数的解析式，四边形的面积，平行四边形的判定等知识，综合性 较强，难度适中运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键
