1、研究研究单输入单输出单输入单输出系统；系统；着眼于系统的着眼于系统的外部外部特性；特性；基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性的概念。的概念。产生于产生于20世纪世纪50至至60年代；年代；卡尔曼卡尔曼(R.E.Kalman)引入；引入；利用状态变量描述系统的利用状态变量描述系统的内部内部特性；特性；运用于运用于多多输入输入多多输出系统；输出系统；用用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描述系统描述系统 。二状态变量分析法(1)(1)提供了系统的内部特性以供研究；提供了系统的内部特性以供研究；(2)(2)一阶微
2、分（或差分）方程组便于计算机进行一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行 数值计算；数值计算；(3)(3)便于分析多输入多输出系统；便于分析多输入多输出系统；(4)(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；容易推广应用于时变系统或非线性系统；(5)(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。引出了可观测性和可控制性两个重要概念。状态：状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态表示动态系统的一组最少变量（被称为状态变量），只要知道变量），只要知道 时这组变量和时这组变量和 时的输时的输入，那么就能完全确定系统在任何时间入，那么就能完全确定系统在任何时间 的行为。的行为。0tt 0tt 0tt 状
3、态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态变量。例如上例中的变量。例如上例中的 。 )(),(tvtiCL状态矢量状态矢量：能够完全描述一个系统行为的能够完全描述一个系统行为的k k个状态变个状态变量，可以看作矢量量，可以看作矢量 的各个分量的坐标。的各个分量的坐标。 称为称为状态矢量。状态矢量。)(t )(t )(t 状态空间状态空间：状态矢量状态矢量 所在的空间。所在的空间。状态轨迹：状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化在状态空间中状态矢量端点随时间变化而描出的路径称为状态轨迹。而描出的路径称为状态轨迹。)(teLRC tvC微分方程（输
4、入输出描述法）：微分方程（输入输出描述法）：)( )(tvteC输出：输出：输入：输入： tetvtvttvtCCC202022dd2dd LCLR120 其中其中 为变量列方程：为变量列方程：以以titvLC, tetvtitLtRiCLL dd tLCttiCtvd1 tiCtvtLC1dd tiCtvtteLtvLtiLRtitLCCLL1dd11dd写为写为 teLtvtiCLLRtvttitCLCL 01011dddd只要知道只要知道 的初始状态及输入的初始状态及输入 即可完全确即可完全确定电路的全部行为。定电路的全部行为。)(),(tvtiCL)(te输出方程输出方程 )()(10
5、)(tvtitrCL此方法称为状态变量或状态空间分析法；此方法称为状态变量或状态空间分析法；为状态变量。为状态变量。 )(),(tvtiCL CLRtEuteviCL2, 00, 00 设设 LCtEtvtLEtitCtL11e1e0000 则则Ot tiL01 maxLIOtE tvC tvC tiLmaxLI01 t0tE0 t概述概述系统的信号流图表示法系统的信号流图表示法术语定义术语定义信号流图的性质信号流图的性质信号流图的代数运算信号流图的代数运算系统框图系统框图 信号流图信号流图 利用方框图可以描述系统（连续的或离散的），利用方框图可以描述系统（连续的或离散的），比用微分方程或差分
6、方程更为直观。比用微分方程或差分方程更为直观。线性系统的仿真（模拟）线性系统的仿真（模拟）连续系统连续系统相加、倍乘、积分相加、倍乘、积分 离散系统离散系统相加、倍乘、延时相加、倍乘、延时简化简化由美国麻省理工学院的梅森（由美国麻省理工学院的梅森（Mason）于于20世纪世纪50年年代首先提出。代首先提出。应用于：应用于：反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统模拟及数字滤波器设计等方面。模拟及数字滤波器设计等方面。 系统模型的表示简明清楚；系统模型的表示简明清楚； 简化系统函数的计算方程。简化系统函数的计算方程。 sH sX sY sH sX sY实际上是
