1、第二节 n 维向量空间第三章二、向量空间的基与维数二、向量空间的基与维数一、向量空间的概念一、向量空间的概念三、向量的内积三、向量的内积四、正交向量组的概念及其求法四、正交向量组的概念及其求法五、小结五、小结说明说明,.VRV则则2 维实向量的全体构成的集合是一个向量维实向量的全体构成的集合是一个向量空间空间,记作记作 .nnR,;VV 则则一、向量空间的概念定义定义1 1设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 对于加法及对于加法及数数乘两种运算封闭，那么就称乘两种运算封闭，那么就称集合集合 为向量空间为向量空间nVVVV1集合集合 对于加法及数乘两
2、种运算封闭指对于加法及数乘两种运算封闭指V., 3 3是一个向量空间是一个向量空间维向量的全体维向量的全体R例1例1例例2 2 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间. RxxxxxVnTn , 0221解解.V 是向量空间是向量空间1的任意两个元素的任意两个元素因为对于因为对于1V TnTnbbaa, 0, 022 ,V1 2210,TnnababV ., 012VaaTn 例例3 3 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间. RxxxxxVnTn , 1222解解 .2 ,2 , 2222VaaTn 则则.V 不是向量空间不是向量空间2 , 122VaaTn 因
3、为若因为若维向量，集合维向量，集合为两个已知的为两个已知的设设nba, 例4例4 RbaxV ,试判断集合是否为向量空间试判断集合是否为向量空间.baxV111. 因为若因为若是一个向量空间是一个向量空间解解，bax222 则有则有,)()(212121Vbaxx .)()(111Vbkakkx ., 间间所生成的向量空所生成的向量空量量这个向量空间称为由向这个向量空间称为由向ba RaaaxVmmm ,212211间间所生成的向量空所生成的向量空由向量组由向量组maaa, 21一般地，一般地，记为记为 ., , , 212122112212211111VVRbbbxVRaaaxVbbaass
4、smmmsm 试证：试证：记记等价，等价，与向量组与向量组设向量组设向量组 例5例5., 11线性表示线性表示可由可由，则，则设设maaxVx 证证,:12VxVx 则则若若类似地可证类似地可证.211221VVVVVV ，所以，所以，因为因为线性表示，线性表示，可由可由线性表示，故线性表示，故可由可由因因ssmbbxbbaa,111.2Vx 所以所以，则，则这就是说，若这就是说，若21VxVx .21VV 因此因此.12VV 因此因此定义定义2 2 设有向量空间设有向量空间 及及 ，若向量空间，若向量空间，就说就说 是是 的子空间的子空间21VV 1V2V1V2V例例1nVR 显显然然1.n
5、VR所所以以是是的的子子空空间间 RxxxxxVnTn , 0221;,)1(21线线性性无无关关r .,2)(21线性表示线性表示中任一向量都可由中任一向量都可由rV 那末，向量组那末，向量组 就称为空间的一个就称为空间的一个r, 21V基，基， 称为向量空间称为向量空间 的维数，并称的维数，并称 为为 维向量维向量空间空间VrVr二、向量空间的基与维数定义定义3 3 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足r,21 VVr , R,xVrrr 12211 （2）只含有零向量的向量空间称为）只含有零向量的向量空间称为0维向量维向量空间，因此它没有基空间，因此它没
6、有基说明说明 （3）若向量组）若向量组 是向量空间是向量空间 的一的一个基，则个基，则 可表示为可表示为r, 21VV （1）若把向量空间）若把向量空间 看作向量组，那末看作向量组，那末 的基的基就是向量组的最大无关组就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的的维数就是向量组的秩秩.VVV12,nnnR 设设是是 维维向向量量空空间间的的一一个个基基，则则 121212,nnnxxxxxx ， ， ，这这组组有有序序数数称称为为 在在这这个个基基下下的的坐坐标标, ,并并记记为为， ， ，12,nnRxxx 总总有有且且仅仅有有一一组组数数 ， ， ，使使定义定义41122nnxxx,221
