1、72x B(0,4)A(6,0)EFxyO二次函数与四边形二次函数与四边形一二次函数与四边形的形状二次函数与四边形的形状例 1.(浙江义乌市) 如图，抛物线223yxx与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B 点左侧），直线l与抛物线交于 A、C 两点，其中 C 点的横坐标为 2（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；（3）点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形如果存在， 求出所有满足条件的
2、F 点坐标； 如果不存在，请说明理由练习 1.(河南省实验区河南省实验区) 23如图，对称轴为直线72x 的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形 OEAF 的面积 S 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形是否存在点 E，使平行四边形 OEAF 为正方形若存在，求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由A练习练习 2.2.（四川省德阳市）（四川省德阳市）25
3、.25.如图，已知与x轴交于点(10)A ，和(5 0)B ，的抛物线1l的顶点为(3 4)C ，抛物线2l与1l关于x轴对称，顶点为C（1）求抛物线2l的函数关系式；（2）已知原点O，定点(0 4)D ，2l上的点P与1l上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点DOPP， ， ，为顶点的四边形是平行四边形（3）在2l上是否存在点M，使ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由练习 3.（山西卷）如图，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是( 4 0)A ，( 2 0)B ，(0 8)E ，（1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式；
4、（2）设抛物线1C的顶点为M，抛物线2C与x轴分别交于CD，两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S若点A，点D同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由543211234554321AEBC1O2l1lxy二二次函数与四边形的面积
5、二次函数与四边形的面积例例 1.1.（资阳市资阳市）25.25.如图 10，已知抛物线 P：y=ax2+bx+c(a0) 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在 x轴的正半轴上)，与 y 轴交于点 C，矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上，顶点 F、G 分别在线段 BC、AC 上，抛物线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x-3-212y-52-4-520(1) 求 A、B、C 三点的坐标；(2) 若点 D 的坐标为(m，0)，矩形 DEFG 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系，并指出 m 的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时， 连接DF并延长至点M，
6、使FM=k DF，若点 M 不在抛物线 P 上，求 k 的取值范围.练习 1.（辽宁省十二市 2007 年第 26 题）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（8，0），点N的坐标为（6，4）（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值若存在，请求出这个最小值；若不存
7、在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由图 10练习 3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子动点P，Q同时从点A出发， 点P沿ABC方向以每秒2cm的速度运动， 到点C停止， 点Q沿AD方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为2cmy（1）当01x时，求y与x之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；（3）当12x时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时P
8、OQ的变化范围；（4）当02x时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象练习 4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线 l1：y=x2-4 的图象与 x 轴相交于 A、C 两点，B 是抛物线l1上的动点(B 不与 A、C 重合)，抛物线 l2与 l1关于 x 轴对称，以 AC 为对角线的平行四边形 ABCD 的第四个顶点为 D.(1) 求 l2的解析式；(2) 求证：点 D 一定在 l2上；(3) ABCD 能否为矩形如果能为矩形， 求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值.BCPODQABPCODQAy321
