1、第五节 一般周期的函数的第七章傅里叶级数一、以一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开为周期的函数的傅里叶展开 二、二、任意有限区间任意有限区间上的函数的傅里叶展开上的函数的傅里叶展开1. 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(间断点x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2,1 ,0(n),2,1(n注意注意: 若0 x为间断点, 则级数收敛于00(0)(0)2f xf x2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 0 , 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 ,展开为正
2、弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数一、一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开周期为 2l 函数 f (x)周期为 2 函数 F(z)变量代换lxz将F(z) 作傅里叶展开 f (x) 的傅里叶展开式设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在 f (x) 的连续点处)naxlxnxflbllndsin)(1其中定理:l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n证明: 令令lxz, 则由,llx,z令( )F z ()lzf 则)2()2(zlfzF)2(lz lf)(z lf)(z
3、F所以)(zF且它满足收敛定理条件, 将它展成傅里叶级数:10sincos2)(nnnznbznaazF( 在 F(z) 的连续点处 )(xf可知是以 2 为周期的周期函数 , zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2, 1,0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在 f (x) 的 连续点处 )xlxnxflldcos)(说明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f (x) 的连续点处)lxnsinl2
4、0l如果 f (x) 为偶函数, 则展开为余弦级数(在 f (x) 的连续点处)2)(0axf),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中1nnalxncos(0)(0)2f xf x在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里里叶级数收敛于l20l如果 f (x) 为奇函数, 则展开为正弦级数 注注: 仅定义在仅定义在 上的函数只要作周期延拓即可展开成傅里上的函数只要作周期延拓即可展开成傅里叶级数叶级数., l l k2 xy2044 解解2,( )lf x 这这里里满满足足收收敛敛定定理理的的条条件件， 2002021021kdxdxak (0,1,2,)xnln当当处处不不连连续续，
5、其其它它点点都都连连续续， fx从从而而由由收收敛敛定定理理可可得得的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛，(0,1,2,)xnln且且当当时时级级数数收收敛敛于于( 20)(20)2ff (0,1,2,)( ),xnl nf x当当时时级级数数收收敛敛于于其其傅傅里里叶叶系系数数为为：022kk 201cos22nkxdx , 0 201sin22nkxdx )cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk当当当当)25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf), 4, 2, 0;( xx), 2 , 1( n1( )cosdlnlnxaf xxll
6、 1( )sindlnlnxbf xxll 例2. 把把展开成)20()(xxxf(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有2oyx),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin 22022cossin22nxnxxnn nncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在 x = 2 k 处级数收敛于何值?2oyx(2) 将将 作偶周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos 22022sincos22nxnxxnn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa
7、2kn2,0,) 12(822k),2, 1(k则有1222) 12(cos) 12(181kxkk)20( x12 kn二、二、当函数定义在当函数定义在任意有限区间任意有限区间上时上时,方法方法1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里叶级数)(zF周期延拓将2abxz)(xf在,ba代入展开式上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法其傅里叶展开方法:方法2, , )(baxxfzazfxfzF, )()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦级数)(zF奇或偶周期延拓将 代入展开式axz)(xf在,ba即axz上的
8、正弦或余弦级数 令,xza )(zFz55例3. 将函数将函数)155(10)(xxxf展成傅里里叶级数.解解: 令,10 xz设)55( )10()()(zzzfxfzF将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 理条件.由于F(z) 是奇函数, 故),2, 1,0(0nan 502sind55nnzbzz nn10) 1(),2,1(n则它满足收敛定5sin) 1(10)(1znnzFnn)55(z5sin) 1(10101xnnxnn)155( x为正弦 级数. 内容小结1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 间断点)其中na
9、xlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n当f (x)为奇 函数时,(偶)(余弦)2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓说明：将函数展开为傅里叶级数时最好先画出其图形以便于看出函数的奇偶性及间断点.习题) 11(2)(xxxf将期的傅里叶级数, 并由此求级数121nn解解:y1ox12)(xf为偶函数,0nb100d)2(2xxa5xxnxand)cos()2(2101) 1(222nn因 f (x) 偶延拓后在,),(上连续 x225 22141cos (21),(21)kkxk 展开成以2为周1 , 1x的和.故得 kn2,0224,(21)k ),2, 1(k12 kn , 0 x令得22154122(21)kk 故8) 12(1212kk121nn12) 12(1nn12)2(1nn12141nn121nn12) 12(134nn62
