1、23:211MEASUREMENTINFORMATION SIGNAL ANALYSIS IN MECHANICAL ENGINEERING 机械工程测试机械工程测试信息信息信号分析信号分析 机械科学与工程学院机械科学与工程学院 机械电子信息工程系机械电子信息工程系李锡文李锡文 轩建平轩建平 23:212课件资料下载：课件资料下载：邮箱地址：邮箱地址： “机械工程测试机械工程测试”每个字拼音的第一个字母每个字拼音的第一个字母 密码：密码：111111注意下载时不要删除原始文件注意下载时不要删除原始文件 23:213第六章第六章 数字信号分析数字信号分析(I)DFT与与FFT23:2146-5
2、现代谱分析方法现代谱分析方法-最大熵谱估计最大熵谱估计6-3 FFT6-4 谱分析与谱估计谱分析与谱估计6-2 6-2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换DFTDFT第六章 主要内容6-1 模拟信号离散化模拟信号离散化p时域采样定理时域采样定理p频域采样定理频域采样定理p周期序列的离散傅立叶级数周期序列的离散傅立叶级数23:2156-2 、离散时间非周期信号频域分析q 时域采样信号是以采样频率为周期的周期连续频谱时域采样信号是以采样频率为周期的周期连续频谱按按FT的时延性质可写为：的时延性质可写为：或或上式即为上式即为DTFT，它是以，它是以 s(或或 s)为周期的周期函数，即为周期的周期函数，即由
3、于离散时间非周期信号可以看作是离散时间周期信号，当周由于离散时间非周期信号可以看作是离散时间周期信号，当周期期N的极限情况，故的极限情况，故DTFTDTFT的定义式同样也可从离散时间傅的定义式同样也可从离散时间傅里叶级数，当里叶级数，当周期周期N时来求得：时来求得：23:2166-2 、离散时间非周期信号频域分析当当N，各谐波分量的复振幅，各谐波分量的复振幅X(k 0)趋于无限小，因此如同趋于无限小，因此如同CTFT，可采用频谱密度来描述频谱的分布规律。离散时间非周，可采用频谱密度来描述频谱的分布规律。离散时间非周期信号的频谱密度函数，即离散傅里叶变换期信号的频谱密度函数，即离散傅里叶变换DT
4、FTDTFT的定义式为：的定义式为：当当N， 0=(2 /N)d ，k 0 = T，上式可写为：，上式可写为：23:2176-2 、离散时间非周期信号频域分析X(ej )表示一个离散时间信号，即非周期序列的频谱密表示一个离散时间信号，即非周期序列的频谱密度函数。当度函数。当x(n)为有限长度为有限长度N的序列，则有的序列，则有DFT：IDTFTDTFT23:218DFT图解分析1、时域采样、时域采样采样间隔采样间隔Tssssx ( )( ). ( )( )( -nT )() ( -nT )nsntx t p tx ttx nTts( )( )( )()ssnXfX fP ffX fnf频谱周期
5、间隔为频谱周期间隔为fs，谱的幅值，谱的幅值是是X(f)谱的谱的fs倍。倍。 Ts减小，减小， fs增大。增大。23:219DFT图解分析2、时域截断、时域截断s10 x ( ) ( )() ()() ()ssnNssnt u tx nTtnTx nTtnTsFx ( ) ( )( )( )st u tXfU f采样点数为采样点数为N时域截断时域截断时域截断时域截断出现皱波，出现皱波，Gibbs现象产生的能量泄漏现象产生的能量泄漏23:2110DFT图解分析3、频域采样、频域采样100( )()rtTtrT1( )( )( )( )sX fX fU ff10( ) ( )( ) 01NnkNn
6、X kDFT x nx n WkN10( )( )1( ) 01NnkNkx nIDFT X kX k WnNN频域采样频域采样频域采样频域采样23:2111在一个周期内，可进行如下变换：在一个周期内，可进行如下变换：DFT简单推演/ 2/ 200()()1()():0 1:2,0 1:ssjTjnTnjTjnTsXex nT ex nTXeednNkkF kNdd 从23:21120000101000022102210()()()()222()()1()()NjkTjn kTnNjkTjn kTkspsNjkjn kNNnNjkjn kNNkXexn Texn TXeeTTTNXexn Te
7、xn TXeeN又因 此 ：DFT的简单推演23:2113)()(2kNjeXnTx视作n的函数，视作k的函数，)()()()(2kXeXnxnTxkNj这样,DFT的简单推演22221010( )( )1( )( )NjnknNjnkkX kx n ex nX k eNDFT正变换正变换DFT反变换反变换23:2114()( )j tX jx t edt 1( )2j tx tXjed()( )()j tj nTnX jx t edtx nT eT ntnTdtTdtT1）将x(t)在t轴上等间隔(T)分段2）将x(n)截短成有限长序列t=0T0，N个时域采样N-10()()j nTnX j
