1、一、一、线性变换的概念线性变换的概念定义定义 1.11 (P.19)要点：要点： (i) T是是Vn(F)上的上的变换变换： T：Vn(F) Vn(F), T( ) (象象) (ii) T具有具有线性性线性性： T( )=T( )T( ) T(k )=kT( ) 合二为一合二为一：T(k1 k2 )=k1T( )k2T( )从一般性的角度给出的定义从一般性的角度给出的定义 例例24 Vn(F)上的上的相似变换相似变换T ： 是是F中给定的数，中给定的数， Vn(F)，T ( ) = 。 特例：特例： =1，T1 是恒等变换是恒等变换: T1( ) = ， =0，T0 是零变换是零变换: T0(
2、 ) = 0 。可以在任何线性空间中可以在任何线性空间中 定义相似变换定义相似变换!例例25 Pnx中的微分变换中的微分变换 (积分变换？线性但不是积分变换？线性但不是Pn x上的上的)例例26 Fn上的变换上的变换 TA：设设 A Fnn是一个给定的矩阵，是一个给定的矩阵， X Fn，TA(X)=AX。线性变换的例子线性变换的例子线性变换的性质：线性变换的性质： (1) T(0)=0 (2) T( )=T( ) (3) (4) 若若 1, 2, , m 线性相关，则线性相关，则 T( 1), T( 2), , T( m) 也线性相关。也线性相关。 m1im1iiiii)(TkkT线性变换的象
3、空间和零空间线性变换的象空间和零空间( 矩阵的列矩阵的列/零空间零空间) 定理定理1.12 设设T为为Vn(F)上的线性变换上的线性变换，则下述集合均为则下述集合均为Vn的子空间（分别称为的子空间（分别称为T的的象空间和零空间象空间和零空间）：）： 象空间象空间 R(T)= ： Vn(F)， =T( ) 零空间零空间 N(T)= ：Vn(F)，T( ) = 0 定义：定义： T 的秩的秩 = dim R(T)； T 的零度的零度 = dim N(T)线性变换保持线线性变换保持线性相关性不变！性相关性不变！T(k1 k2 )=k1T( )k2T( )求求Fn中的线性变换中的线性变换TA: Y=A
4、X 的象的象空间和零空间。空间和零空间。R(TA)=R(A)；N(TA)=N(A)线性变换的线性变换的“运算运算” ( 函数的运算函数的运算设设T，T1，T2都是都是Vn(F)上的线性变换，它们的下述运上的线性变换，它们的下述运算均构成算均构成Vn(F)上的线性上的线性变换：变换： (i) 加法加法 T1T2 ：Vn(F)， (T1T2)( )=T1( )T2( ) (ii) 乘法乘法 T1T2：Vn(F)，(T1T2)( )=T1(T2( ) (iii) 数乘数乘 kT：Vn(F)，(kT)( )=k(T( ) (iv) 可逆变换可逆变换T： T1使得，使得，TT1=T1T=I，记，记T1=
5、T1 ； T1( )= T( )= 。 (v) 乘方变换：乘方变换：Tm=TTTTT (m个个T相乘相乘)注意：注意：变换乘法一般不具有交换律，如同矩阵乘法；变换乘法一般不具有交换律，如同矩阵乘法； Vn(F)上的线性变换的全体构成上的线性变换的全体构成F上的线性空间！上的线性空间！1 线性变换的矩阵与变换的坐标式线性变换的矩阵与变换的坐标式Vn(F)上线性变换的特点分析：上线性变换的特点分析： 定义变换定义变换T 确定基中向量的象确定基中向量的象T( i) 定义定义T( i) 确定它在基下确定它在基下 i的坐标的坐标Ai 定义变换定义变换T 确定矩阵确定矩阵A=A1，A2，An(i) A为变
6、换矩阵为变换矩阵: T( 1, 2, , n)=( 1, 2, , n)A (ii)变换的坐标式：设变换的坐标式：设 =( 1, 2, , n)X， T( )=( 1, 2, , n)Y，则，则Vn(F)上的变换上的变换T Fnn中的矩阵中的矩阵A给定基给定基 线性变换线性变换TAY=AX例题例题 对线性变换对线性变换 : P4 X P4 X，1求求D在基在基1，X，X2，X3下的变换矩阵。下的变换矩阵。2 求向量求向量 在变在变换换D下的象。下的象。dxdD 32x3x2x210)x(p相似变换相似变换T 下的矩阵：下的矩阵：Pnx中的微分变换在中的微分变换在自然基自然基下的矩阵：下的矩阵：
7、线性变换线性变换TA在在自然基自然基下的矩阵：下的矩阵： IAFn上线性变换上线性变换T在在自然基自然基下的矩阵：下的矩阵：T(e1 e2 en)常见线性变换的矩阵常见线性变换的矩阵2 线性变换运算的矩阵对应（线性变换运算的矩阵对应（Th1.13）：）： 设设Vn(F)上的线性变换上的线性变换T1，T2，它们在同一它们在同一组基下的矩阵：组基下的矩阵：T1A1；T2A2（i） (T1T2) (A1A2)（ii） (T1T2) A1A2（iii） (kT) kA（iv） T1 A1(i), (iii)合并：合并：(k1T1k2T2) (k1A1k2A2)3 不同基下的变换矩阵不同基下的变换矩阵两
