1、信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-1 1 1页页页电子教案第六章第六章 离散系统离散系统z z域分析域分析 6.1 z 6.1 z 变换变换一、从拉普拉斯变换到一、从拉普拉斯变换到z变换变换二、收敛域二、收敛域6.2 z 6.2 z 变换的性质变换的性质6.3 6.3 逆逆z z变换变换6.4 z 6.4 z 域分析域分析一、差分方程的变换解一、差分方程的变换解二、系统的二、系统的z域框图域框图三、三、s域与域与z域的关系域的关系四、系统的频率响应四、系统的频率响应五、借助五、借助DTFT求离散系统的频率响应求离散系统的频率响应点击目录点击目录 ，进入相关
2、章节，进入相关章节信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-2 2 2页页页电子教案第第六六章章 离散系统离散系统z z域分析域分析 在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。方程转换为代数方程。 6.1 z6.1 z变换变换一、从拉普拉斯到一、从拉普拉斯到z变换变换对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号。
3、对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号。 kTSkTtkTfttftf)()()()()(取样信号取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得两边取双边拉普拉斯变换，得 第六章第六章 离散系统离散系统z z域分析域分析信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-3 3 3页页页电子教案kkTsSbkTfsFe)()(令令z = esT，上式将成为复变量，上式将成为复变量z的函数，用的函数，用F(z)表示；表示；f(kT) f(k) ，得，得kkzkfzF)()(称为序列称为序列f(k)的的双边双边z变换变换0)()(kkzkfzF称为序列称为序列f(k)的的单单边边z
4、z变换变换若若f(k)为为因果序列因果序列，则单边、双边，则单边、双边z 变换相等，否则不变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换变换。 F(z) = Zf(k) , f(k)= Z-1F(z) ；f(k)F(z)6.1 z6.1 z变换变换信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-4 4 4页页页电子教案6.1 z6.1 z变换变换二、收敛域二、收敛域 z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即数收敛，即kkzkf)(时，其时，其z变换才存在。上式
5、称为变换才存在。上式称为绝对可和条件绝对可和条件，它是，它是序列序列f(k)的的z变换存在的变换存在的充分条件充分条件。 收敛域的定义收敛域的定义： 对于序列对于序列f(k)，满足，满足 kkzkf)(所有所有z值组成的集合称为值组成的集合称为z变换变换F(z)的收敛域的收敛域。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-5 5 5页页页电子教案（1）整个）整个z平面收敛；平面收敛；6.1 z6.1 z变换变换信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-6 6 6页页页电子教案6.1 z6.1 z变换变换例例1 求以下有限序列的求以下有
6、限序列的z变换变换 (1) f1(k)= (k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1 解解(1) 1)()()(1kkkkzkzkzF 可见，其单边、双边可见，其单边、双边z变换相等。与变换相等。与z 无关，所以无关，所以其收敛域为其收敛域为整个整个z 平面平面。 (2) f(k)的双边的双边z 变换为变换为 F(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收敛域收敛域为为0 z 0 对有限序列的对有限序列的z变换的收敛域一般为变换的收敛域一般为0 z ，有时，有时它在它在0或或/和和也收敛。也收敛。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中
7、心第第第6-6-6-7 7 7页页页电子教案（2）部分）部分z平面收敛；平面收敛；6.1 z6.1 z变换变换信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-8 8 8页页页电子教案例例2 求求因果序列因果序列 0,0, 0)()(kakkakfkky的的z变换（式中变换（式中a为常数）。为常数）。 解：解：代入定义代入定义 1110101)(1lim)(lim)(azazazzazFNNNkkNkkky可见，仅当可见，仅当 az-1 a =时，其时，其z变换存在。变换存在。 azzzFy)(RezjImz|a|o收敛域收敛域为为|z|z|a|6.1 z6.1 z变换变
