1、 第三章第三章 地球重力场及形状的基本理论地球重力场及形状的基本理论 地球重力场状基本理论地球重力场状基本理论3.1.1 地球的概说（略）地球的概说（略）3.1.2 地球运动概说地球运动概说 地球是太阳系中的一颗行星，它有自转和公转运动。地球是太阳系中的一颗行星，它有自转和公转运动。 1、地球的自转、地球的自转 地球的自转地球的自转即地球绕地轴由西向东旋转。即地球绕地轴由西向东旋转。 地球的地球的绕地轴旋转绕地轴旋转360度的时间：太阳日、恒星日。度的时间：太阳日、恒星日。 地球的自转速度与纬度和高度有关：地球的自转速度与纬度和高度有关： T2ThRV)cos(2smTRV/4642赤道取地球
2、的半径取地球的半径R=6378245m, T=86164scos赤道海平面VV地球重力场状基本理论 22abea 22(1)bpaea 22221xyab 1cospref f 真近点角，真近点角，p 为焦参数（半通径）为焦参数（半通径）2、地球的公转、地球的公转地球的公转满足开普勒三大行星运动定律地球的公转满足开普勒三大行星运动定律:1) 行星运动轨迹是椭圆，太阳位于其行星运动轨迹是椭圆，太阳位于其 椭圆的一个焦点上。椭圆的一个焦点上。 直角坐标方程：直角坐标方程：极坐标方程：极坐标方程：地球重力场状基本理论 2) 行星运动在单位时间内扫过的面积相等；行星运动在单位时间内扫过的面积相等； 在
3、时间在时间 t 内扫过的面积内扫过的面积 s 相等，则面速度相等，则面速度 3) 行星运动周期的平方与轨道长半轴的立方的比为常数。行星运动周期的平方与轨道长半轴的立方的比为常数。 假设假设a 和和a1 , T 和和 T1分别表示两行星运行轨道的长半径与轨分别表示两行星运行轨道的长半径与轨道运行周期，则有道运行周期，则有221sabaetTT ABCDEF ABCDEFVVV221331TTaa 地球重力场状基本理论地球重力场状基本理论222M mM mFkfrr 22224, vravrarTT 22222()()MmMmakkrrr 322() 4af MmT 宇宙空间任意两质点，彼此相互吸
4、引，其引力大小与他们的宇宙空间任意两质点，彼此相互吸引，其引力大小与他们的质量成积成正比，与他们之间的距离平方成反比。质量成积成正比，与他们之间的距离平方成反比。在太阳系中，行星与太阳处与相对运动中，行星相对于太阳在太阳系中，行星与太阳处与相对运动中，行星相对于太阳运动的相对加速度：运动的相对加速度：牛顿万有引力定律：牛顿万有引力定律：开普勒定律是牛顿万有引力定律的基础。开普勒定律是牛顿万有引力定律的基础。22rmkMFa太阳22rMkmFa行星地球重力场状基本理论地球重力场状基本理论考虑到考虑到Mm注意：注意： f 、 G、 k2 在不同的教材都表示引力常数。在不同的教材都表示引力常数。由太
5、阳系行星的运动周期与半径的关系，则质量为由太阳系行星的运动周期与半径的关系，则质量为m1的行星有的行星有212234)(mMkTa)/1 ()/1 ()()(13131313212MmaMmamMamMaTT开普勒第三定律更精确的表达式：开普勒第三定律更精确的表达式：332222324)(aGMaMkTnmMkTa2rmMfF2mP PFg3.2 地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理3.2.1 引力与离心力引力与离心力其它作用力（太阳、月亮）大多数情况下可忽略。其它作用力（太阳、月亮）大多数情况下可忽略。地球地球重力场重力场的基本原理的基本原理 3.2.2 引力位和离心力位引力位和离心力位
6、 由理论力学可知，如果某一空间（有限或无限）的任意一点都有由理论力学可知，如果某一空间（有限或无限）的任意一点都有一定力的作用，而力的大小与方向只与该点的位置有关，则这一一定力的作用，而力的大小与方向只与该点的位置有关，则这一空间称为力场。就力场而言，具有共同的特性，即力场所做的功空间称为力场。就力场而言，具有共同的特性，即力场所做的功与路径无关，只与起点与终点有关。这样的力称为保守力。引力与路径无关，只与起点与终点有关。这样的力称为保守力。引力与离心力都是保守力。与离心力都是保守力。l引力位的概念：引力位的概念：单位质点受物质单位质点受物质M的引力作用产生的位能称为的引力作用产生的位能称为引
