1、二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分 第二章 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,2xA 0 xx面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0 xx边
2、长由其机动 目录 上页 下页 返回 结束 的微分微分,定义定义: 若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A 为不依赖于x 的常数)则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记作yd,df或即xAyd定理定理: 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在点0 x可微可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 : 函数证证: “必要性必要性” 已知)(xfy 在点 可微 ,0 x则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)
3、(0)( xoxA)(xfy 在点 的可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 : 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf即xxfy)(d0在点 可导,0 x则线性主部的此项为时yxf0)(0说明说明:0)(0 xf时 ,xxfy)(d0)()(0
4、 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时, 有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分的几何意义xxfy)(d0 xx0 xyO)(xfy 0 xyydxtan当 很小时,xyyd时，当xy 则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为称 x记作xdxyxd记例如例如,3xy yd02. 02xx23xx02. 02xx24. 0,arctanxy ydxxd112基本初等函数的微分公式 (见 P111表)又如又如,机动 目录 上页
5、下页 返回 结束 二、二、 微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则)(d. 1vu )(d. 2uC(C 为常数)(d. 3vu)0()(d. 4vvu分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性5. 复合函数的微分则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1., )1(ln2xey求 .dy解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe机动 目录 上页 下页
6、 返回 结束 例例2. 设,0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一阶微分形式不变性 , 有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC数学中的反问题往往出现多值性.)( 为任意常数C注意:注注)(22 44)(22)(4sin22)sin(2k224数学中的反问题往往出现多值性 , 例如 三、三、 微分在
7、近似计算中的应用微分在近似计算中的应用)()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x证明证明: 令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1 (机动 目录 上页 下页
8、 返回 结束 180dx29sin的近似值 .解解: 设,sin)(xxf取300 x,629x则1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(例例4. 求29sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 4848. 029sin5245的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(004938. 3例例5. 计算xx1)1 (004942. 32455例例6. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,解解: 已知球体体积为334RV镀铜体积为 V 在01. 0, 1RR时体积的增量,VVVd01
9、. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用铜约为16. 113. 09 . 8( g )用铜多少克 . )cmg9 . 8:(3铜的密度估计一下, 每只球需要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、 微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,aA称为a 的绝对误差绝对误差aaA称为a 的相对误差相对误差若AaAA称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限aA称为测量 A 的相对误差限相对误差限机动 目录 上页 下页 返回 结束 误差传递公式误差传递公式 :已知测量误差限为,x按公
10、式)(xfy 计算 y 值时的误差yydxxf)(xxf)(故 y 的绝对误差限约为xyxf)(相对误差限约为xyxfxfy)()(若直接测量某量得 x ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设测得圆钢截面的直径 mm,0 .60D测量D 的 绝对误差限,mm05. 0D欲利用公式24DA圆钢截面积 ,解解: 计算 A 的绝对误差限约为DAADD205. 00 .602715. 4 A 的相对误差限约为242DDADADD20 .6005. 02%17. 0试估计面积的误差 . 计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 (mm)内容小结内容小结1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导
11、可微2. 微分运算法则微分形式不变性 :uufufd)()(d( u 是自变量或中间变量 )3. 微分的应用近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设函数)(xfy 的图形如下, 试在图中标出的点0 x处的yy ,d及,dyy 并说明其正负 .yd0 xx00 xxyOy00yyd2.xxeed )d(arctanxe211xd xxee21xxsindtand. 3x3secxxd2sin) (d. 4Cx2cos21机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 设)(xyy 由方程063sin33yxyx确定,.d0 xy解解: 方程两边求微分, 得xx d32当0 x时,0y由上式得xyxd21d0求yy d32xxd3cos30d6y6. 设 ,0a且,nab 则nnba1nanba机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 已知, )1sinarcsin(2xy 求.d y解解：因为 y所以yd备用题备用题22)1(sin11xx1sin2x1cos)1(2xxy dxxxxd2sin)1(sin11222机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边求微分, 得已知,yxexy求.d y解解：xyyxddyd2.)d(dyxeyxxexeyyxyxd习题课 目录 上页 下页 返回 结束