7、用一些点和支路来描述系统：实际上是用一些点和支路来描述系统：方框图方框图流图流图 sYsX、 称为称为结点结点线段表示信号传输的路径，称为线段表示信号传输的路径，称为支路。支路。信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附近，信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附近，相当于乘法器。相当于乘法器。结点：结点：表示系统中变量或信号的点。表示系统中变量或信号的点。转移函数：转移函数：两个结点之间的增益称为转移函数。两个结点之间的增益称为转移函数。支路：支路：连接两个结点之间的定向线段，支路的增连接两个结点之间的定向线段，支路的增益即为转移函数。益即为转移函数。输入结点或源点：输入结点或源点：只
8、有输出支路的结点，它对应只有输出支路的结点，它对应的是自变量（即输入信号）。的是自变量（即输入信号）。输出信号或阱点：输出信号或阱点：只有输入支路的结点，它对应只有输入支路的结点，它对应的是因变量（即输出信号）。的是因变量（即输出信号）。混合结点：混合结点：既有输入支路又有输出支路的结点。既有输入支路又有输出支路的结点。通路：通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许有沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许有相反方向支路存在）。相反方向支路存在）。 开通路：开通路：通路与任一结点相交不多于一次。通路与任一结点相交不多于一次。环路增益：环路增益：环路中各支路转移函数的乘积。环路中各支路
9、转移函数的乘积。闭通路：闭通路：如果通路的终点就是起点，并且与任何如果通路的终点就是起点，并且与任何其他结点相交不多于一次。闭通路又称环路。其他结点相交不多于一次。闭通路又称环路。不接触环路：不接触环路：两环路之间没有任何公共结点。两环路之间没有任何公共结点。前向通路：前向通路：从输入结点（源点）到输出结点（阱点）从输入结点（源点）到输出结点（阱点）方向的通路上，通过任何结点不多于一次的方向的通路上，通过任何结点不多于一次的全部路径。全部路径。前向通路增益：前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积。前向通路中，各支路转移函数的乘积。 sH sX sY sH sX sY支路表示了一个信号与
10、另一信号的函数关系，支路表示了一个信号与另一信号的函数关系，信号只能沿着支路上的箭头方向通过。信号只能沿着支路上的箭头方向通过。（1） sXsHsY （2）结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路。号传送到所有输出支路。 1X2X3X4X5X6X14H34H24H46H45H4X例例如如结结点点（3） 具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具有单传输的支路，可以把它变成输出结点来处理。有单传输的支路，可以把它变成输出结点来处理。4X2Xab1X3X dc3X1。是是只只有有输输入
11、入的的输输出出结结点点合合结结点点；既既有有输输入入又又有有输输出出的的混混分分成成两两个个结结点点以以后后，是是实实际际上上是是一一个个结结点点。和和333XXX （4）流图转置以后，其转移函数保持不变。所谓转置就流图转置以后，其转移函数保持不变。所谓转置就是把流图中各支路的信号传输方向调转，同时把输是把流图中各支路的信号传输方向调转，同时把输入输出结点对换。入输出结点对换。 给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由于给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由于同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画出不同的流图。出不同的流图。（5）（1）（
12、2）有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。益。1xa2x12axx 1xa2x3xb1x3xab 串联支路的合并串联支路的合并总增益等于各支路增益的乘积。总增益等于各支路增益的乘积。（3） 并联支路的合并：并联相加并联支路的合并：并联相加（4） 混合结点的消除混合结点的消除2x1xab1x3xba 1x2x3x4x1x2x4xacbcabc（5） 环路的消除环路的消除 23312bxxcxaxx因为因为313bcxabxx 131xbcabx 总结：总结：可以通过如下步骤简化信号流图，从而求得系可以通过如下步骤简化信号流图，从而求得系 统函