7、引力位力位，或者说，或者说将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。 引力位的表达式：引力位的表达式：rMfVdrdVa地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理dA2rMmfFdrrMmfdA2drrMmfdAdV2CrMmfVrMfVrMmfV万有引力定律：万有引力定律：推导如下推导如下:假设质点沿力线方向移动假设质点沿力线方向移动dr做功为做功为，则有则有此功等于位能的减少，此功等于位能的减少，积分则有：积分则有：因为因为r, V=0。所以。所以 C=0 ，则有，则有取取 m=1，则单位的引力位，则单位的引力位地球重力场的基本原理maF rdm
8、fdVVM )(2rMfa2rMfdrdVVdrdVagrad地球总体的引力位（位函数）：地球总体的引力位（位函数）：1、由牛顿第二定律可知：、由牛顿第二定律可知：2、对位函数求导：、对位函数求导：, 则有则有2rMmfF 地球重力场的基本原地球重力场的基本原理理 结论：结论：单位质点的物体在引力场中的加速度等于引力位的导单位质点的物体在引力场中的加速度等于引力位的导数，方向与径向方向相反。数，方向与径向方向相反。 推论：推论：位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度加速度( (或引力或引力) )向量的负值。向量的负值。 zVayVax
9、Vazyx,l离心力位：离心力位：离心力场中，离心力做功离心力场中，离心力做功: : PdldQ 2222222lQdlldldQsinryxQ2222222)(2QVW)(2222yxrdmfW)()()(zQzVzWgyQyVyWgxQxVxWgzyx地球重力场的基本原理3.2.3 重力位重力位n 重力是引力和离心力的合力，重力位重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位是引力位V和离心力和离心力位位Q之和：之和：n 对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量：n 各分力的模：各分力的模： 方向余弦：方向余弦： n重力位的有关性质重力位
10、的有关性质u 重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上的分力：重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上的分力： 222zyxggggggzgggygggxgzyx),cos(,),cos(,),cos(),cos(lggglWl地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理gdWdl地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理u当当g与与l相垂直时，那么相垂直时，那么d=0，常数，常数当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等位面，也当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面有无穷多个。其中，我就是我们通常说的水准面。可见水准面有无穷多个。其中，我们
11、把完全静止的海水面所形成的重力等位面，专称它为们把完全静止的海水面所形成的重力等位面，专称它为大地水大地水准面准面。u如果令如果令g与与l夹角等于夹角等于，则有：则有：u重力等位面水准面之间既不平行，也不重力等位面水准面之间既不平行，也不相交和相切。相交和相切。 对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等于使对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等于使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重力加速度的量它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重力加速度的量纲，单位是：纲，单位是： 伽伽(Gal=cms)， 毫伽毫伽(mGal= Gal/1000=10ms) 微伽微伽(Gal= mG
