1、2.1逻辑代数逻辑代数2.1.1基本逻辑基本逻辑2.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算2.1.3真值表与逻辑函数真值表与逻辑函数2.1.4逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律2.1.5三个规则三个规则2.1.6常用公式常用公式2.1.7逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式表2-1-1 与逻辑举例状态表开关开关S1开关开关S2灯灯断断断断灭灭断断合合灭灭合合合合断断灭灭合合亮亮2.1.1基本逻辑基本逻辑S1S2图2-1-1 与逻辑举例灯灯电源电源与与、或或、非非三种基本逻辑关系三种基本逻辑关系(1)与与逻辑关系逻辑关系只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发只有当决定某一事件的条件全部具备
2、时，这一事件才会发生。这种因果关系称为生。这种因果关系称为与与逻辑关系。逻辑关系。演演 示示表2-1-2 或逻辑举例状态表开关开关S1开关开关S2灯灯断断断断灭灭断断合合亮亮合合合合断断亮亮合合亮亮(2)或或逻辑关系逻辑关系只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或几个条件具只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。这种因果关系称为备时，这一事件就会发生。这种因果关系称为或或逻辑关系。逻辑关系。S1灯灯电源电源图2-1-2 或逻辑举例S2演演 示示表2-1-3 非逻辑举例状态表开关开关S灯灯断断亮亮合合灭灭灯灯S图2-1-3 非逻辑举例电源电源(3)非非逻辑关系逻
3、辑关系事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称为不具备时，事件发生。这种因果关系称为非非逻辑关系。逻辑关系。演演 示示表2-1-4 与逻辑真值表表2-1-5 或逻辑真值表表2-1-6 非逻辑真值表ABP001010110001ABP001010110111AP0110基本逻辑关系在逻辑代数中的描述基本逻辑关系在逻辑代数中的描述(1)真值表描述法真值表描述法在逻辑代数中用字母表示逻辑变量，逻辑变量在二值逻辑在逻辑代数中用字母表示逻辑变量，逻辑变量在二值逻辑中只有中只有0和和1两种取值，以代表两种不同的逻
4、辑状态。两种取值，以代表两种不同的逻辑状态。用状态变量和取值可以列出表示三种基本逻辑关系的图表，用状态变量和取值可以列出表示三种基本逻辑关系的图表，称为称为逻辑真值表逻辑真值表，或简称，或简称真值表真值表。(2)数学表达式描述法数学表达式描述法与与逻辑：逻辑：P = A 又称为又称为与与运算运算或或逻辑乘逻辑乘。运算符。若不致混淆，可省略。运算符。若不致混淆，可省略。或或逻辑：逻辑：P = A + 又称为又称为或或运算运算或或逻辑加逻辑加。非非逻辑：逻辑：P = A 读作读作“A非非” 或或“非非A” 。(1)(2)(3)AB+PABP11APABPABPAP&ABPAP图2-1-4 基本逻辑
5、的逻辑符号与逻辑符号与逻辑符号或逻辑符号或逻辑符号非逻辑符号非逻辑符号ABP(3)(3)逻辑符号描述法逻辑符号描述法现行国家标准现行国家标准过去适用的符号过去适用的符号国外常用的符号国外常用的符号能实现基本逻辑关系的基本单元电路称为能实现基本逻辑关系的基本单元电路称为逻辑门电路逻辑门电路。如。如与与门门、或或门门、非非门门（反相器）等。（反相器）等。2.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算逻辑加（逻辑加（或或运算）运算）P = A +运算规则：运算规则：0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1一般形式：一般形式：A + 0 = AA + 1 = 1A + A = A逻
6、辑乘（逻辑乘（与与运算）运算）P = A 运算规则：运算规则：0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 1一般形式：一般形式：A 1 = AA 0 = 0A A = A逻辑逻辑非非（非非运算）运算） P = A运算规则：运算规则：0 = 11 = 0一般形式：一般形式：A = AA + A = 1A A = 0复合逻辑运算复合逻辑运算表2-1-7 两输入变量与非逻辑真值表ABP001010111110(1)(1)(2)(2)(3)(3)ABPAB&ABPP(a)与非逻辑与非逻辑图2-1-5 复合逻辑符号(1)与非与非逻辑逻辑 P = A B表2-1-8 两输入变量或非逻辑真值表AB
