1、 梅州市 2013 年初中毕业生学业考试 数学 试卷 一、选择题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分每小题给出四个答案，其中只有一 个是正确的 1 （2013 广东梅州广东梅州，1，3 分）分）四个数1，0， 1 2 ，2中为无理数的是 A1 B0 C 1 2 D2 【答案】【答案】D 2 （2013 广东梅州广东梅州，2，3 分）分）从上面看如左图所示的几何体，得到的图形是 A B C D 【答案】【答案】B 3 （2013 广东梅州广东梅州，3，3 分）分）数据 2，4，3，4，5，3，4 的众数是 A5 B4 C3 D2 【答案】【答案】B 4 （2013 广东梅州广东梅州
2、，4，3 分）分）不等式组 20 20 x x 的解集是 A2x B2x C2x D22x 【答案】【答案】A 5 （2013 广东梅州广东梅州，5，3 分）分）一个多边形的内角和小于它的外角和，则这个多边形的边 数是 A3 B4 C5 D6 【答案】【答案】A 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 6 （2013 广东梅州广东梅州，6，3 分）分）3 的相反数是 【答案】【答案】3 7 （2013 广东梅州广东梅州，7，3 分）分）若42，则的余角的度数是 【答案】【答案】48 8 （2013 广东梅州广东梅州，8，3 分）分）分解因式： 2 2mm= 【答案】【答案
3、】(2)m m 9 （2013 广东梅州广东梅州，9，3 分）分）化简： 2 3a bab 【答案】【答案】3a 10 （2013 广广东梅州东梅州， 10， 3 分）分）“节约光荣， 浪费可耻” ， 据统计我国每年浪费粮食约 8000000 吨，这个数据用科学记数法可表示为 吨 【答案】【答案】 6 8 10 11 （2013 广东梅州广东梅州，11，3 分）分）如图，在ABC 中，AB=2，AC=2，以点 A 为圆心， 1 为半径的圆与边 BC 相切于点 D，则BAC 的度数是 【答案】【答案】105 12 （2013 广东梅州广东梅州，12，3 分）分）分式方程 2 1 1 x x 的解
4、是 x= 【答案】【答案】1 13 （2013 广东梅州广东梅州，13，3 分）分）如图，已知ABC 是腰长为 1 的等腰直角三角形，以 RtABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 RtACD，再以 RtACD 的斜边 AD 为直角 边，画第三个等腰 RtADE，依此类推，则第 2013 个等腰直角三角形的斜边长 是 【答案】【答案】 2013 2 三、解答下列各题：本大题共 10 小题，共 81 分解答应写出文字说明、推理过程或演算步 骤 14 （2013 广东梅州广东梅州，14，7 分）分）本题满分 7 分 计算： 1 01 20138| 3 2 | 2cos45 2 解：原式=1
5、2 22 3 222 15 （2013 广东梅州广东梅州，15，7 分）分）本题满分 7 分 解方程组 25 1 xy xy 【解】【解】 25 1 xy xy ，+，得36x ，即2x ，将2x 代入，得1y 所以原方程组的解为 2 1 x y 16 （2013 广东梅州广东梅州，16，7 分）分）本题满分 7 分 如图，在平面直角坐标系中，A（2，2） ，B（3，2） （1）若点 C 与点 A 关于原点 O 对称，则点 C的坐标为 ； （2）将点 A 向右平移 5 个单位得到点 D，则点 D 的坐标为 ； （3）由点 A，B，C，D 组成的四边形 ABCD 内 （不包括边界 ）任取一个横、
6、纵坐标均 为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率 【解】 （【解】 （1）点 C 与点 A 关于原点 O 对称，且 A（2，2） ，点 C 的坐标为（2，2） （2）将点 A 向右平移 5 个单位得到点 D，点 D 的坐标为（3，2） （3）四边形 ABCD 内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点有 15 个，如图 其中横、纵坐标之和恰好为零的有 3 个，所以所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率是 5 1 15 3 17本题满分 7 分 （2013 广东梅州广东梅州，17，7 分）分） “安全教育，警钟长鸣” ，为此，某校随机抽取了九年级（1） 班的学生对安全知识的了解情况