12、al/1000=10m s) 1 1）地面点重力近似值）地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值赤道重力值 978Gal，两两极重力值极重力值 983Gal。重力有从赤道向两极增大的趋势。重力有从赤道向两极增大的趋势。 2 2）地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关，理）地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关，理论上应该是常数，实际上被吸引点除了受地球的引力外，还受论上应该是常数，实际上被吸引点除了受地球的引力外，还受到其它天体的引力，另外地球内部的质量分布以及地球的形状到其它天体的引力，另外地球内部的质量分布以及地球的形状等不是固定不变的，上述因素都会影响地球的引力与离心力，等
13、不是固定不变的，上述因素都会影响地球的引力与离心力，因此因此重力是随时间变化而变化，即相同的点在不同的时刻所观重力是随时间变化而变化，即相同的点在不同的时刻所观测到的重力会有微小差异。测到的重力会有微小差异。地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理3.2.4 地球的正常重力位和正常重力地球的正常重力位和正常重力 )(2222yxrdmfWM地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理 要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状及内部要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分布极其不规则，目物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分布极其不规则，目
14、前也无法知道，故根据上式不能精确地求得地球的重力位，为此前也无法知道，故根据上式不能精确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地球重力位引进一个与其近似的地球重力位正常重力位正常重力位。 3）为了某些科学与实用的目的，需要的是不随时间而变化的）为了某些科学与实用的目的，需要的是不随时间而变化的重力，故应该在观测重力中消除上述各种因素的影响，其中日月重力，故应该在观测重力中消除上述各种因素的影响，其中日月引力作用最大，即所谓的引力作用最大，即所谓的重力固体潮改正重力固体潮改正。重力位表达式：重力位表达式：地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理( , , )x y zMdmfV( , , )
15、 r (,)mmmxyz(,)mmR 正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度便可直正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力位。当知道了地球接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重力位的差异正常重力位，想法求出它同地球重力位的差异（扰动位）（扰动位），便可，便可求出大地水准面与这已知形状求出大地水准面与这已知形状（正常位水准面）（正常位水准面）的差异。最后解的差异。最后解决确定地球重力位和地球形状的问题。决确定地球重力位和地球形状的问题。1 地球引力位表达式地球引力位表达式l 地球惯性矩表达
16、引力位地球惯性矩表达引力位-方法方法1设设 空间一点坐标为空间一点坐标为:地球表面点坐标为地球表面点坐标为:与与与与l建立空间直角坐标系与球面极坐标系建立空间直角坐标系与球面极坐标系21)1 (11lrcos2)(1 cos222222rRrRrRrRrcos2)()1(11221rRrRllrdmlllrfV)16583211 (32地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理将将 用级数展开，再代入引力位公式用级数展开，再代入引力位公式MdmfV21)1 (11lr引力位公式：引力位公式：cos2)(2rRrRl将将代入上式代入上式按按 R/r 合并项可得：合并项可得：地球重力场的基本原理rM
17、fdmrfvM0MdmrRrfvcos1MdmrRrfv)21cos23()(222MdmrRrfv)cos23cos25()(333niivvvvV0210地球重力场的基本原理MdmrRrfvcos101vMrfv0MmMmMmdmMzdmMydmxMxz1, y1, 10000)(31dmzzdmyydmxxrfvMmMmMm0000zyx1）2）再计算：）再计算：Rrzzyyxxmmmcos以地球质心为原点建立坐标：以地球质心为原点建立坐标：地球质心：地球质心：则有：则有：MdmrRrfv)21cos23()(2223）最后计算：）最后计算：666 )2( )2()2(222222222
