1、第一节 初等变换与初等矩阵第二章二、二、 矩阵的标准形矩阵的标准形 三、三、 初等矩阵初等矩阵一、一、 矩阵的初等变换矩阵的初等变换四、四、 小结小结定义定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换: ）；）；记作记作两行两行对调两行（对调对调两行（对调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记作记作行乘行乘（第（第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 定义定义2 矩阵的矩阵的初等行变换初等行变
2、换与与初等列变换初等列变换统称为统称为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换1( )irk jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或等价关系的性质：等价关系的性质：1 AA（ ）反反身身性性2 ABBA（ ）对对称称性性若若，则则3 ABBCAC（ ）传传递递性性 若若，则则等价，记作等价，记作与与就称矩阵就称矩阵，矩阵矩阵经有限次初等变换变成经有限次初等变
3、换变成如果矩阵如果矩阵BABABA具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；10104011030001300000 （2）、每个台阶）、每个台阶 只有一行只有一行台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元阶梯形矩阵阶梯形矩阵m n A 对对于于任任何何非非零零矩矩阵阵总总可可以以只只用用有有限限次次初初等等行行变变换换化化成成阶阶梯梯形形矩矩阵阵. .2111
4、2112144622436979A 11214011100001300000 例如，例如， 阶梯形矩阵再经过初等列变换，可化成更简单的形式：阶梯形矩阵再经过初等列变换，可化成更简单的形式：11214011100001300000 10000010000010000000F.FA矩矩阵阵称称为为矩矩阵阵的的标标准准形形.F特特点点： 的的左左上上角角是是一一个个单单位位矩矩阵阵，其其余余元元素素全全为为零零标准形总可经过初等变换化为矩阵 Anmrm nEOIOO , ,.m n rr此此标标准准形形由由三三个个数数唯唯一一确确定定，其其中中就就是是阶阶梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行数数
5、由由此此可可知知：因因此此，nAI对对于于 阶阶可可逆逆方方阵阵 ，它它的的标标准准形形 也也可可逆逆，nInE故故 是是 阶阶单单位位矩矩阵阵；nnAIEA 反反之之若若 阶阶方方阵阵 的的标标准准形形，则则 可可逆逆. .nnAAE定定理理： 阶阶方方阵阵 可可逆逆的的充充要要条条件件是是 的的标标准准形形为为nAE即即.有相同的标准形与等价，则与若BABA阵的可逆性，显然初等变换不改变矩定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵. .E三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵: 矩阵的初等变换是矩阵的一
6、种基本运算，应矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛用广泛.三、初等矩阵 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以数以数乘某行或某列；乘某行或某列；以数以数对调两行或两列；对调两行或两列；kk. 30. 2. 1,()ijEi jrr对对调调中中第第两两行行，即即，得得初初等等矩矩阵阵对调两行或两列对调两行或两列、1 1101111011),(jiE行行第第 i行行第第 j，得，得左乘左乘阶初等矩阵阶初等矩阵用用nmijmaAjiEm )(),( mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第 i行行第第 j).
