1、二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则第四节一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第二章 一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：变速直线运动机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为 n 阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数二阶导数
2、, 记作y )(xf 的导数为依次类推 ,分别记作则称机动 目录 上页 下页 返回 结束 设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次类推 ,nnany!)(233xa例例1.思考思考: 设, )(为任意常数xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(问可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 nx)1 ( ,3xaeay 例例2. 设求解解:特别有:解解:! ) 1( n规定 0 ! = 1思考思考:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例3. 设, )
3、1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设,sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 . 设bxeyxasin解解:bxaeyxasin)cossin(xbbxbaexa求为
4、常数 , ),(ba.)(nybxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay )sin(bxaexa222)()(nnbayxaeba22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(nbxexa)cos(bxbexa机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )
5、0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x阶数机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数 , 则)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C为常数)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 设函数vunn) 1(推导 目录 上页 下页 返回 结束 规律规律vu 3)(vuvuvu)(
6、vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证( )()( )0()Cnnkn kknkuvuv例例7. ,22xexy 求.)20(y解解: 设,22xveux则xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k机动 目录 上页 下页 返回 结束 0!2) 1() 1(nynn)(nyn例例8. 设,arctan xy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1 (2yx用莱布尼兹公式求 n 阶导数)1
7、 (2xx22令,0 x得)0() 1()0() 1() 1(nnynny),2, 1(n由,0)0(y得,0)0( y,0)0()4(y,)0() 12( my)0() 12(2) 12(mymm)0(! )2() 1(ymm0)0()2(my ) 1(ny12, ! )2() 1(2,0)0()(mnmmnymn即), 2, 1 , 0(m由, 1)0( y得)0(! )2() 1()0() 12(ymymm机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 设)(xyy 由方程eyxey确定 , , )0(y解解: 方程两边对 x 求导, 得0yxyyey再求导, 得2yey yxey)(02
8、 y当0 x时, 1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求. )0(y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若参数方程)(, )(tt二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(tytx中)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例例10. 设)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(t
9、f , t dd22xy1)(tf 已知解解:)()(tftfty注意注意 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1) 逐阶求导法(2) 利用归纳法(3) 间接法 利用已知的高阶导数公式(4) 利用莱布尼兹公式高阶导数的求法)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn1. 如何求下列函数的 n 阶导数?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2312xx
10、y1121xxy11)() 1(1)2(1!) 1(nnnnxxny(3)12) 1)(2(1xBxAxx提示提示: 令)2(xA原式2x) 1(xB原式1x11机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxy66cossin)4(3232)(cos)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba )(22babax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1)(2(232xxxx各项均含因子 ( x 2 )1)( !nxfn2. (
11、填空题) (1) 设,cos)23()(1622xnxxxf则)2()(nf)(xf16cos) 1(2xxn)()(xfn16cos) 1(2xxn提示提示:nx)2( ! n22!n(2) 已知)(xf任意阶可导, 且2n时)()(xfn提示提示:,)()(2xfxf则当 )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf3. 试从 yyx1dd导出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y13)(yy 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 设)(sin2xfxy 求,y 其中 f 二阶可导.xxfxcos)(sin2)(sin2xf备用题备用题)(sin2xfxy2x)(sin xf xcos)cos)(sin() )(sin2(2 xxfxxfxy)sin)(sin2xxfxx2)(sin xf xcosxxfx22cos)(sin )(sin)sincos4()(sin22xfxxxxxf)(sincos22xfxx