8、换信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-9 9 9页页页电子教案) 1(0, 00,)(kbkkbkfkkf例例3 求求反因果序列反因果序列 的的z变换。变换。解解: zbzbzbzbbzzFNNmmkkf111111111)(lim)()()(可见，可见， b-1z 1,即即 z b 时，其时，其z变换存在，变换存在， bzzzFf)(收敛域收敛域为为|z|z| |b|b|RezjImzo6.1 z6.1 z变换变换信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-101010页页页电子教案例例4 双边序列双边序列f(k)=fy(k)+
9、ff(k)= 解解: 0,0,kakbkk的的z变换。变换。)()()(zFzFzFfy可见，其收敛域为可见，其收敛域为 a z b o|a|b|RezjImzazzbzz a b 6.1 z6.1 z变换变换信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-111111页页页电子教案（3）整个）整个z平面均不收敛；平面均不收敛；6.1 z6.1 z变换变换信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-121212页页页电子教案例例5 双边序列双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)= 解解: ,0,0kkbkak的的z变换。变换。( )yzF
10、zzb a b z 2 22( )2(1)( )2kzfkkF zz , z 1， z 0(),| 0mkmzz信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-161616页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质 本节讨论本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边用于单边也适用于双边z变换。变换。 例例1：2 ( )3 ( )kk一、线性一、线性 设设1111|),()(zzFkf2222|),()(zzFkf则则:)()()()(22112211zFazFakfa
11、kfa1212max(,) | min(,)z 注：注：其收敛域至少是其收敛域至少是F1(z) 与与F2(z)收敛域的相交部分。收敛域的相交部分。12,a a 为任意常数32,| 11zzz信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-171717页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质解：解：)(2) 1(2)(kkkfkk2|,2)1(2zzzkZk21|,12221)(2zzzzzkZk2|21,)2)(12(32122)(zzzzzzzzzF例例2： ，求，求 的双边的双边z变换变换 。| |( )2kf k( )f k( )F z信号与系统信号
12、与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-181818页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质二、移位（移序）特性二、移位（移序）特性 单边、双边差别大！单边、双边差别大！双边双边z变换的移位：变换的移位： 若若 f(k) F(z) , z 0，则，则 证明：证明： ()()( )( )n k mknmmknZ f kmf km zf n zzz F z 单边单边z变换的移位：变换的移位： 若若 f(k) F(z), |z| ，且有整数，且有整数m0, 则则10()( )()mmkkf kmzF zf km z()( ),|mf kmzF zz1(1)( )( 1
13、)f kz F zf21(2)( )( 2)( 1)f kz F zffz信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-191919页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质证明（右移）：证明（右移）：1()00 ()()()()mkkk mmkkk mZ f kmf km zf km zf km zz上式第二项令上式第二项令k m=n，则：，则：)()()()(10100zFzzmkfzznfzmkfmmkkmmknnk10()( )( )mmm kkf kmz F zf k z(1)( )(0)f kzF zfz22(2)( )(0)(1)f kz F
14、 zfzfz特例：特例：若若f(k)为因果序列，则为因果序列，则()( )mf kmzF z() ()( )mf kmkmzF z即：即：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-202020页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质例例1：求周期为求周期为N的有始周期性单位序列的有始周期性单位序列 0)(mmNk 的的z变换。变换。 111)(00NNNmmNmzzzzmNk解解: z 1例例2：求求f(k)= k(k)的单边的单边z变换变换F(z). 解解:( )(0)( )1zzF zzfF zz2( )(1)zF zz(1)(1) (1)(1)