7、P001010111000(2)或非或非逻辑逻辑P = A+B(1)(2)(3)图2-1-5 复合逻辑符号+B1AABABPPP(b)或非逻辑或非逻辑(3)与或非与或非逻辑逻辑 P = A B + C D (1)(2)(3)图2-1-5 复合逻辑符号&1PBADCPBADC+PBADC(c)与或非逻辑与或非逻辑表2-1-9 2-2输入变量与或非逻辑真值表ABP000000001110C0011D0101011110001110001101011000011111100011010111111111000000110101(4)同或同或逻辑逻辑ABBABAP 若两个输入变量的值若两个输入变量的值
8、相同相同，输出为，输出为1，否则为，否则为0。(1)(2)(3)图2-1-5 复合逻辑符号B=1APBAPABP(e)同或逻辑同或逻辑表2-1-10 同或逻辑真值表ABP001010111001运算规则：运算规则：0 0 = 10 1 = 01 0 = 01 1 = 1一般形式：一般形式：A 0 = AA 1 = AA A = 0A A = 1(5)(5)异或异或逻辑逻辑BABABAP 若两个输入变量的值若两个输入变量的值相异相异，输出为，输出为1，否则为，否则为0。运算规则：运算规则：0 0 = 00 1 = 11 0 = 11 1 = 0+一般形式：一般形式：A 0 = AA 1 = AA
9、 A = 1A A = 0+B=1APBAPABP(d)异或逻辑异或逻辑(1)(2)(3)图2-1-5 复合逻辑符号表2-1-11 异或逻辑真值表ABP001010110110几种常用逻辑运算的比较几种常用逻辑运算的比较同或同或与与异或异或逻辑的关系：逻辑的关系：+A B = A B A B = A B根据运算规则和真值表可知：根据运算规则和真值表可知：A B = A B A B = A B+若两个变量的原变量相同，则取非后的反变量也相同；反之若两个变量的原变量相同，则取非后的反变量也相同；反之亦然。因此有：亦然。因此有：A B = A B = A B A B = A B = A B+若变量若
10、变量A和变量和变量B相相同同，则，则A必与必与B相相异异或或A与与B相相异异；反之亦；反之亦然。因此有：然。因此有：表2-1-12 楼道灯开关状态表和真值表ABP001010111001开关开关 A灯灯cdbdbcaa亮亮灭灭灭灭亮亮(a)(b)开关开关 B2.1.3真值表与逻辑函数真值表与逻辑函数abcdAB图2-1-6 楼道灯开关示意图求解给定逻辑命题的逻辑函数求解给定逻辑命题的逻辑函数表达式。表达式。第一步：消化逻辑命题并列写第一步：消化逻辑命题并列写真值表。真值表。第二步：由真值表写逻辑函数表达式。第二步：由真值表写逻辑函数表达式。方法一：方法一：把每个输出为把每个输出为1的一组输入变
11、量组合状态以的一组输入变量组合状态以逻辑乘逻辑乘形式表示（原变量表示取值形式表示（原变量表示取值1，反变量表示取值，反变量表示取值0），再将所有），再将所有的这些逻辑乘进行的这些逻辑乘进行逻辑加逻辑加。这种表达式称为。这种表达式称为与或与或表达式表达式，或，或称为称为“积之和积之和”式。式。ABBAP 方法二：方法二：把每个输出为把每个输出为0的一组输入变量组合状态以的一组输入变量组合状态以逻辑加逻辑加形式表示（原变量表示取值形式表示（原变量表示取值0，反变量表示取值，反变量表示取值1），再将所有），再将所有的这些逻辑加进行的这些逻辑加进行逻辑乘逻辑乘。这种表达式称为。这种表达式称为或与或与表
12、达式表达式，或，或称为称为“和之积和之积”式。式。)()(BABAP 例例2- -1列出下列问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函列出下列问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函数表达式。数表达式。有有A、B、C个输入信号，当个输入信号中有两个或两个个输入信号，当个输入信号中有两个或两个以上为高电平时，输出高电平，其余情况下，均输出低电平。以上为高电平时，输出高电平，其余情况下，均输出低电平。表2-1-13 例 2-1 真值表11111011110100011110001001000000PCBA解解根据题意可得到如表根据题意可得到如表2- -1- -13所示的真值表：所示的真值表：“积之和积之