8、Tx nT e 对连续时间非周期信号DFT逼近10102222)(1)()()(NnnkjNnnkjekXNnxenxkX23:21150k 210( )NjnkNnTx n e3）频域采样：一个周期分N段，采样间隔F0，时域周期延拓，周期为T0=1/F0，=2F00N-100()()jknTnX jkTx nT e002/2 /sTFfN ( )T DFT x n01()()2sj nTx nTX jed010001()2NjknTkX jke0100Nkdd 21000()NjnkNkFX jke21001()NjnkNskfX jkeN1NN01/()T IDFT X jk频域采样23:
9、2116对连续时间非周期信号的DFT逼近过程1）时域采样2）时域截断3）频域采样0() ( )XjkTDFT x n01( )()x nIDFT XjkT近似逼近：对连续时间非周期信号DFT逼近过程23:2117对连续时间周期信号的对连续时间周期信号的DFS逼近逼近000001()( )TjktX jkx t edtT00( )jktkx tXjke010001()()NjknTnX jkx nT eTT0100 NTntnTdtTdtT1）时域抽样：将x(t)在t轴上等间隔(T)分段1 ( )DFS x nN02 /TN0TNT2101( )NjnkNnx n eN对连续时间周期信号的DFS
10、逼近23:21182）频域截断：长度正好等于一个周期0100()()NjknTkx nTX jke2100()NjnkNkX jke21001()NjnkNkNX jkeN0()N IDFS X jk01() ( )XjkDFS x nN0( )()x nNIDFS Xjk近似逼近：对连续时间周期信号的DFS逼近23:2119频率响应的混叠失真及参数的选择00sTfNTF2shff时域抽样：001/FT频域抽样：F0-频率分辨率频率分辨率，T0信号记录长度，信号记录长度，T为采样为采样间隔间隔23:2120 同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样
11、点数样点数N。00sTfNTFhsff要增加信号最高频率，则0NF当 给定：必，即分辨率0001FTF要提高频率分辨率，即则shNTff当 给定 则要不产生混叠， 必信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾23:2121频率分辨率提高频率分辨率方法：提高频率分辨率方法： 增加信号实际记录长度增加信号实际记录长度 补零并不能提高频率分辨率补零并不能提高频率分辨率001/FT23:21220/2htT0112hhfTt信号最高频率信号最高频率fh的确定的确定23:2123三、离散傅里叶变换的性质DFT正变换和反变换：正变换和反变换：10
12、( ) ( )( )NnkNnX kDFT x nx n W101( )( )( )NnkNkx nIDFT X kX k WN20,1,2,10,1,2,1jNNWekNnN其中： 23:2124DFT的性质-线性, a b为任意常数这里，序列长度及这里，序列长度及DFT点数均为点数均为N若不等，分别为若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度，则需补零使两序列长度相等，均为相等，均为N，且，且12max,NN N11( ) ( )X kDFT x n22( )( )XkDFT x n若若1212( )( )( )( )DFT ax nbx naX kbXk则则1、线性、线性23:212
13、5DFT的性质-时移特性2、时移特性、时移特性 在时域移位在时域移位m，在频域出现相移因子，在频域出现相移因子Wmk 若将信号若将信号x(t)沿时间轴位移沿时间轴位移t0，则其，则其FT要乘以因子要乘以因子 e-j2 ft0020 ()( )jftF x ttX f e2/ ()( )( )jkm NmkDFT x nmX k eX k W23:21263、频移特性、频移特性 时间函数x(n)乘以指数项 e j2 ln/N，则DFT就向右圆移l单位DFT的性质-频移特性020 ( )( ), ( )()jf tF x tX fF x t eX ffFT： 2/ ( )( ), ( )() (