9、O12 x三二次函数与四边形的动态探究例例 1.(荆门市荆门市)28. 如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点 P 是 OA 边上的动点(与点 O、A 不重合)现将PAB 沿 PB 翻折，得到PDB；再在 OC边上选取适当的点 E，将POE 沿 PE 翻折，得到PFE，并使直线 PD、PF 重合(1)设 P(x，0)，E(0，y)，求 y 关于 x 的函数关系式，并求 y 的最大值；(2)如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、B、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，使
10、PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标图 1图 2例 2.（2010 年沈阳市第 26 题）、已知抛物线 yax2bxc 与 x轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（OBOC）是方程 x210 x160 的两个根，且抛物线的对称轴是直线 x2（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接 AC、BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、点 B 不重合），过点 E 作 EFAC 交 BC 于点 F，连接 CE，设 AE
11、的长为 m，CEF 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出 S的最大值，并求出此时点 E 的坐标，判断此时BCE 的形状；若不存在，请说明理由例 3.(湖南省郴州) 27如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，将矩形 ABCD 沿对角线 A 平移，平移后的矩形为 EFGH（A、E、C、G 始终在同一条直线上），当点 E 与 C 重时停止移动平移中EF 与 BC 交于点 N，GH 与 BC 的延长线交于点 M，EH 与 DC 交于点 P，FG 与 DC 的延长线交于点Q设 S 表示矩形 PC
12、MH 的面积，S表示矩形 NFQC 的面积（1） S 与S相等吗请说明理由（2）设 AEx，写出 S 和 x 之间的函数关系式，并求出 x 取何值时 S 有最大值，最大值是多少（3）如图 11，连结 BE，当 AE 为何值时，ABE是等腰三角形练习 1.（07 年河池市）如图 12， 四边形 OABC 为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4） 点M从O出发以每秒 2 个单位长度的速度向A运动； 点N从B同时出发， 以每秒 1 个单位长度的速度向C运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动过点N作NP垂直x轴于点P，连结 AC 交 NP 于 Q，连结 MQ（1）点（填 M
13、或 N）能到达终点；（2）求AQM 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围，当 t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点 M，使得AQM 为直角三角形若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，说明理由?x?N?M?Q?P?H?G?F?E?D?C?B?A图 11?Q?P?N?M?H?G?F?E?D?C?B?A图 10图 12?y?x?P?Q?B?C?N?M?O?A练习 2.(江西省江西省) 25实验与探究（1）在图 1，2，3 中，给出平行四边形ABCD的顶点ABD， ，的坐标（如图所示），写出图 1，2，3 中的顶点C的坐标，它们分别是(5 2)，；yC( )A
14、(4 0)D，(12)B ，Ox图 1yC( )A( 0)D e，()B cd，Ox图 2yC()A ab，()D eb，()B cd，Ox图 3（2）在图 4 中，给出平行四边形ABCD的顶点ABD， ，的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含abcdef， ， ， ， ，的代数式表示）；yC()A ab，()D ef，()Bc d，Ox图 4归纳与发现（3）通过对图 1，2，3，4 的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A abB cdC mnD ef， ， ，（如图 4）时，则四个顶点的横坐标acme
15、， ， ，之间的等量关系为； 纵坐标bdnf， ， ，之间的等量关系为（不必证明）；运用与推广（4） 在同一直角坐标系中有抛物线2(53)yxcxc和三个点15192222GccScc，(2 0)Hc，（其中0c ）问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以GSHP， ， ，为顶点的四边形是平行四边形并求出所有符合条件的P点坐标72x B(0,4)A(6,0)EFxyO答案：一二次函数与四边形的形状二次函数与四边形的形状例 1.解：（1）令 y=0，解得11x 或23x A（-1，0）B（3，0）；将 C 点的横坐标 x=2 代入223yxx得 y=-3， C （2， -3） 直线 AC 的函
