1、2018年初中数学联赛试题说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试(A)一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.设二次函数2222ayxax的图象的顶点为A,与x轴的交点为B,C.当ABC为等边三角形时,其边长为()2.如图,在矩形ABCD中,BAD的平分线交BD于点E,AB=1,CAE=15,则BE=()A.33B.22233.设p,q均为大于3的素数,则使p2+5pq+4q2为完全平方数
2、的素数对(p,q)的个数为()4.若实数a,b满足a-b=2,22114abba,则a5-b5=()5.对任意的整数x,y,定义xy=x+y-xy,则使得(xy)z+(yz)x+(zx)y=0的整数组(x,y,z)的个数为()6.设11112018201920202050M ,则1M的整数部分是()二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,CEAB于E,F为AD的中点,若AEF=48,则B=_.2.若实数x,y满足3311542xyxy,则x+y的最大值为_.3.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为_.4.已知实数a,b,c满足a+b+c=
3、0,a2+b2+c2=1,则555abcabc=_.第一试(B)一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.满足(x2+x-1)x+2的整数x的个数为()2.已知x1,x2,x3(x1x2x3)为关于x的方程x3-3x2+(a+2)x-a=0的三个实数根,则22211234xxxx=()3.已知点E,F分别在正方形ABCD的边CD,AD上,CD=4CE,EFB=FBC,则tanABF()A.12B.35C.22D.324.方程339xx的实数根的个数为()5.设a,b,c为三个实数,它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018,则这样的三元数组(a,b,c)的个数为()6.已知
4、实数a,b满足a3-3a2+5a=1,b3-3b2+5b=5,则a+b=()二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知p,q,r为素数,且pqr整除pq+qr+rp-1,则p+q+r=_.2.已知两个正整数的和比它们的积小1000,若其中较大的数是完全平方数,则较小的数为_.3.已知D是ABC内一点, E是AC的中点, AB=6, BC=10, BAD=BCD,EDC=ABD,则DE=_.4.已知二次函数y=x2+2(m+2n+1)x+(m2+4n2+50)的图象在x轴的上方,则满足条件的正整数对(m,n)的个数为_.第二试(A)一、(本题满分20分)设a,b,c,d为四个不同的实数,
5、若a,b为方程x2-10cx-11d=0的根,c,d为方程x2-10ax-b=0的根,求a+b+c+d的值.二、(本题满分25分)如图,在扇形OAB中,AOB=90,OA=12,点C在OA上,AC=4,点D为OB的中点,点E为弧AB上的动点,OE与CD的交点为F.(1)当四边形ODEC的面积S最大时,求EF;(2)求CE+2DE的最小值.三、(本题满分25分)求所有的正整数m,n,使得33222mnm nmn是非负整数.第二试(B)一、(本题满分20分)若实数a,b,c满足(a+b+c)11195555abcbcacab ,求(a+b+c)111abc的值.二、(本题满分25分)如图,点E在四边形ABCD的边AB上,ABC和CDE都是等腰直角三角形,AB=AC,DE=DC.(1)证明:ADDPPE三、(本题满分25分)设x是一个四位数,x的各位数字之和为m,x+1的各位数字之和为n,并且m与n的最大公约数是一个大于2的素数.求x.