14、)()jln NlnDFT x nX kDFT x n eX klDFT x n WX klDFT： 23:2127(1)线卷积线卷积 x1(n)的长度为N1 (0 n N1-1) x2(n)的长度为N2 (0 n N2-1) x1(n) 、x2(n)的线卷积为mNmlmnxmxmnxmxny1021211)()()()()(4、离散卷积、离散卷积( )( )( )() ()my nx nh nx m h nm 23:2128 的非零区间为 的非零区间为 两不等式相加得 也就是也就是 不为零的区间不为零的区间.)(1mx101Nm)(2mx102Nmn2021NNn)(nyl)(1nx1012
15、n)(2nx1012n3例例1：4、离散卷积、离散卷积-线卷积线卷积运算步骤：运算步骤：反折、移位、反折、移位、相乘、取和相乘、取和23:2129m)1 (2mx21111) 1 (lym)2(2mx3111111)2(lym)(2mx -1-2-3111)0(ly)(1mx1012m4、离散卷积、离散卷积-时域线卷积-举例23:2130m)3(2mx3111111)3(lyn)(nyl2101)5(, 2)4(llyy同样314523321)(1mx1012m4、离散卷积、离散卷积-时域线卷积-举例23:21314、时域线卷积-举例2时域线卷积例时域线卷积例2：23:2132时域圆卷积定理(
16、2) 时域圆卷积定理时域圆卷积定理 设设 x1(n)和和 x2(n)均为长度为均为长度为N的有限长序列，且的有限长序列，且11( )( )DFTxnXk，)()(22kXnxDFT12( )( )( )Y kXkXk如 果， 则 ： 112120( )( )()( )( )NNNmy nIDFT Y kxm xnmRnxnxn121210()( )( )( )NNNmxm xnmRnxnx n23:2133(2) 时域圆卷积过程步骤：反折、移位、相乘、取和步骤：反折、移位、相乘、取和Y(0)Y(1)Y(2)Y(3)线卷积与圆卷积结果线卷积与圆卷积结果不一致，需补零不一致，需补零补零扩展条件补零
17、扩展条件L N1+N2-1选取的选取的L不够大，使不够大，使卷积首尾交叠混淆卷积首尾交叠混淆时域圆卷积过程23:2134补零时域圆卷积23:2135离散时域卷积定理q两个周期为两个周期为N的时域周期采样函数，它们的卷的时域周期采样函数，它们的卷积的离散积的离散FT等于它们的离散等于它们的离散FT的乘积的乘积q对有限长序列求线卷积的问题，可转化为圆对有限长序列求线卷积的问题，可转化为圆卷积求解，为卷积求解，为FFT计算时域卷积提供依据计算时域卷积提供依据10() ()( )( )( )( )( )( )NmDFTx m h nmX k H kDFTx nh nX k H k23:2136离散频域
18、卷积定理q两个周期为两个周期为N的时域周期采样函数，它们的乘的时域周期采样函数，它们的乘积的离散积的离散FT等于它们的离散等于它们的离散FT的卷积的卷积101( ) ( )() ()NmDFTx n h nx m h kmN( ) ( )( ) *( )DFTx n h nX kH k23:2137 DFT计算连续时间信号误差1、用、用DFT计算连续时间信号的计算连续时间信号的FT可能造成的误差可能造成的误差 (1) 混叠现象混叠现象 为避免混叠，由采样定理可知，须满足为避免混叠，由采样定理可知，须满足fS 2fh 其中，其中， fS为采样频率为采样频率; fh为信号的最高频率分量；为信号的最
19、高频率分量； 或者或者 其中，其中，T为采样间隔。为采样间隔。hsffT21123:2138例 有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。 假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条件为（1）频 率分辨率为10Hz ，（2） 信号的最高频率4KHz，试确定 以下参量：（1）最小记录长度 Tp；(2) 抽样点间的最大时间 间隔T; (3) 在一个记录中的最小点数N。解：解：（a） 最小记录长度最小记录长度sFTP1 . 01011sTP1 . 0，（b）最大的抽样时间间隔）最大的抽样时间间隔TsffThs3310125. 01042/ 1/ 1/ 1msT125. 0(c) 最小
20、记录点数最小记录点数N1024280010/1042/2103NFfNh取举例23:2139(2) 频谱泄漏频谱泄漏 在实际应用中，通常将所观测的信号限在实际应用中，通常将所观测的信号限制在一定的时间间隔内，也就是说，在制在一定的时间间隔内，也就是说，在时时域域对信号进行对信号进行截断截断操作，或称作操作，或称作加时间窗加时间窗，亦即用时间窗函数乘以信号，由卷积定理亦即用时间窗函数乘以信号，由卷积定理可知，时域相乘，频域为卷积，这就造成可知，时域相乘，频域为卷积，这就造成拖尾现象，称之为频谱泄漏。拖尾现象，称之为频谱泄漏。23:2140频谱泄漏改善方法：改善方法：对时域截短，使频谱变宽拖尾，称