16、数解析式是 y=-x-1（2）设 P 点的横坐标为 x（-1x2）则 P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1），E（2( ,23)x xxP 点在 E 点的上方，PE=22(1)(23)2xxxxx 当12x 时，PE 的最大值=94（3）存在 4 个这样的点 F，分别是1234(1,0),( 3,0),(47 0),(47,0)FFFF，练 习 1. 解 ： （ 1 ） 由 抛 物 线 的 对 称 轴 是72x ， 可 设 解 析 式 为27()2ya xk把 A、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0)4.2akak解之，得225,.36ak 故抛物线解析式为22725()326
17、yx，顶点为725( ,).26（2）点( , )E x y在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326yx，y0,y 表示点 E 到 OA 的距离OA 是OEAF的对角线，2172264()2522OAESSOA yy 因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的取值范围是 1x61根据题意，当 S = 24 时，即274()25242x化简，得271().24x解之，得123,4.xx故所求的点 E 有两个，分别为 E1（3，4），E2（4，4）点 E1（3，4）满足 OE = AE，所以OEAF是菱形；点 E2（4，4）不满足 OE = AE，所以OE
18、AF不是菱形2当 OAEF，且 OA = EF 时，OEAF是正方形，此时点 E 的坐标只能是（3，3）而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E，使OEAF为正方形练习练习 2.解：解：（1）由题意知点C的坐标为(34)，设2l的函数关系式为2(3)4ya x543211234554321AEBC1O2lxy54321123D554321CEMBC1O2l1lxy又点(10)A ，在抛物线2(3)4ya x上，2(1 3)40a，解得1a 抛物线2l的函数关系式为2(3)4yx（或265yxx）（2）P与P始终关于x轴对称，PP与y轴平行设点P的横坐标为m，则其纵坐标为265m
19、m，4OD ，22654mm，即2652mm 当2652mm时 ， 解 得36m 当2652mm 时 ， 解 得32m 当点P运动到(36 2)，或(36 2)，或(322)，或(322)，时，P POD ，以点DOPP， ， ，为顶点的四边形是平行四边形（3）满足条件的点M不存在理由如下：若存在满足条件的点M在2l上，则90AMB，30BAM（或30ABM），114222BMAB过点M作MEAB于点E，可得30BMEBAM 112122EBBM，3EM ，4OE 点M的坐标为(43)，但是，当4x 时，246 451624533y 不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形练习 3. 解 （1
20、） 点( 4 0)A ， 点( 2 0)B ， 点(0 8)E ，关于原点的对称点分别为(4 0)D ，(2 0)C，(08)F， 设抛物线2C的解析式是2(0)yaxbxc a，则16404208abcabcc ，解得168abc ，所以所求抛物线的解析式是268yxx （2）由（1）可计算得点( 31)(31)MN， ，过点N作NHAD，垂足为H当运动到时刻t时，282ADODt，12NHt 根据中心对称的性质OAODOMON，所以四边形MDNA是平行四边形所 以2ADNSS 所 以 ， 四 边 形MDNA的 面 积2(82 )(12 )4148Stttt 因为运动至点A与点D重合为止，据
21、题意可知04t 所以，所求关系式是24148Stt ，t的取值范围是04t （3）781444St ，（04t ）所以74t 时，S有最大值814提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形由 （2） 知四边形MDNA是平行四边形， 对角线是ADMN， 所以当ADMN时四边形MDNA是矩形所以ODON所以2222ODONOHNH所以22420tt解之得126262tt ，（舍）所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时62t 点评本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。二二次函数与四边形的面积二次函数与四边形
22、的面积例例 1.1. 解：解：（1）解法一：设)0(2acbxaxy，任取 x,y 的三组值代入，求出解析式2142yxx=+-，令 y=0，求出124,2xx= -=；令 x=0，得 y=-4， A、B、C 三点的坐标分别是 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . 解法二：由抛物线 P 过点(1，-52)，(-3，52-)可知，抛物线 P 的对称轴方程为 x=-1，又 抛物线 P 过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，点 A、B、C 的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .（2）由题意，ADDGAOOC=，而 AO=2，OC=4，AD=2-m，
23、故 DG=4-2m，又BEEFBOOC=，EF=DG，得 BE=4-2m， DE=3m，DEFGs=DGDE=(4-2m) 3m=12m-6m2(0m2) .注：也可通过解 RtBOC 及 RtAOC，或依据BOC 是等腰直角三角形建立关系求解.(3)SDEFG=12m-6m2(0m2)，m=1 时，矩形的面积最大，且最大面积是 6 .当矩形面积最大时，其顶点为 D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，设直线 DF 的解析式为 y=kx+b，易知，k=23，b=-23，2233yx=-，又可求得抛物线 P 的解析式为：2142yxx=+-，令2233x-=2142xx+
