1、第 2 章 连续时间系统的时域分析 2.5 冲激响应与阶跃响应冲激响应冲激响应h(t)： 系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号(t) 的激励下产生的的激励下产生的零状态响应零状态响应。阶跃响应阶跃响应g(t)： 系统在单位阶跃信号系统在单位阶跃信号u(t)的激励下产生的的激励下产生的零状态响应零状态响应。第 2 章 连续时间系统的时域分析 由于任意信号可以用冲激信号的组合表示，即由于任意信号可以用冲激信号的组合表示，即dtete)()()(2-11) 若把它作用到冲激响应为若把它作用到冲激响应为h(t)的线性时不变系统，则系的线性时不变系统，则系统的响应为统的响应为dteHteHtr)()()
2、()(dtHe)()(dthe)()(这就是卷积积分。这就是卷积积分。(2-12)不是不是t的函数的函数,线性系统线性系统系统零状态系统零状态响应的重要响应的重要求法求法第 2 章 连续时间系统的时域分析 由于由于h(t)是在零状态下定义的，因而式是在零状态下定义的，因而式(2-12)表示的响表示的响应是系统的零状态响应应是系统的零状态响应rzs(t)。 冲激信号冲激信号(t)与单位阶跃信号与单位阶跃信号u(t)间存在微分与积分关间存在微分与积分关系，因而对系，因而对LTI系统，系统， h(t)和和g(t)间也同样存在微分积分间也同样存在微分积分关系，即关系，即th()g(t)g(t)dtdh
3、(t)第 2 章 连续时间系统的时域分析 对于用线性常系数微分方程描述的系统，它的冲激响应对于用线性常系数微分方程描述的系统，它的冲激响应h(t)满足微分方程满足微分方程)()()()(11110thCthdtdCthdtdCthdtdCnnnnnn)()()()(1)1(1)(0tEtEtEtEmmmm及起始状态及起始状态) 1, 1 , 0(0)0()(nkhk(2-13)第 2 章 连续时间系统的时域分析 由于由于(t)及其各阶导数在及其各阶导数在t 0+时都等于零时都等于零，因而式因而式(2-13)右端在右端在t 0+的的自由项自由项恒等于零，恒等于零，这样冲激响应这样冲激响应h(t)
4、形式与齐形式与齐次解的形式相同。次解的形式相同。 当当nm时时，h(t)可以表示为可以表示为nktaktueAthk1)()()(2-14) 当当nm时时，则则h(t)的表达式还将含有的表达式还将含有(t)及其相应阶的及其相应阶的导数导数(m-n)(t), (m-n-1)(t) , (t)等项。等项。 其中常数其中常数Ak(k1,2,n)可以通过可以通过冲激函数匹配法冲激函数匹配法，求出相应的求出相应的h(k)(0+)值，从而求得值，从而求得Ak各值。各值。第 2 章 连续时间系统的时域分析 例例2-7 对图示电路，求电流对图示电路，求电流i(t)对激励对激励e(t)= (t)的冲激响应的冲激
5、响应h(t)。解解 可求得电路的微分方程表示可求得电路的微分方程表示+_e(t)1=4ve(t)2=2vR1=221C=1FL=0.25HSic(t)IL(t)i(t)(4)(6)()(10)(7)(2222tetedtdtedtdtitidtdtidtd系统冲激响应系统冲激响应h(t)满足此方程满足此方程)(4)(6)()(10)(7)(22tttththdtdthdtd (2-15)为为m=n的情况的情况第 2 章 连续时间系统的时域分析 它的齐次解形式它的齐次解形式)0()(5221teAeAthtt 利用冲激函数匹配法求利用冲激函数匹配法求h(0+)和和 ：由于方程右端由于方程右端自由
6、项的最高阶导数为自由项的最高阶导数为 ，所以，所以设设 )0(hdtd)(t )()()()()()()()()()()()(22tubtathtuctbtathdtdtudtctbtathdtd)00( t(2-17)(2-16)第 2 章 连续时间系统的时域分析 代入代入方程（方程（2-15），），比较比较(t)及各阶导数系数得及各阶导数系数得111cba4107671abcaba由（由（2-17）得）得1)0()0(1)0()0(hdtdchdtdhbh代入代入h(t),即（即（2-16）得）得313421AA第 2 章 连续时间系统的时域分析 考虑到考虑到a1，即，即h(t)中有一项中
7、有一项a(t) ，因而冲激响应为，因而冲激响应为)()3134()()(52tueetthtt第 2 章 连续时间系统的时域分析 )()()()(11110tgCtgdtdCtgdtdCtgdtdCnnnnnn系统的系统的阶跃响应阶跃响应g(t)满足方程满足方程)()()()(11110tuEtudtdEtudtdEtudtdEmmmmmm及起始状态及起始状态g(k)(0-)=0(k=0,1，n1)。 可以看出方程右端的自由项含有可以看出方程右端的自由项含有(t)及其各阶导数，同时及其各阶导数，同时还包含阶跃函数还包含阶跃函数u(t)，因而阶跃响应表示式中因而阶跃响应表示式中,除去含齐次解除去含齐次解形式之外，还应增加特解项。形式之外，还应增加特解项。第 2 章 连续时间系统的时域分析 例例2-8 对图示电路，求电流对图示电路，求电流i(t)对激励对激励e(t)= u(t)的阶跃响应的阶跃响应g(t)。+_e(t)1=4ve(t)2=2vR1=221C=1FL=0.25HSic(t)IL(t)i(t)解：解：g(t)可以通过对可以通过对h(t)积分得到。积分得到。ttdeedhtg02503431)()()(25)(321511510eettu)0(521513252tee)()5215132(52tuee
