1、6.3 6.3 齐次方程齐次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程定义定义,0)(时时当当 uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()( ,代入代入将将xyu ,)(xyCex 得通解得通解,0u 当当, 0)(00 uuf使使,0是新方程的解是新方程的解则则uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齐次方程的解得齐次方程的解例例 1
2、1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 方程的解为方程的解为解解2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 则则,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy ,11
3、22)121(21xdxduuuuu 例例 3 3 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例: : 车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解轴轴设设旋旋转转轴轴 ox如图如图),0 , 0(光源在光源在)(:xyyL xyoMTNRL为上任一点，为上任一点，设设),(yxM,yMT 斜斜率率为为为为切切线线,1,yMN 斜率为斜率为为法线为法线,NMROMN yNMRyxyxyyOMN1tan11tan, 022 yyxyy得微分方程得微分方程. 1)(2 yxyxy即即,tantanNMROMN 由夹由夹角正角正切公切公式得式得xyoMTNRL，令令xyu ,112uudxdu
4、xu 得得分离变量分离变量,1)1(22xdxuuudu ，令令221tu ,)1(xdxtttdt 积分得积分得,ln1lnxCt , 112 xCu即即平方化简得平方化简得,2222xCxCu 得得代回代回,xyu )2(22CxCy 抛物线抛物线轴轴的的旋旋转转抛抛物物面面方方程程为为所所求求旋旋转转轴轴为为 ox).2(222CxCzy 可化为齐次的方程可化为齐次的方程的微分方程的微分方程形如形如)(111cybxacbyaxfdxdy 为齐次方程为齐次方程. .,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）dYdydXdx ,否则为非齐次方
5、程否则为非齐次方程. .)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY 解法解法定义定义 , 0, 0111ckbhacbkah, 0)1(11 baba有唯一一组解有唯一一组解.)(11YbXabYaXfdXdY 得通解代回得通解代回 ，kyYhxX, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.,01时时当当 b.1中必至少有一个为零中必至少有一个为零与与ba,11 bbaa令令),)(1cbyaxcbyaxfdxdy 方程可化为方程可化为,byaxz 令令，则则dxdybadxdz ).()(11czczfadxdzb , 0 b若若可分离变量的微分方程可分
6、离变量的微分方程., 0, 01 ab若若),(1adxdzbdxdy )()(11cczfadxdzb 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.,01时时当当 b,byaxz 令令可分离变量可分离变量.314的通解的通解求求例例 yxyxdxdy解解, 021111 , 0301khkh方程组方程组, 2, 1 kh. 2, 1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu ,11uudXduXu 分离变量法得分离变量法得,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，将将2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cx
7、yxy .622122Cyxyxyx 或或方程变为方程变为利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解.)(52的通解的通解求求例例yxdxdy 解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21 udxdu,arctanCxu 解得解得得得代回代回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 小结小结齐次方程齐次方程).(xydxdy 齐次方程的解法齐次方程的解法.xyu 令令可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程.,kYyhXx 令令思考题思考题方程方程 )()()(2022xxydttyttyx 是否为齐次方程是否为齐次方
8、程?思考题解答思考题解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程原方程是是齐次方程齐次方程.一、一、 求下列齐次方程的通解求下列齐次方程的通解: : 1 1、0)(22 xydydxyx； 2 2、0)1(2)21( dyyxedxeyxyx. .二、二、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、1, 02)3(022 xyxydxdyxy； 2 2、,0)2()2(2222 dyxxyydxyxyx 11 xy . .三、化下列方程为齐次方程三、化下列方程为齐次方程, ,并求出通解并求出通解: : 1 1、31 yxyxy； 2 2、0)642()352( dyyxdxyx. .练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、)ln2(22cxxy ； 2 2、cyexyx 2. .二、二、1 1、322yxy ； 2 2、yxyx 22. .三、三、1 1、Cyxxy )2()1ln(2112arctan22； 2 2、Cxyxy 2)32)(34(. .