24、-，可求出3611x. 设射线 DF 与抛物线 P 相交于点 N，则 N 的横坐标为1613-，过 N 作 x 轴的垂线交 x 轴于 H，有FNHEDFDE=161233-=5619-+，点 M 不在抛物线 P 上，即点 M 不与 N 重合时，此时 k 的取值范围是k5619-+且 k0.说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.若选择另一问题：(2)ADDGAOOC=，而 AD=1，AO=2，OC=4，则 DG=2，又FGCPABOC=， 而 AB=6，CP=2，OC=4，则 FG=3，DEFGs=DGFG=6.练习 1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC 1 分A，B，C三点与M，N，H
25、分别关于点O中心对称，A（0，4），B（6，4），C（8，0） 3 分（写错一个点的坐标扣 1 分）（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，抛物线过点A（0，4），则抛物线关系式为 4 分将B（6，4），C（8，0）两点坐标代入关系式，得 5AB，垂足为G，则 sinFEGsinCAB分解得 6 分所求抛物线关系式为： 7 分（3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m 8 分OA（AB+OC）AFAGOEOFCEOA（ 04） 10分 当时，S的取最小值又0m4，不存在m值，使S的取得最小值 12 分（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG14 分练习 3.解 （1）当01x时，2AP
26、x，AQx，212yAQ APx，即2yx（2）当12ABCDABPQSS正方形四边形时，橡皮筋刚好触及钉子，22BPx，AQx，211222222xx，43x（3）当413x时，2AB ，22PBx，AQx，2223222AQBPxxyABx，即32yx作OEAB，E为垂足当423x时，22BPx，AQx，1OE ，321O12xy43BEOPOEAQySS梯形梯形12211122xx 32x，即32yx90180POQ或180270POQ（4）如图所示：练习 4.解 (1) 设 l2的解析式为 y=ax2+bx+c(a0)，l1与 x 轴的交点为 A(-2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(
27、0，- 4)，l2与 l1关于 x 轴对称，l2过 A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0，4)，420 ,420 ,4.abcabcc a=-1,b=0,c=4，即 l2的解析式为 y= -x2+4 .(还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)(2) 设点 B(m，n)为 l1：y=x2-4 上任意一点，则 n= m2-4 (*). 四边形 ABCD 是平行四边形，点 A、C 关于原点 O 对称， B、D 关于原点 O 对称， 点 D 的坐标为 D(-m,-n) .由(*)式可知， -n=-(m2-4)= -(-m)2+4，即点 D 的坐标满足 y= -x2+4， 点 D 在 l2上.(
28、3)ABCD 能为矩形.过点 B 作 BHx 轴于 H，由点 B 在 l1：y=x2-4 上，可设点 B 的坐标为 (x0，x02-4)，则 OH=| x0|，BH=| x02-4| .易知，当且仅当 BO= AO=2 时，ABCD 为矩形.在 RtOBH 中，由勾股定理得，| x0|2+| x02-4|2=22，(x02-4)( x02-3)=0，x0=2(舍去)、x0= 3 .所以，当点 B 坐标为 B( 3 ，-1)或 B(- 3 ，-1)时，ABCD 为矩形，此时，点D 的坐标分别是 D(- 3 ，1)、D(3 ，1).因此，符合条件的矩形有且只有 2 个，即矩形 ABCD 和矩形 A
29、BCD .设直线 AB 与 y 轴交于 E ，显然，AOEAHB，EOAO=BHAH，1223EO. EO=4-23.由该图形的对称性知矩形 ABCD 与矩形 ABCD重合部分是菱形，其面积为S=2SACE=212 AC EO =2124(4-2 3 )=16 - 8 3 .三二次函数与四边形的动态探究例 1.解：(1)由已知 PB 平分APD，PE 平分OPF，且 PD、PF 重合，则BPE=90OPEAPB=90又APBABP=90，OPE=PBARtPOERtBPAPOBAOEAP即34xyxy=2114(4)333xxxx (0 x4)且当 x=2 时，y 有最大值13(2)由已知，P
30、AB、POE 均为等腰三角形，可得 P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)设过此三点的抛物线为 y=ax2bxc，则1,0,1643.cabcabc1,23,21.abc y=213122xx(3)由(2)知EPB=90，即点 Q 与点 B 重合时满足条件直线 PB 为 y=x1，与 y 轴交于点(0，1)将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E(0，1)，该直线为 y=x1由21,131,22yxyxx得5,6.xyQ(5，6)故该抛物线上存在两点 Q(4，3)、(5，6)满足条件例 2.解：（1）解方程 x210 x160 得 x12，x281 分点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在