7、进行了一次调查统计， 图和图是通过数据收集后， 绘制 的两幅不完整的统计图请你根据图中提供的信息，解答以下问题： （1）九年级（1）班共有 名学生； （2）在扇形统计图中，对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数 是 ； （3）若全校有 1500 名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差” 、 “一般”的学生共有 名 【解】【解】 （1）九年级（1）班中“很好”所占的比例为 30%， “很好”的人数为 18，所以九年 级（1）班共有 1830%=60（人） （2）九年级（1）中“较好”的人数为 30，所以“较好”所占的比例为 3060=50%，所以 “较差”的所占比例为 1-30
8、%-15%-50%=5%所以对安全知识的了解情况为“较差”部分 所对应的圆心角的度数是 3605%=18（人） （3）全校有 1500 名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差” 、 “一般”的学生共有 （5%+15%）1500=300（人） 18本题满分 8 分 （2013 广东梅州广东梅州，18， 8 分）分）已知， 一次函数1yx的图象与反比例函数(0) k yk x 的 图象都经过点 A（a，2） （1）求 a 的值及反比例函数的表达式； （2）判断点 B（2 2， 2 2 ）是否在该反比例函数的图象上，请说明理由 【解】【解】 （1）一次函数 y=x+1 的图象经过点 A（a，2）
9、，2=a+1，解得 a=1又反比例函数 (0) k yk x 的图象经过点 A（a，2） ， 1 2 k ，k=2 a 的值为 1，反比例函数的表 达式为 x y 2 （2）2 2 2 22，点 B（2 2， 2 2 ）是在该反比例函数的图象上 19本题满分 8 分 （2013 广东梅州广东梅州，19，8 分）分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2DA，以点 A 为圆心，AB 为半径的圆弧交 DC 于点 E，交 AD 的延长线于点 F，设 DA=2 （1）求线段 EC 的长； （2）求图中阴影部分的面积 【解】【解】 （1） 在矩形 ABCD 中， AB=2DA， AE=2AD， 且ADE=
10、90.又 DA=2， AE=AB=4， DE=32216 22 ADAE，EC=DC-DE=324. （2） ADEAEF SSS 阴影扇形 = 2 60418 2 2 32 3 36023 . 20本题满分 8 分 （2013 广东梅州广东梅州，20，8 分）分）为建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在 村道两旁种植 A，B 两种树木，需要购买这两种树苗 1000 棵A，B 两种树苗的相关信息如 下表： 项目 品种 单价（元/棵） 成活率 植树费（元/棵） A 20 90% 5 B 30 95% 5 设购买 A 种树苗 x 棵，绿化村道的总费用为 y 元解答下列问题： （1）写出
11、y（元）与 x（棵）之间的函数关系式； （2）若这批树苗种植后成活了 925 棵，则绿化村道的总费用需要多少元？ （3）若绿化村道的总费用不超过 31000 元，则最多可购买 B 种树苗多少棵？ 【解】【解】解： （1）设购买 A 种树苗 x 棵，则购买 B 种树苗（1000x）棵，绿化村道的总费用 为 y=(20+5)x+(30+5)（1000x）=25x+3500035x=350005x （2）90%x+95%（1000x）=925解得 x=500（棵） ，则购买 B 种树苗 500 棵 (20+5) 50090%+(30+5) 50095%=27875（元） （3）(20+5)x+(30
12、+5)（1000x）31000，解得 x400则 1000x1000400=600所 以最多可购买 B 种树苗 600 棵 21本题满分 8 分 （为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形） （2013 广东梅州广东梅州，21，8 分）分）如图，在四边形 ABFC 中，ACB=90，BC 的垂直平分线 EF 交于点 D，交 AB 于点 E，且 CF=AE （1）求证：四边形 BECF 是菱形； （2）若四边形 BECF 为正方形，求A 的度数 【解】【解】 （1） BC 的垂直平分线 EF 交于点 D， BF=FC， BE=EC.又ACB=90， EF/AC. BE：AB=DB：BC，D