13、数。统函数。 串联支路合并，减少结点；串联支路合并，减少结点； 并联支路合并，减少支路；并联支路合并，减少支路； 消除环路。消除环路。 2xab1x3xabc1x3xbcbcab11x3x（6） 信号流图的梅森增益公式信号流图的梅森增益公式 kkkgH1 fedfedcbcbaaLLLLLL,1 (1增增益益乘乘积积之之和和）（每每三三个个互互不不接接触触环环路路增增益益乘乘积积之之和和）（每每两两个个互互不不接接触触环环路路）所所有有不不同同环环路路增增益益之之和和式中：式中：称为流图的特征行列式。称为流图的特征行列式。 表示由源点到阱点之间第表示由源点到阱点之间第k条前向通路的条前向通路的
14、标号。标号。 表示由源点到阱点之间的第表示由源点到阱点之间的第 条前向通路的增益。条前向通路的增益。 称为对于第称为对于第 条前向通路特征行列式的余因子。条前向通路特征行列式的余因子。它是除去与它是除去与k条前向通路相接触的环路外，余下的特征条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式。行列式。k kkkgkX11X4X3X2X1H5H4H3H2H1G3G2GY求下图信号流图表示的系统的系统函数。求下图信号流图表示的系统的系统函数。为了求出特征行列式，先求出有关参数。图中的流图共有为了求出特征行列式，先求出有关参数。图中的流图共有4个回路，各回路增益为个回路，各回路增益为回路回路121XXX11
15、1HGL 回路回路232XXX222HGL 回路回路343XXX333HGL 回路回路12341XXXXX43214HGGGL 121XXX343XXX313131HHGGLL fedfedcbcbaaLLLLLL,1 31314321332211,1 ,1HHGGHGGGHGHGHGLLLcbcbaa 没有三个以上的互不接触回路。所以没有三个以上的互不接触回路。所以它只有一对两两互不接触的回路它只有一对两两互不接触的回路其回路增益乘积为其回路增益乘积为53211HHHHg YXXXXX4321例图中有两条前向通路，对于前向通路例图中有两条前向通路，对于前向通路11 由于各回路都与该通路相接触
16、，故由于各回路都与该通路相接触，故542HHg YXXX41对于前向通路对于前向通路22211 HGLaa 所以所以232XXX不与不与g2 接触的回路有接触的回路有其增益其增益其增益其增益，得，得按式按式kkkgH 1 313143213322112254532111HHGGHGGGHGHGHGHGHHHHHHXYH 状态方程的一般形式和建立方法概述状态方程的一般形式和建立方法概述由电路图直接建立状态方程由电路图直接建立状态方程由系统的输入由系统的输入- -输出方程或流图建立状态方程输出方程或流图建立状态方程将系统函数分解建立状态方程将系统函数分解建立状态方程一个动态连续系统的时域数学模型可
17、利用信号的各阶一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号的各阶导数来描述。作为连续系统的状态方程表现为状态变导数来描述。作为连续系统的状态方程表现为状态变量的联立一阶微分方程组，即量的联立一阶微分方程组，即 te1 te2 tem. . . . tr1 tr2 trr 0ti tttk ,21为系统的为系统的k个状态变量。个状态变量。m个输入信号个输入信号r个输出信号个输出信号 ttetetetttfttttetetetttfttttetetetttfttmkkkmkmk,;,dd,;,dd,;,dd2121212122212111 ttetetettthtrttetetettthtrttete
18、tettthtrmkrrmkmk,;,;,;,2121212122212111输出方程 tebtebtebtatatatttebtebtebtatatatttebtebtebtatatattmkmkkkkkkkkmmkkmmkk22112211222212122221212121211112121111 dd dd dd如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合，即：状态变量和输入信号的线性组合，即： tedtedtedtctctctrtedtedtedtctctctrtedtedtedtctctctrmrmrrkr
