1、 概述概述：线性空间线性空间Vn(F)中，向量集合中，向量集合V的的子集子集合合可以有集合的运算和关系：可以有集合的运算和关系： W1 ，W2 V: W1 W2， W1 W2，问题问题：这些关系或运算的结果是否仍然为线这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间性空间 ？空间的分解（子空间表示）？空间的分解（子空间表示）？x2x1oR2W2W1W4W3R2 = W3+W4x2x1oW4W3(x1, x2)(0, x2)(x1, 0)定义定义1.5：设集合设集合W Vn(F)，W ，如果如果W中的元素关于中的元素关于Vn(F)中的线性运算也构成中的线性运算也构成线性空间，则称线性空间，则称W是是Vn(
2、F)的一个子空间的一个子空间。 任何线性空间任何线性空间Vn(F)，均有两个平凡子空间：均有两个平凡子空间： Vn(F) 和和 0(零元素空间零元素空间, 规定维数为规定维数为0)判别方法：判别方法：定理定理1.5W是子空间是子空间 W对对Vn(F)的的线性运算封闭线性运算封闭。子空间本身就是线性空间。子空间本身就是线性空间。子空间的判别方法可以作为判别某些线性空间的方法。子空间的判别方法可以作为判别某些线性空间的方法。 A R n中集合：如中集合：如前例前例（图示）中的集（图示）中的集合及一般化合及一般化 A F nn中集合中集合 W1 = A Fnn AT =A ， W2 = A Fnn
3、AT= A ， W3 = A Fnn |A| = 1 。 例例 14 R n ，R mn的集合是否为子空间？的集合是否为子空间？几个重要的子空间（例几个重要的子空间（例15，16）：）： 设向量组设向量组 1， 2， m Vn(F)，由由它们的所有线性组合它们的所有线性组合生成生成的的子空间子空间： L 1， 2， m = m1iiiiFkk矩阵矩阵A F mn，两个子空间：两个子空间： A的的零空间零空间：N(A) = X Fn ：AX=0 F n， A的的列空间列空间(值空间值空间)： R(A) = L A1，A2，An F m， Ai为为A的第的第i列。列。 R(A) =y ： x F
4、n, y = Ax、 讨论：讨论：设设W 1 Vn(F)，W2 Vn(F)，且都是子空间，则且都是子空间，则W1 W2和和W1 W2是否仍然是子空间？是否仍然是子空间？1.（1）交空间）交空间 交集：交集： W1 W2= W1 而且而且 W 2 Vn(F)定理定理1.6 (1) W1 W2是子空间，被称为是子空间，被称为“交空间交空间” （2）和空间）和空间集合的和集：集合的和集： W1W2= =X1X2 X1 W1，X2 W2，W1 W2 W1W2定理定理1.6 (2) W1W2是子空间，被称为是子空间，被称为“和空间和空间”。W1 W2一般不是子空间，一般不是子空间，W1 W2 W1W2
5、例例17 设设R3中的子空间中的子空间W1=Le1，W2=Le2 求和空间求和空间W1W2。 比较：集合比较：集合W1 W2和集合和集合W1W2。 如果如果 W1 = L 1， 2， m ， W2 = L 1， 2， k ， 则则 W1W2 = L 1， 2， m， 1， 2， k 子空间的包含关系子空间的包含关系： )F(VWWWWWWn212121dimW1 W2 dim Wi dimW1W2 dimVn(F)。 定理定理1.7（维数定理维数定理） dimW1dimW2 = dim(W1W2) dim(W1 W2)证明思路证明思路：基扩充方法（从：基扩充方法（从W1 W2的基出发）的基出发
6、） 分析分析 由维数公式知，由维数公式知，如果如果 dim（W1 W2） 0，则则 dim（W1W2） dimW1dimW2 所以所以, dim（W1W2）= dimW1dimW2 dim（W1 W2）= 0 W1 W2 = 0直和的定义直和的定义： 定义定义1.6 设设W = W1W2 , 若若dim（W1 W2）= 0 ，则则称此和为称此和为直和，直和，称称W为为W1和和W2的的直和子空间，直和子空间，记记为为 W = W1 W2。子空间的子空间的“和和”为为“直和直和”的充要条件的充要条件 定理1.8 设设W=W1W2，则下列各条等价：则下列各条等价：（1） W=W1 W2（2） X W
