1、引引 言言一、什么是高等数学一、什么是高等数学 ?初等数学 研究对象为不变的量（常量）常量）,所涉及的运算是常量之间的算术算术运算.高等数学 研究对象为变动的量（变量）变量）,基本运算是变量的极限极限运算. 高等数学是一门以变量作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科. 整个高等数学是建立在极限理论的基础之上的.1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册)(下册)3. 向量代数与空间解析几何4. 无穷级数5. 常微分方程主要内容主要内容多元微积分二、如何学习高等数学二、如何学习高等数学 ?1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.2. 注意学
2、习方法.比如多听，多练，多想工科专业数学基础课，考研教材教材:主要参考书主要参考书:高等数学学习与提高高等数学学习与提高（上册）（上册）高等数学高等数学 （上册）（上册）武汉大学数学与统计学院 主编高等教育出版社湛少锋, 胡新启 编武汉大学出版社第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁极限与连续 第一章 二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 预备知识元素 a 属于集合 M , 记作元素 a 不属于集合 M , 记作一、一、 集合集合1. 定义及表示法定义及表示法定义定义 1. 具有某种特定性质的事
3、物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集 , 记作 . Ma( 或Ma) .Ma注注: M 为数集 *M表示 M 中排除 0 的集 ;M表示 M 中排除 0 与负数的集 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示法表示法：(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .例例: 有限集合naaaA,21niia1自然数集,2,1,0Nnn(2) 描述法： xM x 所具有的特征例例: 整数集合 ZxNx或Nx有理数集qpQ,N,Zqp p 与 q 互质实数集合 Rx x 为有理数或无理数开区间 ),(xbabxa闭区间 ,xbabxa机动 目录 上页 下
4、页 返回 结束 )(aa ),(Uxa ),xbabxa ,(xbabxa无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx点的 邻域邻域a ),(xaaxa xaxax0其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .半开区间去心 邻域邻域左左 邻域邻域 :, ),(aa右右 邻域邻域 :. ),(aa机动 目录 上页 下页 返回 结束 是 B 的子集子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2 .则称 A.BA若BA,AB 且则称 A 与 B 相等相等,.BA 例如 ,ZNQZRQ显然有下列关系 :;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CA
5、, ,A若Ax,Bx设有集合,BA记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 AcABB定义定义 3 . 给定两个集合 A, B, 并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定义下列运算:ABBA余集)(ABBABcA其中直积 ),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集ABABBABA机动 目录 上页 下页 返回 结束 Bx或二、二、 映射映射1. 映射的概念映射的概念 某校学生的集合某校学生的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定规则入座机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例1. 引
6、例引例2.xxysinRxRy引例引例3.oxy1QP1),(22yxyxC11), 0(yyY(点集)(点集)CP点向 y 轴投影YQ投影点xysinxy oxy1x2xxxysin机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f , 使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应 , 则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射, 记作.:YXf元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像 , 记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像原像 .集合 X 称为映射 f 的定义域定义域 ;Y 的子集)(XfXxxf)(称为 f 的
7、 值域值域 .注意注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . XYfxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 对映射YXf:若YXf)(, 则称 f 为满射满射; XYf)(Xf若,2121xxXxx有 )()(21xfxf则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射. XY)(Xff引例引例2, 3机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例2引例引例2例例1.三角形)(三角形集合海伦公式bcaS面积),0(例例2. 如图所示,Sxyoxey x),0 x对应阴
8、影部分的面积),0S则在数集),0自身之间定义了一种映射(满射满射)例例3. 如图所示,xyo),(yxrcosrx sinry 2R),(yxf)2,0),0),(r:f则有(满射满射) (满射满射)机动 目录 上页 下页 返回 结束 X (数集 或点集 ) 说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集)机动 目录 上页 下页 返回 结束 f f 称为X 上的泛函X ( ) X f f 称为X 上的变换 R f f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子. 名称. 例如, 2. 逆映射与复合映射逆映射与复合映射(1) 逆映射的定义 定义定义: 若映射)(:DfDf为单射,
9、 则存在一新映射,)(:1DDff使习惯上 ,Dxxfy, )(的逆映射记成)(,)(1Dfxxfy例如, 映射, 0,(,2xxy其逆映射为,xy),0 x)(DfDf1f,)(, )(1xyfDfy其中,)(yxf称此映射1f为 f 的逆映射 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 复合映射机动 目录 上页 下页 返回 结束 1Dfg手电筒DD2D2D引例. 复合映射 定义. Dxg)()(Dgxgu1Duf)(ufy 则当1)(DDg由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复, )(xgfy .),(Dxxgf设有映射链记作)(1DfY 合映射 ,时,或)(1DfY )(ufy )(x
10、gf1DDx)(xgu gfgf )(Dg机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 构成复合映射的条件 1)(DDg不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.定义域三、函数三、函数1. 函数的概念函数的概念 定义定义4. 设数集,RD则称映射R:Df为定义在D 上的函数 , 记为Dxxfy, )( f ( D ) 称为值域 函数图形函数图形: ),(yxC Dx, )(xfy xy) ,(baDabxy)(DfD机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量因变量DxfDxxfyyDfy),()(对应规则)(值域)(定义域)例如, 反正弦主值xxfyarcsin)(, 1, 1D,)(22Df