19、krrrmmkkmmkk22112211222212122221212121211112121111 ttttmmkkkkk111ddeBA tttrmmrkkrr111eDC状态方程状态方程输入方程输入方程 ttttk21 ttttttttkdddddddd21kkkkkkaaaaaaaaa 212222111211Akkkkkkbbbbbabbbb 212222111211Brkrrkkccccccccc 212222111211Crkrrkkddddddddd 212222111211D trtrtrtr21r tetetetm21e tD tA tB tCp1 te tr t是积分环节
20、，它的输入为是积分环节，它的输入为 ，输出为，输出为 。 p1 ttdd t若若 矩阵是矩阵是 的函数，表明系统是线性时变的函数，表明系统是线性时变的，对于线性时不变系统，的，对于线性时不变系统， 的各元素都为常的各元素都为常数，不随数，不随 改变。改变。 tDC,B,A,DC,B,A,t每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激励信号的函数；励信号的函数； 每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数；每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数；输出信号是状态变量和输入信号的函数；输出信号是状态变量和输入信号的函数； 通常选择动态元件的输出作为状态
21、变量，在连续系统中通常选择动态元件的输出作为状态变量，在连续系统中是选积分器的输出。是选积分器的输出。 建立给定系统的状态方程的方法分为直接法和间接法建立给定系统的状态方程的方法分为直接法和间接法两类：两类：直接法直接法主要应用于电路分析、电网络（如滤主要应用于电路分析、电网络（如滤波器）的计算机辅助设计；波器）的计算机辅助设计；间接法间接法常见于控制系统研究。常见于控制系统研究。 。应）求系统的单位冲激响（；与起始状态应求系统的零输入响时的全响应）已知（）求系统的微分方程；方程；（）列写状态方程与输出（已知下图所示系统)(40)(0e65e2131)( ;)()(321:zi3thtyttr
22、tutett te tr111 s1 s4 3 11212（1）取积分器的输出作为状态变量，则状态方程为）取积分器的输出作为状态变量，则状态方程为)e()()(4)(211tttt)e()(3)(12ttt即即 ttttte11)()(0314)()(2121输出方程为输出方程为 )(1ttr即即 )()(0121tttr0DCBA,01,11,0314 所以（2 2）341)(21sssssHDBAIC)() 1()()34(2sXssYss故得系统的微分方程为故得系统的微分方程为)e(d)e(d)(3d)(d4d)(d22ttttrttrttr（3 3）( )u t以作为激励的零状态响应的
23、象函数为3131131131 1341)()()(2zssssssssssEsHsY故得零状态响应为故得零状态响应为)(e131)(3zstutyt零输入响应为零输入响应为0e21e21)()()(3zszittytytytt0)0()0(ziziyy1)0()0(ziziyy又因为又因为0e)(zittACy00)0(ziCIy10)0(ziCAIy即即00010010121100100103140121解得解得10, 0021（4 4）)(e31341)()(31211tusLsssLsHLtht(1)选取选取独立独立的电容上电压和电感中电流为状态变量，的电容上电压和电感中电流为状态变量，
24、有时也选电容电荷与电感磁链。有时也选电容电荷与电感磁链。 中必然包含中必然包含 ，注意只能将此项放在方程左边。，注意只能将此项放在方程左边。 (2)对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然包包括括 ttiLLdd ttvCCdd，对连接有电容的结点列结点电流方程，其，对连接有电容的结点列结点电流方程，其(3)把方程中非状态变量用状态变量表示。把方程中非状态变量用状态变量表示。(4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。 状态变量的个数状态变量的个数 等于系统的等于系统的阶数。阶数。 k对于较简单的电路，用直观的方