13、和”式：式：ABCCABCBABCAP “和之积和之积”式：式：)( )(CBACBACBACBAP 2.1.4逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律假设假设F和和G都是变量都是变量A1、A2、An的逻辑函数，如果对应的逻辑函数，如果对应于于A1、A2、An的任一组状态组合，的任一组状态组合，F和和G的值都相同，则的值都相同，则F和和G是相等的，记作是相等的，记作FG。若若FG，则它们具有相同的真值表；反之，若，则它们具有相同的真值表；反之，若F和和G的真值的真值表相同，则表相同，则FG 。例例2- -2 设设F(A,B,C)=A(B+C)，G(A,B,C)=AB+AC，请证明：，请证明：F =
14、 G。解解列写函数列写函数F和和G的真值表，如果二者的真值表完全一致，的真值表，如果二者的真值表完全一致，则说明则说明FG。逻辑函数相等逻辑函数相等表2-1-14 例2-2真值表1111111011111010000100110000100010000000G=AB+ACF=A(B+C)CBA由真值表可见，对于任何一组变量的取值，由真值表可见，对于任何一组变量的取值， F和和G的值完全的值完全相同，所以相同，所以FG。(1)关于变量和常量关系的公式关于变量和常量关系的公式逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律+A 1 = AA 0 = AA A = 1+A 0 = AA 1 = AA A = 0
15、A 1 = AA 0 = 0A A = 0A + 0 = AA + 1 = 1A + A = 1(2)交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律交换律：交换律：A + B = B + AA B = B AA B = B AA B = B A+A B C = (A B) C 结合律：结合律：A + B + C = (A + B) + C A B C = (A B) C A B C = (A B) C +A ( B C ) = AB AC 分配律：分配律：A ( B + C ) = AB + AC +A + BC = ( A + B )( A + C )A + ( B C ) = (A + B
16、) (A + C ) +(3)特殊规律特殊规律重叠律：重叠律：A + A = AA A = AA A = 1A A = 0+反演律：反演律：A + B = A BAB = A + B A B = A B A B = A B +调换律：调换律：若若A B = C，则必有：，则必有： A C = B， B C = A。若若A B = C，则必有：，则必有： A C = B， B C = A。+A B = A B (A + B )A + B = A B (A B )A + B = A B (A B )A B = A B (A + B )+推论：推论：2.1.5三个规则三个规则代入规则代入规则任何一个
17、含有变量任何一个含有变量A的等式，如果将的等式，如果将所有所有出现变量出现变量A的地方的地方都代之以一个逻辑函数都代之以一个逻辑函数F，则等式仍然成立。，则等式仍然成立。例2- -3已知等式已知等式A(B+E)=AB+AE，试证明将所有出现试证明将所有出现E的的地方代之以地方代之以(C+D) ，等式仍成立。，等式仍成立。解解 原式左边原式左边AB+ (C+D) AB+A(C+D) AB+AC +AD原式右边原式右边 AB+A(C+D) AB+AC +AD所以等式仍然成立。所以等式仍然成立。反演规则反演规则设设F是一个逻辑函数表达式，如果将是一个逻辑函数表达式，如果将F中中所有所有的的与运算与运
18、算和和或或运算运算互换；互换；常量常量0和和常量常量1互换；互换；原变量原变量和和反变量反变量互换，这样得互换，这样得到的新函数式就是到的新函数式就是F 。 F 称为原函数称为原函数F的反函数。的反函数。，求，求已知已知例例FCDBAF 42解解由反演规则，可得由反演规则，可得 DCBAF DCBACDBACDBAF 若用若用反演律反演律求解，则求解，则。，求，求已知已知例例FEDCBAF 52解解由反演规则，可得由反演规则，可得) (EDCBAF 注意运算的先后顺序注意运算的先后顺序对偶规则对偶规则设设F是一个逻辑函数表达式，如果将是一个逻辑函数表达式，如果将F中中所有所有的的与与运算和运算