31、 y 轴的正半轴上，且 OBOC点 B 的坐标为（2，0），点 C 的坐标为（0，8）又抛物线 yax2bxc 的对称轴是直线 x2由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为（6，0）4 分（2）点 C（0，8）在抛物线 yax2bxc 的图象上c8，将 A（6，0）、B（2，0）代入表达式，得解得所求抛物线的表达式为 yx2x87 分（3）依题意，AEm，则 BE8m，OA6，OC8，AC10EFACBEFBAC即EFFG8mSSBCESBFE（8m）8（8m）（8m）（8m）（88m）（8m）mm24m10 分自变量 m 的取值范围是 0m811 分（4）存在理由：Sm24m（m4）28且0，当
32、 m4 时，S 有最大值，S 最大值812 分m4，点 E 的坐标为（2，0）BCE 为等腰三角形14 分（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）例 3 解: （1）相等理由是：因为四边形 ABCD、EFGH 是矩形，所以,EGHEGFECNECPCGQCGMSSSSSS所以,EGHECPCGMEGFECNCGQSSSSSS即：SS（2）AB3，BC4，AC5，设 AEx，则 EC5x，34(5),55PCxMCx所以12(5)25SPC MCxx，即21212(05)255Sxxx 配方得：2125()3252Sx ，所以当52x 时，S 有最大值 3（3）当 AEAB3 或 AEBE
33、52或 AE时，ABE是等腰三角形练习 1 解：（1）点 M1 分（2）经过 t 秒时，NBt，2OMt则3CNt ，42AMtBCA=MAQ=45 3QNCNt 1 PQt 11(42 )(1)22AMQSAM PQtt22tt 2219224Sttt 02t 当12t 时，S 的值最大（3）存在设经过 t 秒时，NB=t，OM=2t 则3CNt ，42AMtBCA=MAQ=45若90AQM，则PQ是等腰 RtMQA底边MA上的高PQ是底边MA的中线12PQAPMA11(42 )2tt 12t 点M的坐标为（1，0）若90QMA，此时QM与QP重合QMQPMA142tt 1t 点M的坐标为（
34、2，0）练习 2.解：（1）()ecd ，()cead ，（2）分别过点ABCD， ， ，作x轴的垂线，垂足分别为1111ABCD， ，分别过AD，作1AEBB于E，1DFCC于点F在平行四边形ABCD中，CDBA，又11BBCC，180EBAABCBCFABCBCFFCD EBAFCD 又90BEACFD ，BEACFDAFDFac，BECFdb设()C xy，由exac，得xeca 由yfdb，得yfdb()C ecafdb ，（3）mcea ，ndfb或mace，nbdfyC()A ab，()D ef，()B cd，EF1B1A1C1DOx（4）若GS为平行四边形的对角线，由（3）可得1
35、( 2 7 )Pc c，要使1P在抛物线上，则有274(53) ( 2 )ccccc ，即20cc10c（舍去），21c 此时1( 2 7)P ，若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得2(3 2 )Pc c，同理可得1c ，此时2(3 2)P，若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得(2 )cc，同理可得1c ，此时3(12)P，综上所述，当1c 时，抛物线上存在点P，使得以GSHP， ， ，为顶点的四边形是平行四边形符合条件的点有1( 2 7)P ，2(3 2)P，3(12)P，练习 3.解：由 RtAOBRtCDA 得OD=2+1=3,CD=1C 点坐标为(3,1),抛物线经过点 C,1
36、= (3)2a(3)2，21a。抛物线的解析式为221212xxy.在抛物线（对称轴的右侧）上存在点 P、Q，使四边形 ABPQ 是正方形。以 AB 边在 AB 右侧作正方形 ABPQ。过 P 作 PEOB 于 E，QGx 轴于 G，可证PBEAQGBAO，PEAGBO2，BEQGAO1，P 点坐标为（2,1），Q 点坐标为（1,1）。由（1）抛物线221212xxy。当 x2 时，y1，当 x,1 时，y1。P、Q 在抛物线上。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点 P（2,1）、Q（1,1），使四边形 ABPQ 是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点 P、Q，使四边形 ABPQ 是正
37、方形。延长 CA 交抛物线于 Q，过 B 作 BPCA 交抛物线于 P，连 PQ，设直线 CA、BP 的解析式分别为y=k1x+b1, y=k2x+b2,A（1,0），C（3,1），CA 的解析式2121xy，同理 BP 的解析式为2121xy，解方程组2212121212xxyxy得 Q 点坐标为（1,1），同理得 P 点坐标为（2,1）。由勾股定理得 AQBPAB5，而BAQ90，四边形 ABPQ 是正方形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点 P（2,1）、Q（1,1），使四边形 ABPQ 是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点 P、Q，使四边形 ABPQ 是正方形。如图，将线段 CA 沿 CA 方向平移至 AQ，C（3,1）的对应点是 A（1,0），A（1,0）的对应点是 Q（1,1），再将线段 AQ 沿AB 方向平移至 BP，同理可得 P（2,1）BAC90，ABAC四边形 ABPQ 是正方形。经验证 P（2,1）、Q（1,1）两点均在抛物线221212xxy上。结论AGBGAFBF成立，证明如下：连 EF，过 F 作 FMBG 交 AB 的延长线于 M，则AMFABG，AGBGAFMF。由知ABC 是等腰直角三角形，1245。AFAE，AEF145。EAF90，EF 是O的直径。EBF90。FMBG，MFBEBF90，M245，BFMF，AGBGAFBF