25、法容易列写状态方程。对于较简单的电路，用直观的方法容易列写状态方程。当电路结构相对复杂时，往往要借助计算机辅助设计当电路结构相对复杂时，往往要借助计算机辅助设计（CAD）技术。技术。 假定某一物理系统可用如下微分方程表示假定某一物理系统可用如下微分方程表示 dddddddddddd111101111tebtetbtetbtetbtratrtatrtatrtkkkkkkkkkkkk此系统为此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为阶系统，输入信号的最高次导数也为k 次次系统函数为系统函数为 kkkkkkkksasasasbsbsbbsH1111111101为便于选择状态变量，系统函数表示成为便
26、于选择状态变量，系统函数表示成 kkkkkkkkasasasbsbsbsbsH1111110当用积分器来实现该系统时，其流图如下当用积分器来实现该系统时，其流图如下 te tr0b1b2b1 kbkbs1s11s1s11 2 1 k k 1a 2a 1 ka2 kaka 2 kb3 取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的 ,21tttk teaaaakkkkkkk11221113221 1122110112211teaaaabbbbbtrkkkkkkkk tebbabbabbabbabkkkkkk00111022201110 状态方程状态方程输出方程输
27、出方程表示成矢量矩阵的形式表示成矢量矩阵的形式 1000 1 0 0 0 0 1 0 00 0 1 0121121 121teaaaakkkkkkk tebbabbabbabbabtrkkkkkk01210110220110,状态方程状态方程输出方程输出方程 tetttettDCrBA简化成简化成对应对应A,B,C,D的矩阵分别为的矩阵分别为121 1 0 0 0 0 1 0 00 0 1 0aaaakkkA1000B 0110220110,babbabbabbabkkkkC0bD（二）用流图的串联结构形式列状态方程（二）用流图的串联结构形式列状态方程 将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并
28、联或串联将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并联或串联形式的流图结构，即可列出不同形式的状态方程。形式的流图结构，即可列出不同形式的状态方程。 （一）用流图的并联结构形式列状态方程（一）用流图的并联结构形式列状态方程 SV1Cv2Cv2Cv3Cv1Cv(a) (b)(a)将电压源将电压源Vs接到相互串联电容的两端，这两个电容接到相互串联电容的两端，这两个电容上的电压不独立，只能选择其中之一为状态变量。上的电压不独立，只能选择其中之一为状态变量。(b)任一电容电压都受到其余两电容电压值的约束，若任一电容电压都受到其余两电容电压值的约束，若要选取电容电压为状态变量，它们之中只有两个是独要选取电容
29、电压为状态变量，它们之中只有两个是独立的。立的。 (a) (b) SI1Li2Li1Li2Li3Li(a)由于电流源由于电流源Is 的约束作用，只能选一个电感电流作的约束作用，只能选一个电感电流作独立的状态变量独立的状态变量 ；(b)若要选取电感电流作状态变量，三个电流之中只有两若要选取电感电流作状态变量，三个电流之中只有两个是独立的。个是独立的。写出下图所示电路的状态方程和输出方程。写出下图所示电路的状态方程和输出方程。 te1H1F2 tvC tiL1 tiL2H11 tr选电感电流选电感电流 和电容两端电压和电容两端电压 作为作为状态变量状态变量 titiLL21, tvC te1H1F
30、2 tvC tiL1 tiL2H11 trA ti1 ti2对连接电容的结点对连接电容的结点A列结点电流方程列结点电流方程 tvttitiCLLdd221 对包含电容的回路对包含电容的回路 列回路电压方程列回路电压方程 titi21, tvtittiteCLL 11dd titittvLLC22dd tititvtLLC212121dd 整理整理 tetvtititCLL 11dd titvtitLCL22dd tetititvtittittvtLLCLLC 01010101121210dddddd2121 titrL2 写成矩阵形式写成矩阵形式输出方程为输出方程为将将H(s) 作部分分式展开
