1、第六节 连续函数的运算与 初等函数的连续性一、四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结第二章一、四则运算的连续性定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定义义域域内内连连续续故故xxxx二、反函数与复合函数的连续性定理定理例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续
2、在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xyarctan ,cot,).yx yarcx 在在( (上上单单调调且且连连续续 1:,( ),.yfa bRfIy yf xxa b 设设是是单单调调增增加加（或或单单调调减减少少）的的连连续续函函数数，则则其其反反函函数数在在对对应应区区间间上上单单调调增增加加（或或单单调调减减少少）且且连连续续(0,1)(,)log(0,1)(0,).xayaaayx aa 由由在在内内单单调调且且连连续续，则则在在内内单单调调且且连连续续 .)(,)()(,)()()()(0000处连续处连续也在也在则则处连续处连
3、续在对应的在对应的处连续处连续在在复合而成的函数，若复合而成的函数，若与与是由是由设设xxgfyxguufxxgxguufyxgfy 定理定理证明：证明：00lim( )(),xxg xg x 由由于于 0lim( )xxf g x 0( )yf g xx 即即在在处处连连续续. .0lim( )uuf u 0()f u 0()f g x ( ),ug x 令令00limxxuu 则则0lim( )xxfg x 上述定理表明上述定理表明 即在求连续函数的极限时，极限符号与函数符号即在求连续函数的极限时，极限符号与函数符号可以交换次序可以交换次序.例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求.
4、1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解 )(lim)()(lim000 xgfxgfxgfxxxx例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;),
5、0(内单调且连续内单调且连续在在定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua 内连续内连续在在), 0( 定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD定义域不是一个区间，而是离散点集（这些孤立定义域不是一个区间，而是离散点集（这些孤立
6、点的邻域内没有定义），从而谈不上连续点的邻域内没有定义），从而谈不上连续.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义，点的邻域内没有定义，.), 1 上连续上连续函数在区间函数在区间注意注意2. 由初等函数的连续性求极限由初等函数的连续性求极限: 代入法代入法.从而在定义域内是不连续的从而在定义域内是不连续的.例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 000lim( )()( ( )xxf
7、 xf xf xx 为为初初等等函函数数，定定义义区区间间四.闭区间上连续函数的性质定义定义: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得使得如果如果上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如, 2max y,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y(一一)最大值和最小值定理最大值和最小值定理定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo
8、)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .证证,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,m
9、axMmK 取取.)(Kxf 则有则有( ) , .f xa b故故函函数数在在上上有有界界(二)零点定理与介值定理定义定义: :.)(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy 几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则
10、则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf ( ).yf xyC连连续续曲曲线线弧弧与与水水平平直直线线至至少少有有一一个个交交点点推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .Mm例1. 证明方程证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即0142
11、3说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有则则例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即四、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的
12、和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.反函数的连续性反函数的连续性.解解21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上处处处处连连续续)(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上处处处处连连续续)(xfg0 x是它的可去间断点是它的可去间断点1,0( )0,01,0 xf xxx 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性.思考题思考题l
13、imx1. 求求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1 111lim 913xxxxx xxxxx 313311lim9990 e2.2.求极限求极限 xxxx193lim 解解: 原式 =一、一、 填空题：填空题：1 1、 43lim20 xxx_. .2 2、 xxx11lim0_. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _._.4 4、 xxx24tancos22lim _. .5 5、 tett1lim2_. . 6 6、设、设,0,0,)( xxaxexfx 当当 a_时，时，)(xf在在 ),( 上连续上连续 . .练练 习习 题题练习题答案练习题答案
