1、 1 苏北四市高三年级摸底考试苏北四市高三年级摸底考试 数学 参考公式：参考公式：锥体的体积公式： 1 3 VSh，其中S是锥体的底面面积，h是高 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位答题卡相应位 置上置上 1已知全集 1, 0 , 1, 2U ，集合 1, 2A ，则 UA 2已知复数z满足(1 i)2z，其中i为虚数单位，则z的实部为 3函数 1 cos() 26 yx的最小正周期为 4右图是一个算法的流程图，则输出x的值为 5某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员 120
2、人，其中足球、篮球、 排球的成员分别有 40 人、60 人、20 人现用分层抽样的方法从这三个兴趣 小组中抽取 24 人来调查 活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取 人 6若随机地从 1，2，3，4，5 五个数中选出两个数，则这两个数恰好为 一奇一偶的概率为 7设实数x，y满足 0, 1, 21, xy xy xy 则32xy的最大值为 8设 n S是等差数列 n a的前n项和，且 2 3a ， 4 16S ，则 9 S的值为 9将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积 是 10如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A， 1 B， 2 B分别为椭圆 22 22
3、 :1(0) xy Cab ab 的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点 若 21 B FAB，则椭圆C的离心率是 开始 结束 Y x2，n1 输出 x nn+1 x2x+1 n3 N （第 4 题） y （第 10 题） x O F A B2 B1 2 11若tan2tan，且 2 cossin 3 ，则sin()的值为 12已知正数a，b满足 19 5ab ab ，则ab的最小值为 13已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，8AB ，6CD，则MA MB 的取值范围是 14已知函数 2 ( ) |4|2|f xxa x， 3,3x 若( )f x的最大值是0，则实数a的取 值范围是
4、 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在分请在答题卡指定区域内作答答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出文，解答时应写出文 字说明、证明过程或计算步骤字说明、证明过程或计算步骤 15 （本小题满分 14 分） 在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan2B，tan3C （1）求角A的大小； （2）若3c ，求b的长 16 （本小题满分 14 分） 如图，在正三棱柱 111 ABCABC中，已知D，E分别为BC， 11 BC的中点，点F在棱 1 CC上，且 1 EFC D求证： （1）直线 1 AE平面 1 ADC； （2）直线EF 平
5、面 1 ADC A B C D E A1 B1 C1 F （第 16 题） 3 17 （本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆 22 :40C xyx及点( 1,0)A ，(1,2)B （1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MNAB，求直线l的方程； （2）在圆C上是否存在点P，使得 22 12PAPB？若存在，求点P的个数；若不存 在，说明理由 y （第 17 题） x O B A C 4 18 （本小题满分 16 分） 某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中90ABCBAD，2ADDCkm， 1BC km现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿
6、地分成面积相 等的两部分 （1）如图，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度； （2）如图，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度 A B C D （第 18 题图） E F A B C D （第 18 题图） E F 5 19 （本小题满分 16 分） 在数列 n a中，已知 1 1 3 a ， 1 1 12 33 nn n aa ， * nN，设 n S为 n a的前n项和 （1）求证：数列3 n n a是等差数列； （2）求 n S； （3） 是否存在正整数p，q，r()pqr， 使, pqr SS S成等差数列？若存在， 求出p， q，r的值；若不存在，说明理由 6
7、 20 （本小题满分 16 分） 设函数 2 ( )lnf xxaxax，a为正实数 （1）当2a 时，求曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程； （2）求证： 1 ( )0f a ； （3）若函数( )f x有且只有1个零点，求a的值 7 21选做题选做题本题包括本题包括 A、B、C、D 四小题，四小题，请选定其中两题请选定其中两题 ，并在相应的答题区域内作并在相应的答题区域内作 答答 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 41：几何证明选讲（本小题满分 10 分） 如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E