7、212122),(321 aaaA,243041),(21 bbB.,213321线性表示线性表示用这个基用这个基的一个基，并把的一个基，并把是是验证验证bbRaaa设矩阵设矩阵 例6例6 ., 3213321EAaaaRaaa线性无关，即只要证线性无关，即只要证的一个基，只要证的一个基，只要证是是要证要证解解，设设33222211223312211111,axaxaxbaxaxaxb ,),(),(32312221121132121 xxxxxxaaabb即即.AXB 记作记作.,)( 13321BAXBEARaaaEABA 变为变为时，时，变为变为的一个基，且当的一个基，且当为为则则，能变
8、为能变为施行初等行变换，若施行初等行变换，若对矩阵对矩阵 242213021241122)(BA111132120312242 111130302303355 111132010135501133 2410033201013200113 的一个基，且的一个基，且为为，故，故因有因有3321,RaaaEA .3211323432),(,32121 aaabb24100332( )01013200113AB 初初等等行行变变换换定义定义1 1维向量维向量设有设有n,2121 nnyyyyxxxx 1122,nnx yx yx yx y令令 ,x yxy称称为为向向量量与与的的内内积积. .三、向量
9、的内积说明说明 ,: ,.Tx yx yyx 内内积积是是向向量量的的一一种种运运算算 如如果果都都是是列列向向量量内内积积可可用用矩矩阵阵记记号号表表示示为为内积的运算性质内积的运算性质 :,为实数为实数维向量维向量为为其中其中 nzyx (1),;x yy x (2),;x yx y (3),;xy zx zy z (4),0,0,0.x xxx x且且当当时时有有定义定义2 2 非负性非负性. 1齐次性齐次性. 2三角不等式三角不等式. 3 22212,nxx xxxx 令令 . 或或的的维维向向量量为为称称xnx长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：; 0,0
10、; 0,0 xxxx时时当当时时当当;xx .yxyx ,nR 设设 ，则则定理定理 称为柯西称为柯西- -施瓦茨不等式施瓦茨不等式. . 维向量间的夹角维向量间的夹角单位向量及单位向量及n .1 , 5 , 1 , 33 , 2 , 2 , 1的夹角的夹角与与求向量求向量 例例解解 ,cos 2262318 .4 .,11 为为称称时时当当xx 单位向量单位向量 ,20,0,arccosx yxyxy 当当时时. 的的与与维向量维向量称为称为yxn夹角夹角 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念 ,0, .x yxy 当当时时 称称向向量量 与与正交正交., 0,与任何向量都
11、正交与任何向量都正交则则若若由定义知由定义知 xx 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组量组为正交向量组四、正交向量组的概念及求法, 0021111 T由由.01 从而有从而有. 02 r 同理可得同理可得.,21线性无关线性无关故故r 使使设有设有r ,21证明证明11220rr 1,T 以以左左乘乘上上式式两两端端 得得0111 T 正交向量组的性质正交向量组的性质1212 .rrn 定定理理维维两两两两组组 则则线线性性无无关关若若向向量量, , 是, , 是一一正正交交的的非非零零向向量量, , ,例例1 1 已知三维向量空间
12、中两个向量已知三维向量空间中两个向量 121,11121 正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基.3 321 , 向量空间的正交基向量空间的正交基., 212121的正交基的正交基向量空间向量空间是是则称则称组组是两两正交的非零向量是两两正交的非零向量且且的一个基的一个基是向量空间是向量空间若若VVrrr 即即 1312323123,0,20 xxxxxx 解之得解之得. 0,231 xxx则则有有若若令令, 13 x 1013213xxx 由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.321 ,则有则有 1323,0 解解 ., 0
13、, 213213正正交交且且分分别别与与设设 Txxx 标准正交基标准正交基 1212123 , (), rnrrne eeV VRe eee eeV 定定义义设设 维维向向量量是是向向量量空空间间的的一一个个基基 如如果果两两两两正正交交且且都都是是单单位位向向量量 则则称称是是的的一一个个标标准准正正交交基基（或或规规范范正正交交基基）. .212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如.212100,212100,002121,0021214321 eeee ,0,1,2,3,4.,1,1,2,3,4.ijije eiji je eiji j 且且由由于