18、222252MmmMmmMmmMmmmmmmMmmmdmzyyzdmzxxzdmyxxydmyxzzdmzxyydmzyxxrfvMmmMmmMmmdmyxCdmzxBdmzyA)()()(222222 用用A A、B B、C C表式质点表式质点M对对X、Y、Z轴的转动惯量，用轴的转动惯量，用D、E、F表示离心力矩，即表示离心力矩，即MmmMmmMmmdmyxFdmzxEdmzyD)()()(l用球谐函数表达地球引力位（方法用球谐函数表达地球引力位（方法2 2） 勒让德多项式：勒让德多项式：ByzxAxzyrfv)2()2(222222252nnnnndxxdnxP)1(!21)(2)(1)(
19、112)(11xPnnxxPnnxPnnn)()(01xxPxP地球重力场的基本原理666)2(222xyFxzEyzDCzyx地球重力场的基本原理mmmmmmmmmmmmmrrzrryrrxcossinsinsinsincoscossincoscosRrzzyyxxmmmcosdmPrRrfvnnn)(cos)(cos23cos25)(cos21cos23)(coscos)(cos1)(cos332210PPPPcossinsinsinsincoscossincoscosrrzrryrrx90rMfdmrfvM0MdmrRrfvcos1MdmrRrfv)21cos23()(222MdmrRr
20、fv)cos23cos25()(333则第则第n阶地球引力位公式：阶地球引力位公式：地球重力场的基本原理称为称为n阶主球函数阶主球函数(或带球函数或带球函数) (cos )(cos )sin(cos )kkknnkd pPdnKKnKnKnnnnnPKBKAPArV11)(cos)sincos()(cos1)(cosnP)(cosKnP)(cossin ),(coscosKnKnPKPK勒让德多项式中：勒让德多项式中：称为称为 n 阶阶 K 级的勒让德缔合函数级的勒让德缔合函数(或伴随函数或伴随函数)称为称为缔合球函数缔合球函数(当当k=n时称为扇球函数，当时称为扇球函数，当kn时称为田球函数
21、时称为田球函数) 。 00(cos)nnnmMAfR Pdm()!2(cos)cosdm()!knknnmmMnkAfR Pknk()!2(cos)sindm ,1,()!knknnmmMnkBfR Pkknnk球谐系数球谐系数地球重力场的基本原理n用球谐函数表示的地球引力位的公式用球谐函数表示的地球引力位的公式)(cos1010nnnnnnPArVVn正常重力位正常重力位)(cos)sincos(1KnKnKnnKPKBKA00kn10)(cos)sincos(1nnkknknnnnPkBkArVV222sin2rVW 当选取前当选取前3项时，将重力位项时，将重力位W写成写成U )sinco
22、s()(cos121201KKnKnnnnnKBKAPArU 求系数：求系数：001101122011122222, , , , ,AAABAABAB222sin2)(cosrPKn地球重力场的基本原理1)(cos0mPn零阶项只有一个系数零阶项只有一个系数： 00AfMA00n一阶项有三个系数：一阶项有三个系数： 111101BAA、mmmmPPsin)(cos ,cos)(cos111dmRfBdmRfAdmRfAmmMmmMmMsinsincossincos111101mmmmmmmmmmmmmRRzRRyRRxcossinsinsinsincoscossincoscos00001101
23、1001fMydmyfBfMxdmxfAfMzdmzfAMmMmMm地球重力场的基本原理dmyxfBdmzyfBdmzyfdmzxfAdmxzfAdmRyxdmzxdmzyfAMmmMmmMmmmmmMmmMmmmmmm2)(41)(41)()(21)(2122122222221222222222121222122BBAAA、n二阶项有五个系数：二阶项有五个系数： mmmmmmmPPP2221222sin3)(coscossin3)(cos21cos23)(cosdmRfBdmRfBdmRfAdmRfAdmRfAmmMmmmMmmMmmmMmM2sinsin4sincossin2cossin4