31、，得到作部分分式展开，得到用流图的并联结构形式建立状态方程。用流图的并联结构形式建立状态方程。 6116423sssssH 32146116423sssssssssH32122123sss其中每一个子系统的形式为其中每一个子系统的形式为 sHsHsH321 iiissH te tri1s1i这样，这样， 的流图形式可表示为的流图形式可表示为 sH te tr1s1s1s1123112321211123 tetete2132223332211 321tr te212233 0 0 0 2 0 0 0 1321321表示成矩阵形式：表示成矩阵形式： 1 , 1 , 1321tr用流图的串联结构形式
32、建立状态方程。用流图的串联结构形式建立状态方程。 6116423 sssssH把把 作因式分解作因式分解 6116423 sssssH 312411sssssH选积分器输出为状态变量选积分器输出为状态变量 te trs1s1s1321111111234 te3332232123211223243 1tr te1001 0 0 1 2 0 1 2 3321321 0 , 0 , 1321tr或或 用并联结构形式表示下式为状态方程的形式用并联结构形式表示下式为状态方程的形式 32143 pppppH用并联结构形式表示时，对上式用部分分式展开用并联结构形式表示时，对上式用部分分式展开 38/1221
33、8/1514/712/323 ppppppH对应此式的流图结构形式如图（对应此式的流图结构形式如图（a）所示。所示。选积分器输出为状态变量：选积分器输出为状态变量： 5432181282154723tr11123112p1p181547p1p1231234581 te tr111(a)p1表示成矩阵形式为表示成矩阵形式为 tetete55443332221132 te1110030000020000010000110000115432154321 5432181, 2,815,47,-23tr当系统传输算子用部分分式展开具有重根时，则当系统传输算子用部分分式展开具有重根时，则A矩阵矩阵成为约当
34、阵的形式。线性代数里已经证明任何矩阵都和成为约当阵的形式。线性代数里已经证明任何矩阵都和一个约当阵相似（对角阵是约当阵的一种特殊情况），一个约当阵相似（对角阵是约当阵的一种特殊情况），所以尽管状态变量选择不同，对同一系统而言不同形式所以尽管状态变量选择不同，对同一系统而言不同形式的的A矩阵都是相似的。矩阵都是相似的。用拉普拉斯变换法求解状态方程用拉普拉斯变换法求解状态方程用时域法求解状态方程用时域法求解状态方程时域方法时域方法借助计算机借助计算机变换域方法变换域方法简单简单由状态方程求系统函数由状态方程求系统函数方程方程 tttttttDeCrBeAdd000021k，起始条件，起始条件方程两
35、边取拉氏变换方程两边取拉氏变换 sssssssDECRBEA0 sssBEAI0 ssssBEAIAI110整理得整理得 矩阵，则矩阵，则，称为特征矩阵或预解，称为特征矩阵或预解记为记为将将ssAI1 00ssssssssEDBCCRBE 零状态解零状态解零输入解零输入解sLtsLsLtsLsLsLtEDBCCrEB11111100因而时域表示式为因而时域表示式为可见，在计算过程中最关键的一步是求可见，在计算过程中最关键的一步是求 。 s sssEDBCR DBCHss若系统为零状态的，则若系统为零状态的，则则系统的转移函数矩阵为则系统的转移函数矩阵为是第是第i个输出分量对第个输出分量对第j个
36、输入分量的转移函数。个输入分量的转移函数。 sHsHsHsHsHsHsHsHsHnmnnmm211222111211H sHij 则则，的的拉拉氏氏反反变变换换为为，的的拉拉氏氏反反变变换换为为设设tstshH 零状态解零状态解零输入解零输入解ttttttttehCreB00 1 1矩阵指数矩阵指数 的定义的定义(一)矩阵指数 !1 !121e022kkkkkttktkttIAAAAA！tAeAkk 式中式中 为为 方阵方阵, , 也是一个也是一个 方阵方阵tAekk AAIAAAAAAAtttttttteeeddee ee12.2.主要性质主要性质1. 1. 求状态方程和输出方程求状态方程和
37、输出方程 ttttBeAdd若已知若已知000021k并给定起始状态矢量并给定起始状态矢量对式对式(1)两边左乘两边左乘 ，移项有，移项有tAe tttttttBeAAAAeedde(1)化简，得化简，得 eeddtttttBeAA两边取积分，并考虑起始条件，有两边取积分，并考虑起始条件，有 ttt0d)(e0eBeAA对上式两边左乘对上式两边左乘 ，并考虑到，可得，并考虑到，可得tAe eeIAAtt e0ede0e0ttttttteBBeAAAA e0e de0e 0 零状态解零状态解零输入解零输入解ttttttttttteDBCCDeBeCDeCrAAAA为方程的一般解为方程的一般解求输
