1、北京市西城区 20212022 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 1 页（共 6 页） AA1E.CC1BB1.F北京市西城区 20212022 学年度第一学期期末试卷 高三数学 2022.1 本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合32Axx，23Bxx，则AB （A）( 3,3 （B）( 3,3) （C）( 3,2 （D）( 2,2 （2）在复
2、平面内，复数(12i)iz 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）在ABC 中，若2a ，3b ，1cos()3AB，则c （A）17 （B）4 （C）15 （D）3 （4）若双曲线2222:1xyCab的一条渐近线方程为52yx，则双曲线C的离心率为 （A）12 （B）23 （C）32 （D）2 （5）如图，在直三棱柱111ABCABC中，点,E F分别是棱11,AC BC的中点，则下列结论中不正确的是 （A）1/CC平面11A ABB （B）/AF平面111A B C （C）/EF平面11A ABB （D）/AE平面11B BCC 北京市西城区
3、 20212022 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 2 页（共 6 页） （6）已知函数1,0,( )2,0 xxxf xax的值域为R，则实数a的取值范围是 （A）0a （B）0a （C）1a （D）1a （7）已知na为等比数列，nS为其前n项和，若213Sa，223aa，则4S （A）7 （B）8 （C）15 （D）31 （8）已知函数( )f x的图象在区间0, 2上连续不断，则“(0)(1)(2)0fff”是“( )f x在0, 2上存在零点”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）按照“碳达峰”、“碳中和”的实
4、现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口. Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah） ，放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式：nCIt ，其中n为Peukert常数. 为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流20AI 时，放电时间20ht ；当放电电流30AI 时，放电时间10ht .则该蓄电池的Peukert常数n大约为 （参考数据：lg20.30, lg30.48） （A）43 （B）53 （C）83 （D
5、）2 （10）设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为AXMm，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知1A，2A，3A，nA是集合*N 的元素个数均不相同的非空真子集，且123120nAAAAXXXX，则n的最大值为 （A）14 （B）15 （C）16 （D）18 北京市西城区 20212022 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 3 页（共 6 页） 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）在62()xx的展开式中，常数项为_.（用数字作答） （12）已知点(2,4)A在抛物线2:2C ypx上，F为抛物线C的焦点，O为坐
6、标原点. 则抛物线C的方程为_；AOF的面积为_. （13） 在长方形ABCD中，|1AB ，13BEBC ， 且AB AEAD AE ， 则|AD _， AE AC _. （14）已知函数cos() ,0,( )sin,0 xxf xxx是偶函数，则的一个取值为_. （15） 在棱长为 1 的正方体1111ABCDA BC D中， 过点A的平面分别与棱111,BB CC DD交于点E,F,G，记四边形AEFG在平面11BCC B上的正投影的面积为1S，四边形AEFG在平面11ABB A上的正投影的面积为2S. 给出下面有四个结论： 四边形AEFG是平行四边形； 12SS的最大值为2； 12S
7、 S的最大值为14； 四边形AEFG可以是菱形，且菱形面积的最大值 为62. 则其中所有正确结论的序号是_. AA1DD1CC1BB1北京市西城区 20212022 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 4 页（共 6 页） 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 13 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD 平面ABCD，2PDAD，4AB ，点E在线段AB上，且34AEAB. （）求证：CE 平面PBD； （）求二面角PCEA的余弦值. （17）（本小题 13 分） 已知函数( )sin()(0,0,0)f xAxA的部
8、分图象如图所示，在条件、条件、条件 这三个条件中选择两个作为已知 （）求函数( )f x 的解析式； （）设函数( )( ) cos(2)3g xf xx，若( )g x在区间0,m上单调递减，求m的最大值 条件：2ca； 条件：3b ； 条件：712c 注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分 北京市西城区 20212022 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 5 页（共 6 页） （18）（本小题 14 分） 2021 年 7 月 11 日 18 时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台 2021 年首次发布暴雨橙色预警. 中央气象台预计，7 月 11 日至 13 日，
9、华北地区将出现 2021 年以来的最强降雨. 下表是中央气象台 7 月 13 日 2:00 统计的 24 小时全国降雨量排在前十的区域. 北京密云 山东乐陵 河北迁西 山东庆云 北京怀柔 河北海兴 河北唐山 天津渤海 A 平台 河北丰南 山东长清 180 毫米 175 毫米 144 毫米 144 毫米 143 毫米 140 毫米 130 毫米 127 毫米 126 毫米 126 毫米 （）从这 10 个区域中随机选出 1 个区域，求这个区域的降雨量超过 135 毫米的概率； （）从这 10 个区域中随机选出 3 个区域，设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量，求X的分布列和期望； （）在
10、7 月 13 日 2:00 统计的 24 小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过 140毫米的区域降雨量的方差为21s， 降雨量在 140 毫米或 140 毫米以下的区域降雨量的方差为22s，全部十个区域降雨量的方差为23s. 试判断21s，22s，23s的大小关系.（结论不要求证明） （19）（本小题 15 分） 已知函数2( )e (1)xf xxax. （）若0a ，求( )f x在点(0,(0)f处的切线方程； （）若( )f x 在( 1,1)上恰有一个极小值点，求实数a的取值范围； （）若对于任意(02x，2( )e (cos1)xf xxx恒成立，求实数a的取值范围. 北京
11、市西城区 20212022 学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 6 页（共 6 页） （20）（本小题 15 分） 已知椭圆2222:1xyMab的焦点为(2,0)F，长轴长与短轴长的比值为2. （）求椭圆 M 的方程； （）过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于,A B 两点，BCx轴于点C，ADx轴于点D，直线BD交直线4x 于点E，求ECD与EAB的面积之比. （21）（本小题15分） 已知数列12:,(4)NA a aaN，其中12,Na aaZ，且12Naaa. 若数列12:,NA a aa满足11,NNaa aa， 当2,3,1iN时，11iiaa或11ia ，则称12:,NA a aa为数列 A的“紧数列”. 例如，数列:2,4,6,8A的所有“紧数列”为2,3,5,8；2,3,7,8；2,5,5,8；2,5,7,8. （）直接写出数列:1,3,6,7,8A的所有“紧数列”A； （）已知数列A满足：11a ，2NaN，若数列A的所有“紧数列”A均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为1N ； （）已知数列A满足：10a ，22a ，对于数列A的一个“紧数列”A，定义集合( )|2,3,1iiS AaaiN，如果对任意( )xS A，都有( )xS A ，那么称A为数列A的“强紧数列”. 若数列A存在“强紧数列”，求Na的最小值.（用关于N的代数式表示）