24、1coscossin)1cos3(2122222122222212222若地球是旋转椭球体，则有转动惯量 A=B ，将系数代入得到sin2)cos31 (21 23222fMrrKrMfUKMAC02 0)(4 0 )2(221222122dmyxfBdmzyfBABfAdmxzfACBAfAMmmMmmMmm22223sin2)cos31 (2rrACrMfU令令 上式第一项是主项，其余项是微小项，用r=a代替，设赤道的离心力与重力之比为：22232eaaaqagfMfM地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理232Kasin2)cos31 (31 22qrMfU注意：如果正常重力位已知，则
25、对应的正常水准面已知，不同的正常注意：如果正常重力位已知，则对应的正常水准面已知，不同的正常重力位对应不同的正常位水准面，我们寻找的是与大地水准面相近的重力位对应不同的正常位水准面，我们寻找的是与大地水准面相近的正常位水准面的形状，正常位水准面的形状，上式中，对上式中，对r r 和和 取不同的常数值，就得到一取不同的常数值，就得到一簇正常位水准面，取簇正常位水准面，取 ，求得与大地水准面相近的正常位，求得与大地水准面相近的正常位水准面方程：水准面方程： ar ,900132MqUfa2201(1 3cos)sin32MqUfUr221(13cos)sin/(1)3232qqra令令将分母按级数
26、展开，略去将分母按级数展开，略去 高次项，则公式可简化为：高次项，则公式可简化为：q,地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理 另外，旋转椭球面的方程：另外，旋转椭球面的方程： 则有：则有： 4.4.34.4.3正常重力公式正常重力公式 因为：因为： ()2qcos)2(1 2qardrdU2(1cos)ra222(1(13cos)sin)fMqrcos)2(1 2qar地球重力场的基本原理特例：特例： ，赤道正常重力：赤道正常重力： ，极点处正常重力：极点处正常重力： 令：令： 则有：则有： 上述正常重力公式称为上述正常重力公式称为克莱罗定理。克莱罗定理。9020235(1() cos)22
27、fMqqa)231(2qafMe0)1 (2qafMp55 , +=22peeqq20(1s in)e地球重力场的基本原理顾及到四阶主球函数的正常重力公式顾及到四阶主球函数的正常重力公式517(1)235q2111()84 2201(1sinsin 2 )e式中：式中：19011909年赫尔默特公式：年赫尔默特公式：)2sin000007. 0sin005302. 01 (030.9782201975年国际地球正常重力公式：年国际地球正常重力公式：)2sin0000058. 0sin005302. 01 (032.978220 在讨论正常重力位（或正常重力）时，吸引物体的质量应该包在讨论正常重
28、力位（或正常重力）时，吸引物体的质量应该包含在吸引物体的外表面，平均椭球面（正常位水准面）就是如含在吸引物体的外表面，平均椭球面（正常位水准面）就是如此，若以大地水准面作为地球的外表面，则地球的所有质量应此，若以大地水准面作为地球的外表面，则地球的所有质量应该包含在其内部，但实际上大地水准面与地面之间是有质量存该包含在其内部，但实际上大地水准面与地面之间是有质量存在的，因此，必须必须将大地水准面外的地球质量进行调整，在的，因此，必须必须将大地水准面外的地球质量进行调整，使其外部无质量存在，然后将地面的重力观测值归算到大地水使其外部无质量存在，然后将地面的重力观测值归算到大地水准面上，所谓准面上
29、，所谓重力归算重力归算，即将测区内各点重力观测值即将测区内各点重力观测值 g 经空间经空间改正到大地水准面的改正到大地水准面的g0，再将，再将g0与与 r0相减得到重力异常，相减得到重力异常，该重该重力异常称为空间重力异常力异常称为空间重力异常。地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理 高出水准椭球面高出水准椭球面H米的正常重力计算公式：米的正常重力计算公式： 为了方便起见，将大地水准面当作半径为为了方便起见，将大地水准面当作半径为 R 的圆球，假设不的圆球，假设不旋旋 转（其离心力为零）转（其离心力为零）2)(HRMfg20RMfg)1 (11 ()(11(22220RHRfMHRRfMgg