8、组基两组基： 1， 2，, n ， 1， 2，, n ， ( 1 2 n) = ( 1 2 n)C T( 1 2 n) = ( 1 2 n)A T( 1 2 n) = ( 1 2 n)B Th1.14 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的B=C1AC例例29(P24) 设单位向量设单位向量u =（2/3， 2/3， 1/3），），给定给定R3上的线性变换上的线性变换 P(x)= x (x，u)u，1. 求求P在自然基在自然基e1，e2，e3下的变换矩阵下的变换矩阵A。2. 求求P在标准正交基在标准正交基u1，u2，u3下的变换矩下的变换矩阵阵B。（。（直
9、接按定义；或同前利用直接按定义；或同前利用Th1.14）例例28(P23) 给定给定R3上的线性变换上的线性变换 T(x1,x2,x3)T) = (x1+2x2+x3, x2-x3, x1+x3)T，求求T在基在基 1=(1 0 1)T, 2=(0 1 1)T, 3=(1 -1 1)T下下的变换矩阵的变换矩阵B。问题的背景：问题的背景： 变换变换矩阵简化矩阵简化和和空间分解空间分解的对应关系的对应关系1. 不变子空间的概念不变子空间的概念 矩阵简化要求空间分解的特点矩阵简化要求空间分解的特点 不变子空间的定义不变子空间的定义(p24, 定义定义1.14)2 . 不变子空间的判别不变子空间的判别
10、 W是是T的不变子空间的不变子空间 W T( ) W。特别：特别：W=L 1， 2， m， W是是T的不变子空间的不变子空间 T( i) W。 T(W) W。T也是也是W上的线上的线性变换！性变换！P24，例例30R3上的正交投影上的正交投影P：P(x) = x (x，u)u，u是单位向量。证明是单位向量。证明L(u)和和 u =x：(x，u) = 0 是是P的不变子空间。的不变子空间。P在在L(u)上是零变换，在上是零变换，在 u 上是恒等变换！上是恒等变换！3 Vn(F) = W U，W，U是是T的不变子空间的不变子空间 ， W=L 1， r，U= r + 1 ， ， n则则 T21AA
11、1， r， r + 1 ， ， nVn(F)=U1 U2 Uk，则则 Tk21AAA矩阵矩阵Ai 的阶数的阶数=dim Ui不改变内积的变换不改变内积的变换)讨论内积空间讨论内积空间V；( ， ) 中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。1 定义定义1.15 (P25)：(T( ), T( )=( , )2 正交（酉）变换的性质：正交（酉）变换的性质： （定理（定理1.15, P26 ）T是内积空间是内积空间V(F)上的线性变换，则上的线性变换，则下列命题等价：下列命题等价：（1）T是正交是正交(酉酉)变换变换（2）T保持向量的长度不变保持向量的长度不变（3）T把把V(F)的标准正交基变成标准
12、正交基的标准正交基变成标准正交基（4）T在标准正交基下的矩阵是正交在标准正交基下的矩阵是正交(酉酉)矩阵矩阵3 变换的矩阵：正交矩阵和酉矩阵的性质变换的矩阵：正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩阵正交矩阵C：CTC=I 酉矩阵酉矩阵U： UHU=I定理定理1 . 16 (P27)平面上的旋转平面上的旋转几何描述几何描述：绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个 角。角。变换矩阵：在自然基下，变换矩阵：在自然基下，R3空间中的镜像变换空间中的镜像变换 定义：定义：S(x) = x 2(x, u)u，u为单位向量。为单位向量。 变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义空间中的旋转空间中的旋转 几何
13、描述：绕空间中过原点的一条直线几何描述：绕空间中过原点的一条直线L， 旋转一旋转一 个个 角。角。 求变换矩阵的基本思想：寻求空间中的一组特别的基求变换矩阵的基本思想：寻求空间中的一组特别的基cossinsincosA例题例题1设设u=e2，镜像变换，镜像变换: S（x）= x 2（x，e2）e2 求立方体求立方体W在镜像变换下的象。在镜像变换下的象。例题例题2 求求R3中绕过原点、以中绕过原点、以 u=（1，1，1）T为正为正向的直线，顺向的直线，顺u方向看去是逆时针的旋转变换方向看去是逆时针的旋转变换T在在R3中自然基下的变换矩阵。中自然基下的变换矩阵。011001100011001100
14、001111W 定义定义 1.16 (P.28)要点：要点：（i）Vn(F)， = T( ) Vm(F) (ii) T具有线性性：具有线性性： T( 1 2) = T( 1)T( 2) T(k ) = kT( )例题例题1 (P29，例例34)例题例题2（P29，例例35）T：Vn(F) Vm(F)设设 1， 2，, n是空间是空间Vn(F) 的基，的基， 1， 2，, m是空间是空间Vm(F)的基，的基，T( 1， 2，, n)=( 1， 2，, m)A A是变换矩阵。是变换矩阵。nmFA,:)F(Vnnn2121,:)F(Vmmm2121设在两个空间中分别取两组基：设在两个空间中分别取两组基：分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系等价！等价！11.niiiVa x PP（，） 2 （，） 2PLLPP u W),(),(11),(),(),(1110.niiiVa x