15、 ( )( )( )f kkkkkf kk信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-212121页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质三、序列乘三、序列乘 （a可为实数、虚数、可为实数、虚数、复数复数） ( (z z域尺度变换域尺度变换) ) 0:)(akfaakk( )( ), | |kza f kFazaa则则证明：证明：( )( )( )( )( )kkkkkkzzZ a f ka f k zf kFaa设设( )( ),| |f kF zz,且有常数且有常数a|)()(1zzFkfk若若a=-1，有，有信号与系统信号与系统西安电子科技大学电
16、路与系统教研中心第第第6-6-6-222222页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质例例1：( )?kak( )1zkz( )1kzzaakzzaa解解:例例2：cos() ( )?kk10.50.5cos() ( )()2eej kj kjjzzkkeezz解解:信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-232323页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质四、卷积性质：四、卷积性质：设设1111|),()(zzFkf2222|),()(zzFkf则则),min(|),max().()()()(21212121zzFzFkfkf证明：
17、证明：kkikkzikfifzkfkf )()()()(2121ikkzikfif)()(21)()()()(2121zFzFzFzifii对单边z变换，要求f1(k)、 f2(k)为因果序列iizFzif)()(21注：注：其收敛域一般为其收敛域一般为F1(z)与与F2(z)收敛域的相交部分。收敛域的相交部分。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-242424页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质例：例： ，求，求 的双边的双边 变换变换 。( )( )f kkk)(kfz)(zF解：解：( )( )( )* (1)f kkkkk1|,1)
18、(zzzk2( ),| 1(1)zF zzz1(1),| 11z zkzz信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-252525页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质五、序列乘五、序列乘k k（z z域微分域微分） 设设|),()(zzFkf则则)()()(zFdzdzkkf)()()()(2zFdzdzdzdzkfk|, )()()()()(zzFdzdzdzdzdzdzkfkmm次证明：证明：kkzkfzF)()(kkkkzdzdkfzkfdzdzFdzd)()()(kkkzkf)(1信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第
19、6-6-6-262626页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质kkzkkfzFdzdz)()()(令令)()(),()()(11kkfkfzFdzdzzF则则kkzkfzF)()(11即：即：11( )( )F zZ f k)()()(zFdzdzkkf解：解：1)(zzk22d(1)( ),| 1d1(1)(1)zzzzkkzzzzzzz 例：例：求求 的双边的双边 变换变换 。( )( )f kkkz)(zF信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-272727页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质六、序列除六、序列除(k+m)
20、(k+m)(z z域积分域积分） 则则1( )( ),|mmzf kFzdzkm若若m=0 ,且且k0，则，则 ( )( ),|zf kFdzk若若( )( ),|f kF zz，设有整数，设有整数m，且，且k+m0例例：求序列求序列 的的z变换。变换。 )(11kk解：解：1)(zzk)1ln()1ln()111() 1()(112zzzzdzdzkkzzz信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-282828页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质设设|),()(zzFkf111()(),|fkF zz则则证明：证明：()( )k mkmkmfk
21、 zf m z ( )kkf k z1()F z七、七、k域反转域反转( (仅适用双边仅适用双边z变换变换） 1( )()kkf kz信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-292929页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质111(1), |1kz zakzazaz1111(1), |kakzzaa 利用齐次性，利用齐次性，k域和域和z域同时乘以域同时乘以a得得 11(1), |kaakzzaa 例例2：已知已知 ( ), |kzakzaza，求，求 的的z变换。变换。 (1)kak 解：解：例例1： 求求),()(),()(zFkfkkf)(z