30、g271072. 03086. 0HHgHgg3086. 00地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理大地水准面的重力值：大地水准面的重力值：高出大地水准面高出大地水准面H处的重力值处的重力值：220022032)321 (1 RHgRHgRHRHggHrr3086. 00同样适合于同样适合于： 4 正常重力场参数正常重力场参数 在物理大地测量中在物理大地测量中, ,正常椭球重力场可用正常椭球重力场可用4 4个基本参数决定个基本参数决定 地球正常地球正常(水准水准)椭球的基本参数，又称椭球的基本参数，又称地球大地基准常数地球大地基准常数其中：其中： 002, , (), UAfMAf A Cf
31、KM,2fMJa222JfMaA2223322222AqqqJa fM fMaq32)231 (0qafMU223aK地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理大地测量常数大地测量常数其它常数与基本常数的关系其它常数与基本常数的关系aba )231 (0qafMUKfMA2fMaq32222JfMaA223aK322222322222298978993 98916275611143892123qJqJqJJqqJJqJ3.2.5 正常椭球、水准椭球、总地球椭球与参考椭球正常椭球、水准椭球、总地球椭球与参考椭球 正常椭球面正常椭球面 是大地水准面的规则形状（一般指旋转椭球面）。是大地水准面的规则形
32、状（一般指旋转椭球面）。因此引入正常椭球后，地球重力位被分成正常重力位和扰动位因此引入正常椭球后，地球重力位被分成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常重力和重力异常两部分。两部分，实际重力也被分成正常重力和重力异常两部分。 正常椭球的确定：正常椭球的确定： 1 1、除了确定其、除了确定其M M和和值外，其规则形状可以任意选择。但考虑值外，其规则形状可以任意选择。但考虑到实际使用的方便，又顾及几何大地测量中采用旋转椭球的实到实际使用的方便，又顾及几何大地测量中采用旋转椭球的实际情况，目前都采用水准椭球作为正常椭球。际情况，目前都采用水准椭球作为正常椭球。 2 2、对于正常椭球，除了确定
33、其、对于正常椭球，除了确定其4个基本参数：个基本参数：a, J，fM和和外，也要定位和定向。正常椭球的定位是使其中心和地球质外，也要定位和定向。正常椭球的定位是使其中心和地球质心重合，正常椭球的定向是使其短轴与地轴重合，起始子午面心重合，正常椭球的定向是使其短轴与地轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合。与起始天文子午面重合。 地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理地球重力场的基本原理 总的地球椭球：总的地球椭球： 一个和整个大地体最为密合的。总地球椭球中心和地球质一个和整个大地体最为密合的。总地球椭球中心和地球质心重合心重合，总的地球椭球的短轴与地球地轴相重合，起始大地
34、子总的地球椭球的短轴与地球地轴相重合，起始大地子午面和起始天文子午面重合，总地球椭球和大地体最为密合。午面和起始天文子午面重合，总地球椭球和大地体最为密合。 从几何和物理两个方面来研究全球性问题，我们可把总地从几何和物理两个方面来研究全球性问题，我们可把总地球椭球定义为最密合于大地体的正常椭球。正常椭球参数是根球椭球定义为最密合于大地体的正常椭球。正常椭球参数是根据天文大地测量，重力测量及人卫观测资料一起处理确定的，据天文大地测量，重力测量及人卫观测资料一起处理确定的，并由国际组织发布并由国际组织发布。 参考椭球：参考椭球： 其大小及定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球。这其大小及定位定向最
35、接近于本国或本地区的地球椭球。这种最接近，表现在两个面最接近及同点的法线和垂线最接近。种最接近，表现在两个面最接近及同点的法线和垂线最接近。3.3.1一般说明一般说明 大地高由两部分组成：地形高部分大地高由两部分组成：地形高部分(含含H正或正或H正常正常)及大及大地水准面地水准面(或似大地水准面或似大地水准面)高部分。地形高基本上确定着地高部分。地形高基本上确定着地球自然表面的地貌，大地水准面高度又称球自然表面的地貌，大地水准面高度又称大地水准面差距大地水准面差距 N，似大地水准面高度又称，似大地水准面高度又称高程异常高程异常，它们基本上确定着大，它们基本上确定着大地水准面或似大地水准面的起伏