19、和或或运算互换运算互换；常量常量0和常量和常量1互换互换，则可得到一个新函数式，则可得到一个新函数式F。F称为称为F的对偶式。的对偶式。 1* 0 * CABAFCABAFCBAFCBAF例如：例如：推论：推论：等式的对偶式也是等式，即：等式的对偶式也是等式，即： 。则则如果如果*,GFCBAGCBAF 2.1.6常用公式常用公式（吸收律）（吸收律） . 1ABAAB ABABA 对偶式：对偶式： . 2AABA ABAA 对偶式：对偶式： . 3BABAA BABABAAABAA 1 证明：证明： ABBAA 对偶式：对偶式：CAABBCCAAB . 4 CAABBCAABCCAABBCAA
20、CAABBCCAAB 证明：证明： CABACBCABA 对偶式：对偶式： BACACAAB . 5 BAACCABA 对偶式：对偶式：CAABBCDECAAB 推论：推论：2.1.7逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式最小项表达式最小项表达式(1)最小项最小项设有设有n个变量的逻辑函数，在由此个变量的逻辑函数，在由此n个变量组成的个变量组成的乘积项乘积项（与与项）中，若每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，项）中，若每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，而且仅出现一次，则这样的而且仅出现一次，则这样的乘积项乘积项称为称为n变量逻辑函数的变量逻辑函数的最小项最小项。最小项可用符号最小项
21、可用符号mi 表示，下标表示，下标 i 的确定方法是：对于最小的确定方法是：对于最小项中的各变量，用项中的各变量，用1代替其中的代替其中的原变量原变量，用，用0代替其中的代替其中的反变量反变量，得到一个二进制数，下标得到一个二进制数，下标 i 就是与此二进制数等值的十进制数。就是与此二进制数等值的十进制数。例如三变量逻辑函数的最小项：例如三变量逻辑函数的最小项： 30mBCAmCBA最小项的性质：最小项的性质： 对于任意一个最小项，只有一组变量的取值可以使其值对于任意一个最小项，只有一组变量的取值可以使其值为为1，其余均为，其余均为0；任意两个最小项任意两个最小项mi 和和mj 之积为之积为0
22、（ij）；）；n个变量的所有最小项（个变量的所有最小项（2n个）之和为个）之和为1。表2-1-15(a) 3变量最小项AB00011000C0101100111110101对应最小项对应最小项(m i)A B C = m0A B C = m1A B C = m2A B C = m3A B C = m4A B C = m5A B C = m6A B C = m7最小项表达式的书写形式：最小项表达式的书写形式： mCBAFmmmmCBAFCBABCACABABCF7 , 6 , 3 , 1,1367或写成：或写成：可以简写成：可以简写成：对于逻辑函数对于逻辑函数(2)最小项表达式最小项表达式全部由
23、最小项全部由最小项相加相加而构成的而构成的与或与或表达式表达式称为称为最小项表达最小项表达式式，又称为，又称为标准标准与或与或式式，或，或标准积之和式标准积之和式。(3)逻辑函数展开成逻辑函数展开成最小项表达式最小项表达式方法：方法：先变换成先变换成与或与或表达式表达式，然后将各与项中所缺的变，然后将各与项中所缺的变量逐步补齐。任何逻辑函数都有惟量逐步补齐。任何逻辑函数都有惟一一的最小项表达式。的最小项表达式。展开成最小项表达式。展开成最小项表达式。将将例例 62DCCDAABCF DCBBAACDBBADDABCDCCDAABCF 解解DCBADCBADCBADCABCDBACDBADABC