22、F1|,1)(zzzk1|,111)(11zzzzzF解：解：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-303030页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质八、部分和八、部分和 若若 f(k) F(z) , z ，则，则)(1)(zFzzifki, max( ,1) z max(|a|,1)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-313131页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理 初值定理适用于初值定理适用于右边序列右边序列，即适用于，即适用于kM(M为整数为
23、整数)时时f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值f(M), f(M+1), 而不必求得原序列。而不必求得原序列。 初值定理初值定理： 如果序列在如果序列在kM时，时，f(k)=0，它与象函数的关系为，它与象函数的关系为 f(k)F(z) ， z 则序列的初值则序列的初值)(lim)(zFzMfmz对因果序列对因果序列f(k)，)(lim)0(zFfz信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-323232页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质证明：证明：MkkkkzkfzkfzF)()()(两边乘
24、两边乘zM，得，得)(lim)(zFzMfMz.)2() 1()()2()1(MMMzMfzMfzMf .)2() 1()(21zMfzMfMfzFzM上式取上式取z，得，得信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-333333页页页电子教案6.2 z6.2 z变换的性质变换的性质终值定理：终值定理：终值定理适用于终值定理适用于右边序列右边序列，用于由象函数直接求，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。得序列的终值，而不必求得原序列。 如果序列在如果序列在kM时，时，f(k)=0，它与象函数的关系为，它与象函数的关系为 f(k) F(z) ， z 且且
25、01 则序列的终值则序列的终值 含单位圆含单位圆111( )lim( )lim( )lim(1) ( )kzzzff kF zzF zz 证明见教材。证明见教材。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-343434页页页电子教案设设)()(zFkf|,)()(zzkfzFkk 上式两边乘以上式两边乘以 ， 为整数，在为整数，在 的收敛域的收敛域内作围线积分：内作围线积分：1nzn1)(nzzF111( )( )( )nk nk nccckkF z zdzf k zdzf kzdz 柯西公式柯西公式：1, 01,2mmjdzzcm6.3 6.3 逆逆z变换变换6.
26、3 6.3 逆逆z变换变换一、逆一、逆z变换变换knknnkjdzzcnk, 0, 11,21即信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-353535页页页电子教案令令 ，得：，得：kn ,)()(21dzzzFkjfckkdzzzFjkfck,)(21)(1 上式称为上式称为 F(z) 的逆的逆z变换变换. Z Z逆变换的计算方法：逆变换的计算方法：（1）反演积分法（留数法）；反演积分法（留数法）；（2）幂级数展开法）幂级数展开法；（3）部分分式展开法；）部分分式展开法；（4）用）用 z 变换性质求逆变换性质求逆 z 变换。变换。6.3 6.3 逆逆z z变换变
27、换信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-363636页页页电子教案6.3 6.3 逆逆z z变换变换双边双边Fb (z) + 收敛域收敛域f(k)一一对应一一对应单边单边F (z)一一对应一一对应 f(k) 一般而言，双边序列一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列可分解为因果序列f1(k)和和反因果序列反因果序列f2(k)两部分，即两部分，即 其中其中21( )( )( )( ) (1)( ) ( )f kfkf kf kkf kk 相应地，其相应地，其z变换也分为两部分变换也分为两部分 21( )( )( ),|F zF zF zz10( ) ( ) (
28、 )( ), |kkF zZ f kkf k zz12( ) ( ) (1)( ), |kkF zZ f kkf k zz 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-373737页页页电子教案6.3 6.3 逆逆z z变换变换 已知象函数已知象函数F(z)时，根据给定的收敛域不难由时，根据给定的收敛域不难由F(z)求求得得F1(z)和和F2(z)，并分别求得它们所对应的原序列，并分别求得它们所对应的原序列f1(k)和和f2(k)，根据线性性质，将两者相加得到，根据线性性质，将两者相加得到F(z) 所对应的原所对应的原序列序列f(k)。 二、幂级数展开法二、幂级数展