13、为 BC 中点，DB：BC=1：2，BE：AB=1：2，E 为 AB 中点，即 BE=AE，CF=AE，CF=BE，CF=FB=BE=CE，四边形 BECF 是菱形 （2）如图，四边形 BECF 为正方形，BEC=90.又 AE=CE，A=45. 22本题满分 10 分 （为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形） （2013 广东梅州广东梅州，22，8 分）分）如图，已知抛物线 2 22yx与x轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）写出以 A，B，C 为顶点的三角形面积； （2）过点 E（0，6）且与 x 轴平行的直线 1 l与抛物线相交于 M、
14、N 两点（点 M 在点 N 的左 侧） ，以 MN 为一边，抛物线上的任一点 P 为另一顶点作平行四边形，当平行四边形的面积 为 8 时，求出点 P 的坐标； （3）过点 D（m，0） （其中 m1）且与 x 轴垂直的直线 2 l上有一点 Q（点 Q 在第一象限 ） ， 使得以 Q，D，B 为顶点的三角形和以 B，C，O 为顶点的三角形相似，求线段 QD 的长（用 含 m 的代数式表示） 【解】【解】 （1）抛物线 2 22yx与x轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于 点 C 2 220x ， C(0， -2)1x .A （-1， 0） ， B （1， 0） .A
15、B=2. 1 2 22 2 ABC S . （2）过点 E（0，6）且与 x 轴平行的直线 1 l与抛物线相交于 M、N 两点， 2 226x ， 解得2x ，MN=4.又平行四边形的面积为 8 时，点 P 到 MN 的距离为 2，即 P 点的纵 坐标为 4， 2 224x ，解得3x ，点 P 的坐标为（3，4）或（3，4）. （3）设 Q（m，b） ，则可分两种情况： 当 OBOC BDDQ 时， 12 1mb ，解得22bm（1m ）. 当 OBOC DQBD 时， 12 1bm ，解得 11 22 bm（1m ）. 23本题满分 11 分 （为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形
16、） （2013 广东梅州广东梅州，23，8 分）分）用如图，所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在 图中已标出 ） ，完成以下两个探究问题： 探究一：将以上两个三角形如图拼接（BC 和 ED 重合） ，在 BC 边上有一动点 P （1）当点 P 运动到CFB 的角平分线上时，连接 AP，求线段 AP 的长； （2）当点 P 在运动的过程中出现 PA=FC 时，求PAB 的度数 探究二：如图，将DEF 的顶点 D 放在ABC的 BC 边上的中点处，并以点 D 为旋转中 心旋转DEF，使DEF 的两直角边与ABC 的两直角边分别交于 M、N 两点，连接 MN， 在旋转DEF 的过程中，AMN
17、的周长是否存在有最小值？若存在求出它的最小值；若 不存在，请说明理由 【解】【解】 （1）过点 A 作 AGBC，垂足为 G.当点 P 运动到CFB 的角平分线上时，PFC= BFP=30，PC= 1 2 PF.又CBF=30，BP=PF.BC=3，BP=2.在 RtBAC 中， ABC=45 ， AG=BG= 1 2 BC= 3 2 . GP= 1 2 . 在Rt AGP中 ， AP= 22 9110 442 AGGP. （2）如图，过点 A 作 AGBC，垂足为 G.在 RtAPG 中，AP=CF=3，AG= 3 2 ，则 PG= 22 93 3 42 APAG，所以PAG=30，所以PA
18、B=15.当点 P 位于点 P 处时，BAP=75. 探究二：过点 D 分别作 DHAB 于点 H，DIAC于点 I. 在 RtABC 中， 点 D 是 BC 中点，AB=AC，HD=DI.四边形 HDIA 是正方形.HDI=MDN， HDM=IDN. 在HDM 与IDN 中， HDMIDN HDDI DHMDIN HDMIDN（ASA）. DM=DN，HM=IN. 设 MA=x，则 HM= 3 2 4 x， AN= 33 22 44 x= 3 2 2 x MN= 22 ANAM= 22 33 22 42 xx = 22 939 23 2 822 xxxx = 2 945 22 28 xx = 22 2 99945 2222 4888 xx = 2 99 2(2) 816 x 当 9 2 8 x 时，MN 有最小值为 93 164 . 所以最小周长为 AM+AN+MN 有最小值=2AH+ 3 4 =AB+ 3 4 = 3 2 2 + 3 4 .