24、ABCD 04812371415, mmmmmmmmDCBAF 或写成：或写成： mDCBAF15141287430,，最大项表达式最大项表达式(1)最大项最大项设有设有n个变量的逻辑函数，在由此个变量的逻辑函数，在由此n个变量组成的个变量组成的和项和项（或或项）中，若每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，而项）中，若每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，而且仅出现一次，则这样的且仅出现一次，则这样的和项和项称为称为n变量逻辑函数的变量逻辑函数的最大项最大项。最大项可用符号最大项可用符号Mi 表示，下标表示，下标 i 的确定方法是：对于最大的确定方法是：对于最大项中的各变量，用项中的各
25、变量，用0代替其中的代替其中的原变量原变量，用，用1代替其中的代替其中的反变量反变量，得到一个二进制数，下标得到一个二进制数，下标 i 就是与此二进制数等值的十进制数。就是与此二进制数等值的十进制数。例如三变量逻辑函数的最大项：例如三变量逻辑函数的最大项： 47MCBAMCBA最大项的性质：最大项的性质：对于任意一个最大项，只有一组变量的取值可以使其对于任意一个最大项，只有一组变量的取值可以使其值为值为0，其余均为，其余均为1；任意两个最大项任意两个最大项Mi 和和Mj 之和为之和为1（ij）；）；n个变量的所有最大项（个变量的所有最大项（2n个）之个）之积积为为0。表2-1-15 (b) 3
26、变量的最大项AB00011000A+B+C=M0C0101100111110101对应最大项对应最大项(M i)A+B+C=M1A+B+C=M2A+B+C=M3A+B+C=M4A+B+C=M5A+B+C=M6A+B+C=M7最大项表达式的书写形式：最大项表达式的书写形式： 410,410，或写成：或写成：可以简写成：可以简写成：对于逻辑函数对于逻辑函数MCBAFMMMCBAFCBACBACBAF(2)最大项表达式最大项表达式全部由最大项全部由最大项相相与与而构成的而构成的或与或与表达式表达式称为称为最大项表达最大项表达式式，又称为，又称为标准标准或与或与式式，或，或标准和之积式标准和之积式。(
27、3)逻辑函数展开成逻辑函数展开成最大项表达式最大项表达式方法：反复利用分配律方法：反复利用分配律A+BC=(A+B)(A+C)进行变换。任何进行变换。任何逻辑函数都有逻辑函数都有惟一惟一的最大项表达式。的最大项表达式。展开成最大项表达式。展开成最大项表达式。将将例例 72BCAAF CABABCABCAAF解解 )(CBBACCBA )( )( )(CBACBACBA 210MMM 210 ，M表2-1-16 4变量最小项和最大项A B00000000C0011011110000011对应最大项对应最大项(M i)D01010101对应最小项对应最小项(m i)A B C D = m0A B
28、C D = m1A B C D = m2A B C D = m3A B C D = m4A B C D= m5A B C D= m6A B C D= m7A+B+C+D=M0对应最大项对应最大项(M i)A+B+C+D=M1A+B+C+D =M2A+B+C+D =M3A+B+C+D =M4A+B+C+D =M5A+B+C+D =M6A+B+C+D =M7对应最小项对应最小项(m i)A B C D = m8A B C D = m9A B C D = m10A B C D = m11A B C D = m12A B C D = m13A B C D = m14A B C D = m15A B10
29、000111C0011111111110011D01010101A+B+C+D=M8A+B+C+D=M9A+B+C+D =M10A+B+C+D =M11A+B+C+D =M12A+B+C+D =M13A+B+C+D =M14A+B+C+D =M15最小项与最大项之间的关系最小项与最大项之间的关系可以看出：可以看出：编号相同的最小项和最大项具有互补的特性编号相同的最小项和最大项具有互补的特性。如：。如：4433 mMMm 两种标准形之间的相互转换两种标准形之间的相互转换(1)最小项表达式最小项表达式最大项表达式最大项表达式 已知函数已知函数 imF 64375210,，例如：例如：MCBAFm ikkikkjjmFmFFFmn，所以所以由于由于 1 , 1 120 ikkikkMmF利用反演律可得：利用反演律可得：(2)最大项表达式最大项表达式最小项表达式最小项表达式 已知函数已知函数 iMF mMCBAF76354210,，例如：例如： ikkikkjjMFMFFFMn，所以所以由于由于 0 , 0 120 ikkikkmMF利用反演律可得：利用反演律可得：