29、开法 根据根据z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是分别是z-1和和z的幂级数。其系数就是相应的序列值。的幂级数。其系数就是相应的序列值。 例例：已知象函数已知象函数 2)2)(1()(222zzzzzzzF其收敛域如下，分别求其相对应的原序列其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。(1) | 2; (2) | 1; (3) 1 | 2zzz 。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-383838页页页电子教案6.3 6.3 逆逆z z变换变换解解:（1）由于）由于F(z)的收敛域在半径为的收敛域在半径为2
30、的圆外，故的圆外，故f(k)为因果序列。用长除法将为因果序列。用长除法将F(z)展开为展开为z -1的幂级数：的幂级数： 222zzzzF321531zzz( )1,1,3,5,0f kk于是，得原序列：于是，得原序列：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-393939页页页电子教案6.3 6.3 逆逆z z变换变换（2）由于）由于F(z)的收敛域在半径为的收敛域在半径为1的圆内，故的圆内，故f(k)为为反因果序列。用长除法将反因果序列。用长除法将F(z)（其分子、分母按（其分子、分母按z 的的升幂排列）展开为升幂排列）展开为z 的幂级数如下：的幂级数如下：
31、222zzzzF2345113524816zzzz 于是，得原序列：于是，得原序列：5311( ),0168421f kk 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-404040页页页电子教案6.3 6.3 逆逆z z变换变换 (3) F(z)的收敛域为的收敛域为1 z )和和F2(z)( z 2 (2) z 1 (3) 1 z 2，f(k)为因果序列为因果序列 )()2(32) 1(31)(kkfkk(2) 当当 z 1，f(k)为反因果序列为反因果序列 ) 1()2(32) 1(31)(kkfkk(3)当当1 z 2， f(k)为双边序列为双边序列 ) 1()
32、2(32)() 1(31)(kkkfkk信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-454545页页页电子教案6.3 6.3 逆逆z z变换变换例例2：已知象函数已知象函数 )3)(2)(1)(21()21294()(23zzzzzzzzzF,1 z 1，后两项满足后两项满足 z 1)，则逆变换为：，则逆变换为： razz)( 若若 z a a ,对应原序列为因果序列：对应原序列为因果序列： )()!1()2).(1(1karrkkkrk1111( )()(1)!iriz aidF zKzaidzz信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-
33、6-505050页页页电子教案6.3 6.3 逆逆z z变换变换以以 z a a 为例：为例：)() 1(212kakkk当当r=3时，为时，为)(1kkak当当r=2时，为时，为可这样推导记忆：可这样推导记忆：( )kzZ akza两边对两边对a求导得求导得:12( )()kzZ kakza再对再对a求导得求导得:232 (1)( )()kzZ k kakza故故:231(1)( )2()kzZk kakza信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-515151页页页电子教案6.3 6.3 逆逆z z变换变换例：例：已知象函数已知象函数323) 1()(zzzz
34、F， z 1。求原函数。求原函数。解解:1) 1() 1() 1()(1321231132zKzKzKzzzzzF;2)() 1(1311zzzFzK3121d( )(1)3;dzF zKzzz2313211 d( )(1)1.2 dzF zKzzz1) 1(3) 1(2)(23zzzzzzzF kkkkkkkf21131! 22信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-525252页页页电子教案例例1 1： 求逆变换求逆变换 。3|,)3)(2(1)(zzzzF)(kf解：解：33122161) 3)(2(1)(zzzzzzzzF33122161)(zzzzzF
35、)()331221()(61)(kkkfkk)()32()(6111kkkk6.3 6.3 逆逆z z变换变换四、四、用性质求逆用性质求逆z z变换变换方法方法1 1：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-535353页页页电子教案方法方法2 2：3121)3)(2(1)(zzzzzF)32(1zzzzz) 1(3) 1(2)(11kkkfkk) 1()23(11kkk6.3 6.3 逆逆z z变换变换信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-545454页页页电子教案例例2、因果周期信号、因果周期信号 如图，求如图，求 的单边的