14、于且且41234,.e eeeR所所以以为为的的一一个个标标准准正正交交基基.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知4.R也也为为的的一一个个标标准准正正交交基基（1）正交化正交化:11 取取 2122111,12,rV 若若为为向向量量空空间间 的的一一个个基基 求标准正交基的方法求标准正交基的方法 1212121212 ,.rrrrrVVe eee ee 设设是是向向量量空空间间 的的一一个个基基 要要求求的的一一个个标标准准正正交交基基 就就是是要要找找一一组组两两两两正正交交的的单单位位向向量量使使与与等等价价 这这样样一一个个问问题题 称称为为把把这这个个基
15、基标标准准正正交交化化 或或规规范范正正交交化化 121121112211,rrrrrrrrr 111,.rrr 那那么么两两两两正正交交 且且与与等等价价（2）单位化单位化，取，取121212,rrreee12,.re eeV那那么么为为 的的一一个个标标准准正正交交基基 313233121122,例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组123(1,1,1,1),(1, 1,0,4),(3,5,1, 1)标准正交化标准正交化.解解 先先正交化正交化， 111,1,1,1 2122111, 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2
16、, 0 取取11 , .rr 上上述述由由线线性性无无关关向向量量组组构构造造出出正正交交向向量量组组的的过过程程 称称为为施密特正交化过程施密特正交化过程 313233121122, 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再再单位化单位化， 22212130, 2, 1,30,14141414e 33311121,1, 2,0,06666e 得标准正交向量组如下得标准正交向量组如下 11111 1 1 11,1,1,1,22 2 2 2e 例例.,111 321321两两正交两两正交使使求一组非零向量求一组非零向量已知
17、已知aaaaaa 解解. 0, 0,321132 xxxxaaaT 即即应满足方程应满足方程1210 0,1.11取取其其线线性性无无关关的的两两个个解解为为再将它们正交化，再将它们正交化，,12 a 2132111,.,a 1211,1,2, 其其中中于于是是得得,1012 a.12121101211103 a向量空间的概念：向量空间的概念：向量的集合向量的集合对加法及数乘两种运算封闭对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间由向量组生成的向量空间子空间的概念子空间的概念向量空间的基和维数：向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法求向量空间基和维数的方法五、小结4 4将一组基标准正
18、交化的方法：将一组基标准正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化再将其单位化 1. ,:( , ) :( , )( , )(,), :( , )(lg ,),?TkVxa ba bRa bc dac bdka bakRbV 设设定定义义加加法法与与数数乘乘运运算算如如下下加加法法数数乘乘是是不不是是向向量量空空间间 为为什什么么思考题. 不是向量空间不是向量空间V解解., 还是正实数还是正实数积积因为两个正实数的和与因为两个正实数的和与对加法封闭对加法封闭显然显然 V. 对乘法不封闭对乘法不封闭但但V.), 0(), 1(lg), 1( ,), 1(VbbbkkbVkk 对任意实数对任意实数中的元素中的元素比如比如2. 求一单位向量，使它与求一单位向量，使它与 ,1 , 1, 1 , 11 ,1 , 1, 1, 12 3 , 1 , 1 , 23 正交正交:),( 则由题意可得则由题意可得设所求向量为设所求向量为dcbax 解解 . 032, 0, 0, 1 2222dcbadcbadcbadcba)263,261, 0 ,1322(: x解之可得解之可得).263,261, 0 ,1322( x或或