8、作BA的延长线的 垂线，垂足为F求证： 2 ABBE BDAE AC B选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 求椭圆 22 :1 94 xy C在矩阵 1 0 3 1 0 2 A对应的变换作用下所得的曲线的方程 C选修：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 已知曲线C的极坐标方程为 sin()3 3 ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半 轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程 D选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分） 设0c ，|1| 3 c x，|1| 3 c y ，求证：|23|xyc A B C D E F (第 21A 题) O 8 【必做题】第【必做题】第
9、22题、第题、第23题，每题题，每题10分，共计分，共计20分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，90ABCBAD， 4ADAP，2ABBC，M为PC的中点 （1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值； （2）点N在线段AD上，且AN，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为 4 5 ， 求的值 23 （本小题满分 10 分） 设 * nN，( )372 nn f n （1）求(1)f，(2)f，(3)f的值； （2）
10、证明：对任意正整数n，( )f n是 8 的倍数 A B C D N P M （第 22 题） 9 参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一、填空题一、填空题 10,1 21 34 423 58 6 3 5 73 881 9 16 3 10 51 2 11 1 3 1236 13 9,0 14(, 5 二、解答题二、解答题 15 （1）因为tan2B，tan3C ，ABC， 所以tantan()tan()ABCBC2分 tantan 1tantan BC BC 23 1 12 3 ，4分 又(0,)A，所以 4 A6分 （2）因为 sin tan2 cos B B B ，且 22 sincos
11、1BB， 又(0,)B，所以 2 5 sin 5 B ，8分 同理可得， 3 10 sin 10 C 10分 由正弦定理，得 2 5 3 sin 5 2 2 sin3 10 10 cB b C 14分 16 （1）连结ED，因为D，E分别为BC， 11 BC的中点， 所以 1 B EBD且 1 B EBD， 所以四边形 1 B BDE是平行四边形，2 分 所以 1 BBDE且 1 BBDE，又 11 BBAA且 11 BBAA， 所以 1 AADE且 1 AADE， 所以四边形 1 AAED是平行四边形，4 分 所以 1 AEAD，又因为 11 AEADC平面， 1 ADADC平面， 所以直线
12、 1 AE平面 1 ADC7 分 （2）在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 BB 平面ABC， A B C D E A1 B1 C1 F （第 16 题） 10 又AD平面ABC，所以 1 ADBB， 又ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以ADBC，9 分 又 1, BB BC 平面 11 B BCC， 1 BBBCB， 所以AD平面 11 B BCC， 又EF 平面 11 B BCC，所以ADEF，11 分 又 1 EFC D， 1 ,C D AD平面 1 ADC， 1 C DADD， 所以直线EF 平面 1 ADC14 分 17 （1）圆C的标准方程为 22 (2)4xy，所以圆
13、心(2,0)C，半径为2 因为lAB，( 1,0)A ，(1,2)B，所以直线l的斜率为 20 1 1( 1) ， 设直线l的方程为0xym， 2 分 则圆心C到直线l的距离为 202 22 mm d 4 分 因为 22 222 2MNAB， 而 222 () 2 MN CMd，所以 2 (2) 42 2 m ， 6 分 解得0m或4m， 故直线l的方程为0xy或40xy8 分 （2）假设圆C上存在点P，设( , )P x y，则 22 (2)4xy， 222222 (1)(0)(1)(2)12PAPBxyxy， 即 22 230xyy，即 22 (1)4xy， 10 分 因为 22 |22|
14、(20)(0 1)22，12 分 所以圆 22 (2)4xy与圆 22 (1)4xy相交， 所以点P的个数为214 分 18 （1）因为2ADDC，1BC ，90ABCBAD， 所以3AB ，2 分 取AB中点G， 则四边形BCEF的面积为 1 2 EFGABCDBCEG SSS 梯形梯形 ， 即 11 3(12) 22 13313 (1) 22222 GF， A B C （第 18 题图） E F G D 11 解得 3 6 GF ，6 分 所以 22 3321 ( )() 263 EF (km) 故灌溉水管EF的长度为 21 3 km8 分 （2）设DEa，DFb，在ABC中， 22 1(
15、 3)2CA， 所以在ADC中，2ADDCCA， 所以60ADC， 所以DEF的面积为 13 sin60 24 DEF Sabab ， 又 3 3 2 ABCD S 梯形 ，所以 33 3 44 ab ，即3ab 12 分 在ADC中，由余弦定理，得 22 3EFababab， 当且仅当3ab时，取“” 故灌溉水管EF的最短长度为3km16 分 19 （1）证明：因为 1 1 12 33 nn n aa ，所以 1 1 332 nn nn aa ，2 分 又因为 1 1 3 a ，所以 1 1 3=1a， 所以3 n n a是首项为 1，公差为2的等差数列 4 分 （2）由（1）知31(1)
16、( 2)32 n n ann ，所以 1 (32 )( ) 3 n n an，6 分 所以 123 1111 1 ( )( 1) ( )( 3) ( )(32 ) ( ) 3333 n n Sn ， 所以 23+1 11111 1 ( )( 1) ( )(52 ) ( ) +(32 ) ( ) 33333 nn n Snn ， 两式相减得 231 211111 2( )( )( ) (32 ) ( ) 333333 nn n Sn 1 1 1 1( ) 111 3 2(23) ( ) 1 393 1 3 n n n 1 1 2( ) 3 n n ， 所以 3 n n n S 10 分 A B