36、单边 变换变换 。)(kf)(kfz)(zF设第一周期内信号为设第一周期内信号为 ，则，则 可表示为可表示为)(kfT)(kf)2()()()(NkfNkfkfkfTTT0)(mTmNkf设设)()(),()(zFkfzFkfTT)()()()(2zFzzFzzFzFTNTNT)1)(2NNTzzzF1|1)(zzzFNT6.3 6.3 逆逆z z变换变换解：解：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-555555页页页电子教案五、反演积分法（留数法）五、反演积分法（留数法）* * 11( )2kCf kF z zdzkj 1C( )k-1fkF z z根据复变
37、函数理论中的留数定理，因果序列等于积分路径 内的极点留数之和，即： ( )f kF zz 100ikzCkfkF z z-1内极点Res ( )k06.3 6.3 逆逆z z变换变换信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-565656页页页电子教案 2C( )k-1fkF z z根据复变函数理论中的留数定理，反因果序列等于积分路径 外部区域内的极点留数之和并取负号，即： 200ikzCkfkF z z-1外极点Res ( )k012( )( )( )f kf kfk等于与之和，即： 120( )( )iikzCkzCF z zkf kf kfkF z z-1内极
38、点-1外极点Res ( )Res ( )k06.3 6.3 逆逆z z变换变换信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-575757页页页电子教案1( )( )kF zF z z为有理分式时，的极点留数为：1( )kiF z zzz若在有一阶极点，则()iikkiz zzF z zzz F z z-1-1=Res ( )=( )1( )kiF z zzzr若在有 重极点，则11()(1)!iirkrkiz zrzdF z zzzF z zrdz-1-1=1Res ( )=( )6.3 6.3 逆逆z z变换变换信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心
39、第第第6-6-6-585858页页页电子教案24( ),13,( )(1) (3)zF zzf kzz已知求原函数。例：例：解：解：124( )(1) (3)kkzF z zzz121,3zz12114(1)3kkkzzzddzF z zzF z zdzdz z-1-1=Res ( )( )(21)k 23(3)kkzzF z zzF z z-1-1=Res ( )( )3k6.3 6.3 逆逆z z变换变换信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-595959页页页电子教案0( )iikzCkzCF z zkf kF z z-1内极点-1外极点Res ( )Re
40、s ( )k0(21)030kkkk(21) ( )3(1)kkkk 6.3 6.3 逆逆z z变换变换信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-606060页页页电子教案6.4 离散系统的离散系统的z域分析域分析单边单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。中，可求得零输入、零状态响应和全响应。 一、差分方程的一、差分方程的z域解域解 mjjmniinjkfbikya00)()(设设f(k)在在k=0时接入，系统初始状态为时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),y(-n)
41、。 取单边取单边z变换得：变换得： mjjjminiikiinzFzbzikyzYza0010)()()(mjjjmniniikkiniinzFzbzikyazYza00010)()()()(6.46.4 离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-616161页页页电子教案)()()()()()()()(zYzYzFzAzBzAzMzYfx)()()()()(zAzBzFzYzHf令令称为系统函数。称为系统函数。h(k)H(z) 例例1：若某系统的差分方程为若某系统的差分方程为 y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k
42、)+2f(k 2) 已知已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系统。求系统 的的yx(k)、yf(k)、y(k)。 6.46.4 离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-626262页页页电子教案6.46.4 离散系统的离散系统的z z域分析域分析1212122222(1 2) ( 1)2 ( 2)1 2( )( )121242221zyyzY zF zzzzzzzzzzzzzz )() 1()2(2)(122) 1)(2(4)(2kkyzzzzzzzzzYkkxx)(23) 1(212)(1231