38、出方程求输出方程r(t)依此原理，将依此原理，将 无穷项之和的表示式中高于无穷项之和的表示式中高于 次的各次的各项全部化为项全部化为 幂次的各项之和，经整理后即可将幂次的各项之和，经整理后即可将 化为有限项之和化为有限项之和对于对于 方阵方阵A有如下特性：有如下特性： kk ？如如何何求求tAe. 2凯莱凯莱-哈密顿定理（哈密顿定理（Cayley-Hamiton theorem）：）：kjbbbbkkj ,112210AAAIA也即，对于也即，对于 ，可利用，可利用 以下幂次的各项之和表以下幂次的各项之和表示示 ，式中，式中 为各项系数。为各项系数。kj jAb1kAtAek1kAtAe112
39、210ekktccccAAAIA(2)(3)式中各系数式中各系数 c 都是时间都是时间t 的函数，为书写简便省略了的函数，为书写简便省略了变量变量t。按照凯莱按照凯莱-哈密顿定理，将矩阵哈密顿定理，将矩阵A的特征值代入式的特征值代入式(2)后，后，方程仍满足平衡，利用这一关系可求得式方程仍满足平衡，利用这一关系可求得式(3)中的系数中的系数c ，最后解出最后解出 。tAe具体计算步骤：具体计算步骤：求矩阵求矩阵A的特征值；的特征值； 将各特征值分别代入式（将各特征值分别代入式（3 3），求系数），求系数c。 A的特征值各不相同，分别为的特征值各不相同，分别为 ，代入式，代入式(3)有有 k,2
40、1 e e e11221012122221011121211021kkkkktkktkktcccccccccccck(4)若若A的特征根的特征根 具有具有m阶重根，则重根部分方程为阶重根，则重根部分方程为 1mkkmmmtmtmmkkttkktcmkkcmcmcmtckcctcccc1121111111211121111212110)!(!1-! 2)!1( !1eedd 12eedd e11111其他非重根部分与式其他非重根部分与式(4)相同处理，两者联立解得要求相同处理，两者联立解得要求的系数。的系数。(5) , 412-1dddd2121tttttt230011已知系统的状态方程和起始条
41、件为已知系统的状态方程和起始条件为试求系统的状态变量。试求系统的状态变量。 41214 12 - 11 00 1ssssAI s(1)求特征矩阵求特征矩阵)3)(2(detsssAI1124adjsssAI其行列式和伴随矩阵分别为其行列式和伴随矩阵分别为 321321322324detadjsssssssssssssAIAI s所以预解矩阵为所以预解矩阵为 ssssBE0 0Es 因为因为 25372103723 321321322324sssssssssssssss所以所以 )(5)(7)(10)(72323tuetuetuetuettttt则状态变量矩阵为则状态变量矩阵为 tetetttt
42、tt21212101101 02 1dddd tetetttrtr21212101011011已建立状态方程和输出方程为已建立状态方程和输出方程为001011 tutete021起始状态为起始状态为输入矩阵为输入矩阵为用拉氏变换法求响应用拉氏变换法求响应 和转移函数矩阵和转移函数矩阵 。 tr sH所以预解矩阵所以预解矩阵 为为 s(1)(1)求特征矩阵求特征矩阵10211 02 11 00 1ssssAI) 1)(1(detsssAI1021adjsssAI其行列式和伴随矩阵分别为其行列式和伴随矩阵分别为 11011211detadjsssssssAIAI sH（2 2）求转移函数矩阵）求转
43、移函数矩阵 DBCHss01010110110112111011ssss01111sssss tr（3 3）求输出矩阵）求输出矩阵 ssssEHCR0ssssssssss1001111011101121110110112ss 0)()(e2 tututtr所以所以已知已知 ，求，求 。 1021AtAe0111 02 1AI列出列出A的特征方程的特征方程1, 121其特征根为其特征根为1010eecccctt代入式代入式(4)有有ttttccee21ee2110 e0eee1021ee211 00 1ee21e10tttttttttccAIA因而因而 解得解得已知已知 ，求，求 。 3111A
44、tAe列出列出A的特征方程的特征方程0213) 1(3 1- 1 12AI12102e2ectcctt2特征根特征根 为二阶重根。为二阶重根。按按式式(5)有有 ttttctc21220ee2e eeeeee 3 11 1e1 00 1e2ee22222222210tttttttttAtttttttAcIc因而因而解得解得状态方程的一般形式和建立方法概述状态方程的一般形式和建立方法概述由系统的输入由系统的输入 输出差分方程建立状态方程输出差分方程建立状态方程给定系统的方框图或流图建立状态方程给定系统的方框图或流图建立状态方程由研究对象的运动规律直接建立状态方程由研究对象的运动规律直接建立状态方