7、，X=X1X2的表示是的表示是惟一惟一的的（3） W中零向量的表示是中零向量的表示是惟一惟一的的（4） dim W = dimW1dimW2证明：循环证法证明：循环证法 (1)(2) (3) (4) (1)例例1 P12 例例18例例2 设在设在Rnn中，子空间中，子空间 W1= A AT =A ，W2= B BT= B ， 证明证明 Rnn = W1 W2。 例例3 子空间子空间W的的“直和补子空间直和补子空间”U: Vn = W U 主题：主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性空间定义内积的概念，借助于内积建立线性空间 的度量关系。的度量关系。 一、欧氏空间和酉空间欧氏空间和酉空间1 几
8、何空间中度量的定义基础几何空间中度量的定义基础2 内积的定义内积的定义定义定义1.7 (P13) ：要点：要点 内积内积( ， )是是二元运算二元运算：Vn(F) Vn(F) F ( ， )的的公理性质公理性质（对称性，线性性，正定性）（对称性，线性性，正定性） ( ， )是任何满足定义的运算（映射）。是任何满足定义的运算（映射）。 讨论讨论 ( ， 1 2), ( ，k ), ( ，k1 1k2 2), (0, ) 1. ( , ) = ( , )2. (k , ) = k( , ) ( + , )=( , ) + ( , )3. ( , )0; ( , )=0 iff =01122( ,)
9、( ,)kk 12( ,)( ,) ( ,)k 0内积空间的定义内积空间的定义赋予内积的线性空间称为内积空间，记为赋予内积的线性空间称为内积空间，记为 Vn(F)；( ， ) ； F = R ，欧氏空间，欧氏空间，F = C，酉空间酉空间4 常见的内积空间：常见的内积空间： Rn；( ， ) = T , ( T = T ) Cn；( ， ) = H , H= 的的共轭转置共轭转置， Cmn; (A，B) = tr (BHA) Pnx；( f，g ) = 10dx)x(g)x(f 定义：定义： | | = ; 单位向量：单位向量： | | = 1. ， 的的“距离距离”：| - | ),(),(
10、欧氏空间中向量的夹角欧氏空间中向量的夹角v 定义定义：0，0，夹角，夹角 定义为：定义为： cos =性质性质：| k | = k | |； 定理定理1.9（Cauchy 不等式）不等式） ， Vn(F)；( ， ), | ( ， ) | | | | |。 | | | | | |; | - | | | | | 设设 1， 2，, n 是内积空间是内积空间Vn(F)的基，的基， ， Vn(F)，则有则有 =x1 1x2 2xn n = ( 1 2 n)X； =y1 1y2 2yn n= ( 1 2 n)Y( ， ) = = Y HAX， n1in1jjiji),(yx定义内积定义内积 在一个基在
11、一个基 1， 2， n 下定义内积下定义内积 确定一个度量矩阵确定一个度量矩阵A 。 度量度量矩阵矩阵 aij=( i, j)度量矩阵度量矩阵A的性质：的性质：Hermite 性与正定性性与正定性 正交的向量组：正交的向量组： 定义：定义： 1， 2， n为正交向量组为正交向量组 ( i， j ) = 0， ij 性质性质(定理定理1.10) 正交向量组线性无关。正交向量组线性无关。 2 标准正交基标准正交基 基基 1， 2， n是标准正交基是标准正交基 ( i， j) =ji0ji1标准正交基的优点？想想标准正交基的优点？想想 Rn ！度量矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，即A=I =(
12、 1 2 n)X， =( 1 2 n) Y，( ， ) = YHX = x1 1x2 2xn n，xi = ( ， i) 和和 正交正交 其坐标其坐标 X和和Y正交正交 任何向量的内积将对应其坐标空间中的内积任何向量的内积将对应其坐标空间中的内积 Fn求标准正交基的步骤求标准正交基的步骤：1. Schmidt 正交化（正交化（定理定理1.11）2. 标准化标准化3. 矩阵方法讨论矩阵方法讨论“正交补正交补”子空间子空间(i) 集合的集合的U的正交集：的正交集： U =Vn(F)： U，( ， ) = 0 (ii) 若若U是是Vn(F)的子空间，则的子空间，则U 也是也是Vn(F)子空间，称为子空间，称为U的的正交补子空间。正交补子空间。(iii) Vn(F)=U U 。 Rn；( ， ) = T ， Cn；( ， ) = H 的的标准正交基均为自然基标准正交基均为自然基ei； Rmn; (A，B) = tr (BTA) ， Cmn; (A，B) = tr (BHA) 的标准正交基均为自然基的标准正交基均为自然基Eij。