7、( jirrjiAA行对调行对调行与第行与第的第的第把把：施行第一种初等行变换施行第一种初等行变换相当于对矩阵相当于对矩阵，右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵以以类类似似地地，AjiEnn),( mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().( jiccjiAA列对调列对调列与第列与第的第的第把把：施行第一种初等列变换施行第一种初等列变换相当于对矩阵相当于对矩阵 02乘某行或某列乘某行或某列、以数、以数 k).()(0 kiEkriki矩阵矩阵，得初等，得初等行行乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第以数以数 1111)(kkiE行行第第 i；行行的第的第
8、乘乘相当于以数相当于以数)(kriAki mnmminiinmaaakakakaaaaAkiE212111211)(行行第第 i类类似似地地，左乘矩阵左乘矩阵以以AkiEm)( ).( )(kciAkAkiEin 列列的第的第乘乘相当于以数相当于以数，其结果，其结果矩阵矩阵右乘右乘以以上去上去列列加到另一行加到另一行列列乘某行乘某行、以数、以数)()(03 k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkrrijEk 1111)(kkijE行行第第i行行第第j，左左乘乘矩矩阵阵以以AkijEm)(111211122121
9、2( ( )nijijinjnmjjjnmmmnaaaakaakaakaEij kAaaaaaa ).(jikrrikjA 行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第把把( ( )(). njiEij kAAikjckc 类类似似地地，以以右右乘乘矩矩阵阵，其其结结果果相相当当于于把把的的第第 列列乘乘加加到到第第列列上上 定理：设定理：设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等
10、矩阵. .nm mnAAAAA初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵初等变换初等变换初等变换对应初等矩阵，初等变换对应初等矩阵，由初等变换可逆知，初等矩阵是可逆的，由初等变换可逆知，初等矩阵是可逆的，且此初等变换的逆变换也就对应此初等矩阵的逆矩阵且此初等变换的逆变换也就对应此初等矩阵的逆矩阵. ),(),(1；则则的的逆逆变变换换是是其其本本身身，变变换换jiEjiErrji );1()(11kiEkiEkrkrii 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换1()( ( )( () .ijijrkrrk rE ij kE ijk 变变换换的的逆逆变变换换为为，则则定理定理2 A2
11、A为可逆矩阵的充要条件是存在有限个初等为可逆矩阵的充要条件是存在有限个初等 矩阵矩阵1212,.llP PPAP PP 使使得得证证 , EA使使即存在有限个初等方阵即存在有限个初等方阵,21lPPPAPEPPPPlrr 121.PPPAl21 即即.,: BPAQQnPmBAnm 使使阶可逆方阵阶可逆方阵及及阶可逆方阵阶可逆方阵存在存在的充分必要条件是的充分必要条件是矩阵矩阵推论推论,EA故故经经有有限限次次初初等等变变换换可可变变为为必要性必要性充分性充分性 显然成立利用初等变换求逆矩阵的方法：利用初等变换求逆矩阵的方法：，有，有时，由时，由当当lPPPAA21 0 ,11111EAPPP
12、ll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111 1 AE EAPPPll11111 . )(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对. ,343122321 1 AA求求设设 解解例例 100343010122001321EA 111100253230102310011 AAXBXA B 可可逆逆利利用用初初等等行行变变换换求求逆逆矩矩阵阵的的方方法法，还还可可用用于于求求解解矩矩阵阵方方程程E)(BABA1 即即初等行变换初等行变换11 ()()AA BE A B 例例.34
13、1352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解1AXA B 由由可可逆逆，则则 343431312252321)(BA1232502519026212100320204600113100320102300113.313223 X311009152052321311006402041021.1 CAY即可得即可得(,)TTAC也也可可改改为为对对作作初初等等行行变变换换：,AYACC 若若要要求求则则可可对对矩矩阵阵作作初初等等列列变变换换：1A ,CECA ,)(,)TTTACEY（ .TTYY 即即可可求求得得 初初等等列列变变换换 初初等等行行变变换换11A
14、 CEACA TTTYACA YC由由作作转转置置运运算算得得,122220111A,00110001 .niji jnAA 已已知知阶阶方方阵阵求求中中所所有有元元素素的的代代数数余余子子式式之之和和解：解：例例3 3, 02 A.可逆可逆A.1* AAA且且 10001000010011000010111000012222EA 100010001100010001100010001210001,100011000110001211 A,21* AA njiijA1,故故. 1)1()1(21 2 nn11121n11110111AAA0011000122220111A00110001 1
15、解法二：解法二：n1n2nn22220111AAA001111110 ,11niji jAA 故故 中中所所有有元元素素的的代代数数余余子子式式之之和和21222n22221111AAA001100010 四、小结1. 1. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵. .一次初等变换一次初等变换2. 利用初等变换求逆矩阵的步骤是利用初等变换求逆矩阵的步骤是: ;1 EAEA或或构造矩阵构造矩阵 112,(,).A EAEAEAEAEEA 对对施施行行初初等等行行变变换换 将将 化化为为单单位位矩矩阵阵后后 右右边边 对对应应部部分分即即为为或或对对施施行行初初等等列列变变换换 将将 化化为为单单位位阵阵 后后对对应应部部分分即即为为