45、程离散系统的状态方程：一阶差分方程组离散系统的状态方程：一阶差分方程组为系统的为系统的r 个输出信号。个输出信号。为系统的为系统的m 个输入信号；个输入信号； nnnk,21 nxnxnxm,21 nynynyr,21为系统的状态变量；为系统的状态变量； ,;,;,;,2121212122212111nnxnxnxnnnhnynnxnxnxnnnhnynnxnxnxnnnhnymkrrmkmk输出方程：输出方程： ,;,1,;,1,;,12121212122212111nnxnxnxnnnfnnnxnxnxnnnfnnnxnxnxnnnfnmkkkmkmk状态方程：状态方程：如果系统是线性时不
46、变系统，则状态方程和输出方程是状如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线形组合，即态变量和输入信号的线形组合，即 nxbnxbnxbnananannxbnxbnxbnananannxbnxbnxbnanananmkmkkkkkkkkmmkkmmkk22112211222212122221212121211112121111 1 1 1状态方程：状态方程： nxdnxdnxdncncncnynxdnxdnxdncncncnynxdnxdnxdncncncnymrmrrkrkrrrmmkkmmkk221122112222121222212121212111121211
47、11 输出方程：输出方程： 可见：可见：n+1时刻的状态变量是时刻的状态变量是n时刻状态变量和输入信号的时刻状态变量和输入信号的函数。函数。在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变量常常选延时单元的输出。量常常选延时单元的输出。 1 111111nnnnnnmmrkkrrmmkkkkkxDCyxBA输出方程输出方程状态方程状态方程 nnnnk21 kkkkkkaaaaaaaaa212222111211Akmkkmmbbbbbbbbb212222111211B nynynynr 21y nxnxnxnm 21xrkrrkkccccccccc2122
48、22111211Crmrrmmddddddddd212222111211D若系统是线性时不变的，则若系统是线性时不变的，则A,B,C,D 各元素都为常数，各元素都为常数，不随不随n 改变。改变。 若若A,B,C,D 矩阵是矩阵是n 的函数，表明系统是线性时变的，的函数，表明系统是线性时变的，图中，图中， 是延时单元，它的输入为是延时单元，它的输入为 ，输出，输出 。1 z 1 n n nD nA nB nC1z ne nr t对于离散系统通常用下列对于离散系统通常用下列 阶差分方程描述（输阶差分方程描述（输入入输出方程）输出方程） k knxbknxbnxbnxbnxbknyaknyanyan
49、yanykkkk1211211210121 kkkkkkkkazazazbzbzbzbzH1111110其系统函数为其系统函数为 kkkkkkkkkzazazazazzbzbzbzbbzH11221112210考虑到离散系统用延时单元来实现，因而上式改写为考虑到离散系统用延时单元来实现，因而上式改写为其流图形式其流图形式 nx ny0b1b2b1kbkb11z121kk1a2a1ka2kaka2kb31z1z1z nxnanananannnnnnnkkkkkkk11221113221 1111选延时单元输出作为状态变量，则有选延时单元输出作为状态变量，则有 nxbnbabnbabnbabnba
50、bnxnanananabnbnbnbnbnykkkkkkkkkkkkkk001110222011101122110112211 nnnnnnDxCyBxA1121100001000010aaaakkkA1000B 0110220110,babbabbabbabkkkk，C0bD其中其中 给定离散系统的方框图或流图，很容易建立系统的状给定离散系统的方框图或流图，很容易建立系统的状态方程，只要取延时单元的输出作为状态变量即可。态方程，只要取延时单元的输出作为状态变量即可。 四由研究对象的运动规律直接建立状态方程描述系统的差分方程为描述系统的差分方程为 33221342312nxnxnxnynyny