17、C D （第 18 题图） E F 12 （3）假设存在正整数p，q，r()pqr，使, pqr SS S成等差数列， 则2 qpr SSS，即 2 333 qpr qpr 由于当2n时， 1 32( )0 3 n n an，所以数列 n S单调递减 又pq，所以1pq且q至少为 2，所以 1 1 33 pq pq ， 12 分 1 123 333 qqq qqq 当3q时， 1 12 333 pqq pqq ，又0 3r r ， 所以 2 333 prq prq ，等式不成立14 分 当2q 时，1p ， 所以 41 933r r ，所以 1 39 r r ，所以3r ( n S单调递减，解
18、唯一确定) 综上可知，p，q，r的值为1，2，3 16 分 20 （1）当2a 时， 2 ( )ln22f xxxx，则 1 ( )42fxx x ，2 分 所以(1)1f，又(1)0f， 所以曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程为10xy 4 分 （2）因为 111 ( )ln1f aaa ，设函数( )ln1g xxx， 则 11 ( )1 x g x xx ， 6 分 令( )0g x ，得1x ，列表如下： x (0,1) 1 (1) ( )g x 0 ( )g x 极大值 所以( )g x的极大值为(1)0g 所以 111 ( )ln10f aaa 8 分 （3） 2
19、121 ( )2 axax fxaxa xx ，0x ， 令( )0fx ，得 22 88 44 aaaaaa x aa ，因为 2 8 0 4 aaa a ， 13 所以( )f x在 2 8 (0,) 4 aaa a 上单调增，在 2 8 (,) 4 aaa a 上单调减 所以 2 8 ( )() 4 aaa f xf a 10 分 设 2 0 8 4 aaa x a ，因为函数( )f x只有 1 个零点，而(1)0f， 所以1是函数( )f x的唯一零点 当 0 1x 时，( )(1)0f xf，( )f x有且只有1个零点， 此时 2 8 1 4 aaa a ，解得1a 12 分 下
20、证，当 0 1x 时，( )f x的零点不唯一 若 0 1x ，则 0 ()(1)0f xf，此时 2 8 1 4 aaa a ，即01a，则 1 1 a 由（2）知， 1 ( )0f a ，又函数( )f x在以 0 x和 1 a 为端点的闭区间上的图象不间断， 所以在 0 x和 1 a 之间存在( )f x的零点，则( )f x共有 2 个零点，不符合题意； 若 0 1x ，则 0 ()(1)0f xf，此时 2 8 1 4 aaa a ，即1a ，则 1 01 a 同理可得，在 1 a 和 0 x之间存在( )f x的零点，则( )f x共有 2 个零点，不符合题意 因此 0 1x ，所
21、以a的值为116 分 21选做题选做题本题包括本题包括 A、B、C、D 四小题，四小题，请选定其中两题请选定其中两题 ，并在相应的答题区域内作并在相应的答题区域内作 答答 若多做，则按作答的前两题评分 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A证明：连结AD，因为AB为圆O的直径， 所以90ADB， 又EFAB，90AFE， 则, ,A D E F四点共圆， 所以BD BEBA BF，5 分 又ABCAEF，即AB AFAE AC， 所以BE BDAE ACBA BFAB AFABBFAF 2 AB 10 分 A B C D
22、 E F (第 21A 题) O 14 B设椭圆C上的点 11 ( ,)x y在矩阵A对应的变换作用下得到点( , )x y， 则 1 1 1 1 11 0 33 11 0 22 x xx yy y ，5 分 则 1 1 3 , 2 , xx yy 代入椭圆方程 22 1 94 xy ，得 22 1xy， 所以所求曲线的方程为 22 1xy10 分 C由 sin()3 3 得 13 sincos3 22 ，5 分 又cosx，siny， 所以曲线C的直角坐标方程为360xy10 分 D因为|1| 3 c x，所以 2 |22| 3 c x， 故|23|221|xyxy5 分 |22|1|xy
23、2 33 cc c， 故|23|xyc10 分 22 （1）因为PA平面ABCD，且,AB AD平面ABCD， 所以PAAB，PAAD， 又因为90BAD，所以,PA AB AD两两互相垂直 分别以,AB AD AP为, ,x y z轴建立空间直角坐标系， 则由224ADABBC，4PA可得 (0,0,0)A，(2,0,0)B，(2,2,0)C，(0,4,0)D，(0,0,4)P， 又因为M为PC的中点，所以(1,1,2)M 所以( 1,1,2)BM ，(0,0,4)AP ，2 分 所以cos, | AP BM AP BM AP BM 0 ( 1)0 14 26 346 ， 所以异面直线AP，
24、BM所成角的余弦值为 6 3 5 分 A B C D N P M （第 22 题） y x z 15 （2）因为AN，所以(0, ,0)N(04)，则( 1,1, 2)MN ， (0,2,0)BC ，(2,0, 4)PB ， 设平面PBC的法向量为( , , )x y zm， 则 0, 0, BC PD m m 即 20, 240. y xz 令2x ，解得0y ，1z ， 所以(2,0,1)m是平面PBC的一个法向量7 分 因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为 4 5 ， 所以 2 22|4 |cos,| 5| 5(1)5 MN MN MN m m m ， 解得10,4 ， 所以的值为110 分 23 （1）代入求出(1)8f，(2)56f，(3)368f3 分 （2）当1n 时，(1)8f是 8 的倍数，命题成立4 分 假设当nk时命题成立，即( )372 kk f k 是 8 的倍数， 那么当1nk时， 11 (1)3723(372)4(71) kkkkk f k ， 因为71 k 是偶数，所以4(71) k 是8的倍数， 又由归纳假设知3(372) kk 是 8 的倍数， 所以(1)f k 是 8 的倍数， 所以当 1nk时，命题也成立 根据知命题对任意 * nN成立10 分 欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