11、定义域定义域 对应规则对应规则的表示方法: 解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域xyoxy xxf)(又如, 绝对值函数0,xx0,xx定义域RD值 域),0)(Df机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知函数 1,110,2)(xxxxxfy解解:)(21f及. )(1tf写出 f (x) 的定义域及值域, 并求f (x) 的定义域 ),0D值域 ),0)(Df21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2txyOxy2xy112. 函数的几种特性函数的几种特性设函数, )(Dxxfy且有区间.DI (1) 有界性有界性,Dx,0M使,)(M
12、xf称 )(xf, Ix,0M使,)(Mxf称 )(xf说明说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (2) 单调性单调性为有界函数.在 I 上有界. ,Dx使若对任意正数 M , 均存在 ,)(Mxf则称 f ( x ) 无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界,)(,Mxf),(,xfM 当,21Ixx21xx 时, )()(21xfxf若称 )(xf为 I 上的, )()(21xfxf若称 )(xf为 I 上的单调增函数 ;单调减函数 .xy1x2x机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoxx(3) 奇偶性奇偶性,Dx且有,Dx若, )()(xfxf则称 f (x) 为偶函数;若,
13、)()(xfxf则称 f (x) 为奇函数. 说明说明: 若)(xf在 x = 0 有定义 ,. 0)0(f)(xf为奇函数奇函数时,则当必有例如,2)(xxeexfyxch 偶函数xyoxexexych双曲余弦 记机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如,奇函数xsh双曲正弦 记再如,xxychsh奇函数xth双曲正切 记说明: 给定 ),(),(llxxf则 2)()(2)()()(xfxfxfxfxf偶函数偶函数 奇函数奇函数 Oyx11xythxyOxexexysh2ee)(xxxfyxxxxeeee(4) 周期性周期性,0,lDx且,Dlx)()(xflxf则称)(xf为周期函数 ,
14、to)(tf22xo2y2若称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为2注注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数Cxf)(狄里克雷函数)(xfx 为有理数x 为无理数, 1,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 反函数与复合函数反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质若函数)(:DfDf为单射, 则存在逆映射DDff)(:1习惯上,Dxxfy, )(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为 f 的反函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增,)(1存在xfy且也单调递增 性质: 2) 函数)(
15、xfy 与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy 对称 .例如 ,),(,xeyx对数函数),0(,lnxxy互为反函数 ,它们都单调递增, 其图形关于直线xy 对称 .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPxyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数gR(2) 复合函数 fDuufy),(,),(DxxgufgDR 且则Dxxgfy, )(设有函数链称为由, 确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 fgDR 不可少. 例如, 函数链 :,arcsinuy ,cosxu ,cosarcsinxy xR但可定义复合函数21xu时, 虽不能在自然域
16、 R下构成复合函数,可定义复合函数 1, 1, )1arcsin(2xxy当改DgfDfyux机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 0,uuy可定义复合函数:,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZn02cot,22xkxk时),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv4. 初等函数初等函数(1) 基本初等函数幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数(2) 初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如 ,2xy y0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .可表
17、为故为初等函数.又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 非初等函数举例:符号函数xysgn当 x 0,1当 x = 0,0当 x 0,1xyo11取整函数xy 当Znnxn,1,nxyo134212机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数,1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf x 换为 f (x)1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10,13xx1,xx例例5.)(xff求解解: 例例6. 求y的反函数及其定义域.解解:01x当时,2xy 则1,0(,yyx10 x当时,xyln则0,(,yexy21 x
18、当时,12xey则2,2(,ln12eyxy反函数y1,0(,xx0,(,xex2,2(,ln12exx定义域为2,2(1,(e21,210 ,ln01, 12xexxxxx212e21yox1, 1,0(, 0,(, 2,2(e机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 集合及映射的概念定义域对应规则3. 函数的特性有界性, 单调性,奇偶性, 周期性4. 初等函数的结构2. 函数的定义及函数的二要素第二节 目录 上页 下页 返回 结束 且备用题备用题0)0(f,)()(1xcxfbxfa,ba 证明)(xf证证: 令,1xt 则,1tx t ctfbfat)()(1由xcxfbxfa)()(1xcxfbfax)()(1消去),(1xf得)0()(22xxaxbabcxf),()(xfxf显然, 0)0(f又)(xf故0 x时其中a, b, c 为常数, 且为奇函数 .为奇函数 .1. 设机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 . 设函数),(, )(xxfy的图形与,ax 均对称, 求证)(xfy 是周期函数.)(babx证证: 由 )(xaf)(xf的对称性知),(xaf )(xbf)(xbf于是)(xf)(axaf)(axaf)2(xaf)2(bxabf)2(bxabf)(2abxf故)(xf是周期函数 , 周期为)(2abT