43、2122)(1kkyzzzzzzzYkkff解：解：方程取方程取z变换，得：变换，得：1212( ) ( )( 1) 2( )( 2)( 1)( )2( )Y zz Y zyz Y zyyzF zz F z整理得：整理得：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-636363页页页电子教案6.46.4 离散系统的离散系统的z z域分析域分析例例2：1( )()( )23 1191( ) ( )4()() ( )2 2322( )kkkkff kkykkh k 某系统，已知当输入时，其零状态响应求系统的单位序列响应和描述系统的差分方程。解：解：31221361612
44、)()()(22zzzzzzzzzFzYzHf) 1(2)()2(61) 1(61)(kfkfkykyky11( )32( )23kkh kk系统的差分方程为：系统的差分方程为：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-646464页页页电子教案例例3 ： (求求LTI系统差分方程的系统差分方程的3种响应种响应)已知离散系统的方程为：已知离散系统的方程为：)2()2(2) 1(3)(kfkykyky)()(, 0)2(, 1) 1(kkfyy求：求：).(),(),(kykykyfx1、求完全响应、求完全响应 ：)(ky由单边由单边z变换的右移性质：变换的右移性质
45、：,)()()(10mkkmzmkfzFzmkf6.46.4 离散系统的离散系统的z z域分析域分析解：解：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-656565页页页电子教案根据右移性质，对系统差分方程取单边根据右移性质，对系统差分方程取单边z变换，得变换，得0112200( )3( )(1)2( )(2)( )kkkkY zz Y zy kzz Y zy kzz F z由上式得：由上式得：)()2(2) 1()23()231)(2121zFzyyzzzzY)(231231)2(2) 1()23()(212211zFzzzzzyyzzY1)(,)2)(1)(1(
46、3323zzzFzzzzzz2|,)2(311) 1(21) 1(61zzzzzzz0,)2(311) 1(21161)(kkykkk6.46.4 离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-666666页页页电子教案2、求零输入响应求零输入响应0)2()2(, 1) 1() 1(: )(yyyykyxxx的方程的方程：)(kyx0)2(2) 1(3)(kykykyxxx根据右移性质，对根据右移性质，对 的方程取单边的方程取单边 变换，得：变换，得：)(kyxz0)2()( 2) 1()( 3)(102001kkxxkkxxxz
47、kyzYzzkyzYzzY由上式得：由上式得：2|,)2)(1(23231)2(2) 1()23()(2211zzzzzzzyyzzYxxx241zzzz0,)2() 1()(2kkykkx6.46.4 离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-676767页页页电子教案3、求零状态响应、求零状态响应0)2() 1(),()(: )(fffyykkfky)(kyf的方程：的方程：)2()2(2) 1(3)(kfkykykyfff由右移性质，对由右移性质，对 的方程取单边的方程取单边 变换，得变换，得)(kyfz)()(2)(3
48、)(221zFzzYzzyzzYfff1)(),()231 ()(212zzzFzFzzzzYf2|,)2)(1)(1(zzzzz,)2(31) 1(21) 1(61zzzzzz)()2(31) 1(21161)(kkykkkf6.46.4 离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-686868页页页电子教案说明：前向差分方程的解法：说明：前向差分方程的解法：（1）用左移性质：）用左移性质：,)()()(10mkkmmzkfzFzmkf初始条件：对初始条件：对 、 、) 1 ()0(: )(yyky对对 、 、) 1 ()0(
49、: )(xxxyyky（2）转变为由后向差分方程，用右移性质求解，）转变为由后向差分方程，用右移性质求解，初始条件：对初始条件：对 、 、)2() 1(: )(yyky对对 、 、)2() 1(: )(xxxyyky 若初始条件不适用，则用若初始条件不适用，则用递推法递推法由相应的差分由相应的差分方程递推得到需要的初始条件。方程递推得到需要的初始条件。6.46.4 离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-696969页页页电子教案二、系统函数二、系统函数H(z):1 1、定义：、定义：)()()(zFzYzHf)()(),(
50、)(kfZzFkyZzYff2 2、物理意义物理意义：)()(khZzH3 3、计算：、计算：)()()(zFzYzHf（1）（2）)()(khZzH（3）由系统差分方程求）由系统差分方程求)(zH6.46.4 离散系统的离散系统的z z域分析域分析信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第6-6-6-707070页页页电子教案例：1010( )(1)(2)(1)(2)( )fffyka yka ykb f kb f kH z已知：；求：。)()()()()(20112011zFzbzFzbzYzazYzazYfff)()()()1 (20112011zFzbzbzYzaza