21、为泄漏对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏1）增加）增加x(n)长度长度2）缓慢截短）缓慢截短(加窗加窗)23:2141栅栏效应(3) 栅栏效应栅栏效应 用用DFT计算频谱时，能计算频率计算频谱时，能计算频率F=1/Tp的整数倍的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的频谱无法确定，这相当处的频谱。在两个谱线之间的频谱无法确定，这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。 解决方法：解决方法：增加频域采样点数增加频域采样点数N（时域补零），使（时域补零），使谱线更密。补零即加大周期谱线更密。补零即加大周期Tp，可使，可使F变小来提高分变小来提高分辨力，以减
22、少栅栏效应。辨力，以减少栅栏效应。pT23:2142DFT与FT的关系qDFT与与FT之间是一个近似，存在差异。之间是一个近似，存在差异。qDFT需要采样与截断。需要采样与截断。1、频域有限的周期信号，时域截断长度等于周期时、频域有限的周期信号，时域截断长度等于周期时 当截断长度等于其周期时，当截断长度等于其周期时，DFT与与FT之间的差别仅仅是一之间的差别仅仅是一个比例因子个比例因子TS DFT与与FT等价条件：等价条件： (1)时间函数时间函数x(t)是周期性的；是周期性的； (2) x(t)是频域有限信号；是频域有限信号；(3)采样频率至少是采样频率至少是x(t)的上限频率的的上限频率的
23、2倍；倍；(4)截断函数截断函数u(t)必须正好在必须正好在x(t)的一个周期内是非零的的一个周期内是非零的23:2143频域有限的周期信号其时域截断长度等于周期频域有限的周期信号其时域截断长度等于周期截断截断时域时域频域频域频域卷积定理频域卷积定理函数卷积特性函数卷积特性频域卷积定理频域卷积定理函数卷积特性函数卷积特性时域卷积定理时域卷积定理函数乘积特性函数乘积特性函数卷积特性函数卷积特性23:2144频域有限的周期信号其时域截断长度等于周期频域有限的周期信号其时域截断长度等于周期时域时域频域频域P46 图图2-39 脉冲序列与矩形脉冲的卷积脉冲序列与矩形脉冲的卷积23:2145频域有限的周
24、期信号其时域截断长度等于周期频域有限的周期信号其时域截断长度等于周期时域时域频域频域幅值变化幅值变化001001S ( )( )2 ( )( ) ( )*( )( )*( )*( ) ( )2FTAA x tX fATx tt u ttATX ffU ffT 采样、截断、卷积卷积、频域采样23:2146频域有限周期信号其时域截断长度不等于周期截断截断时域时域频域频域频域卷积定理频域卷积定理函数卷积特性函数卷积特性频域卷积定理频域卷积定理函数卷积特性函数卷积特性时域卷积定理时域卷积定理函数乘积特性函数乘积特性函数卷积特性函数卷积特性DFT与与FT出现差异出现差异T0 T0零频率处出现波形，零频率
25、处出现波形，1/T0, 2/T0,处不为零处不为零频率间隔频率间隔T0过零点是过零点是 1/T0, 2/T0产生具有间断点的周期函数产生具有间断点的周期函数，时域截断等效于一个，时域截断等效于一个Sa函函数与单个脉冲的卷积是个频数与单个脉冲的卷积是个频率的连续函数。率的连续函数。泄漏效应泄漏效应23:21473、时域有限而频域无限信号存在频混现象。存在频混现象。TS要求足够小，可减少频要求足够小，可减少频混误差混误差23:21484、一般周期信号、一般周期信号5、任意信号、任意信号23:21496-2 、用DFT对模拟信号作频谱分析q信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换信号的频谱分析：计算信号
26、的傅里叶变换xa(t)抽样抽样t=nTsx (n)截短截短FTXa(j )周期延拓周期延拓 s=2 /Tsx (n)d(n)周期延拓周期延拓xN (n) 周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期xN (n)Xa(ej )卷积卷积Xa(ej )*D(ej )DTFTDTFTDFS抽样抽样 0= /NXN (k) 周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期XN (k)DFT利用利用DFTDFT对连续时间信号的逼近对连续时间信号的逼近23:2150作业：FFT算法q简述库利简述库利-图基图基FFT算法的基本原理并以算法的基本原理并以采样序列采样序列x(n), n=0,1,15为实例具体说为实例具体说明计算流程图。明计算流程图。