36、。因此，大地高可表示为：地水准面或似大地水准面的起伏。因此，大地高可表示为： HHN大正高H+H大正常3.3 3.3 高高 程系程系 统统大地水准面参考椭球面似大地水准面地球表面HgHhgHn设由设由OAB路线水准测量得到路线水准测量得到B点的高程点的高程由由ONB线路得到线路得到B点高程点高程由于水准面不平行，对应的由于水准面不平行，对应的和和不相等，水准环线不相等，水准环线高程闭合差也不等于零，称为高程闭合差也不等于零，称为 水准测量理论闭合差水准测量理论闭合差。 hHBhHB高程系统高程系统3.3.2 正高系统正高系统 CBCBBdHHH正dHggdhBdhggdHBOABBCBBdhg
37、gdHH正OABBmBgdhgH1正高程系统高程系统以大地水准面为高程基准面，地面上任一点的正高是该沿垂线以大地水准面为高程基准面，地面上任一点的正高是该沿垂线方向至大地水准面的距离。因为无限接近两水准面其位能差可方向至大地水准面的距离。因为无限接近两水准面其位能差可以写为以写为 3.3.3 正常高系统正常高系统 将正高系统中将正高系统中 不能精确测定的用正常重力代替，便得到另不能精确测定的用正常重力代替，便得到另一种系统的高程，称其为正常高。一种系统的高程，称其为正常高。我国规定采用正常高高程系我国规定采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统。统作为我国高程的统一系统。 正常高高差的实际计算
38、公式正常高高差的实际计算公式 BmggdhHBmB1常BABAABABdhHH常常mHm2sin0000015395. 0()mmgH高程系统高程系统正常水准面不平行改正正常水准面不平行改正：重力异常改正：重力异常改正： 正高与正常高的关系正高与正常高的关系BmBmOBHgHgdh正常正正常正常正HgggHgHBmBmBmBmBmBm正常正常正常正HggHHgHBmBmBmBmBm正常正正常HggHHBmBmBm 1 1、正常高与正高不同、正常高与正高不同, ,它不是地它不是地面点到大地水准面的距离面点到大地水准面的距离, ,而是而是地面点到一个与大地水准面极为地面点到一个与大地水准面极为接近
39、的基准面的距离接近的基准面的距离, ,这个基准这个基准面称为面称为似大地水准面。似大地水准面。因此因此, ,似似大地水准面是由地面沿垂线向下大地水准面是由地面沿垂线向下量取正常高所得的点形成的连续量取正常高所得的点形成的连续曲面曲面, ,它不是水准面它不是水准面, ,只是用以计只是用以计算的辅助面。因此算的辅助面。因此, ,我们可以把我们可以把正常高定义为以似大地水准面为正常高定义为以似大地水准面为基准面的高程。基准面的高程。 2 2、正常高和正高之差、正常高和正高之差, ,在高山地在高山地区可达区可达4 4米米, ,在平原地区数厘米在平原地区数厘米, ,在海水面上相等，大地水准面的在海水面上
40、相等，大地水准面的高程原点对似大地水准面也是适高程原点对似大地水准面也是适用的。用的。高程系统高程系统3.3.4 力高和地区力高高程系统力高和地区力高高程系统 同一个重力位水准面上两点的正高或正常高是不相等的。同一个重力位水准面上两点的正高或正常高是不相等的。对于大型水库等工程项目，它的静止水面是一个重力等位面，对于大型水库等工程项目，它的静止水面是一个重力等位面，在设计、施工、放样等工作中，通常要求这个水面是一个等高在设计、施工、放样等工作中，通常要求这个水面是一个等高面。这时若继续采用正常高或正高显然是不合适的，为了解决面。这时若继续采用正常高或正高显然是不合适的，为了解决这个矛盾，可以采
41、用所谓力高系统，它按下式定义：这个矛盾，可以采用所谓力高系统，它按下式定义： AOAgdhH451力AOAgdhH1力高程系统高程系统注意：注意：说明力高是区域性的，主要用于大型水库等工程建设中说明力高是区域性的，主要用于大型水库等工程建设中。它不能作为国家统一高程系统。在工程测量中，应根据测量。它不能作为国家统一高程系统。在工程测量中，应根据测量范围大小，测量任务的性质和目的等因素，合理地选择正常高范围大小，测量任务的性质和目的等因素，合理地选择正常高，力高或区域力高作为工程的高程系统。，力高或区域力高作为工程的高程系统。 3.3.5 国家高程基准国家高程基准1 1、高程基准面、高程基准面
42、高程基准面：高程基准面：就是地面点高程的统一起算面，由于大地水准就是地面点高程的统一起算面，由于大地水准面所形成的体形面所形成的体形大地体是与整个地球最为接近的体形，大地体是与整个地球最为接近的体形，因此通常采用大地水准面作为高程基准面。因此通常采用大地水准面作为高程基准面。 高程基准面的确定：高程基准面的确定：海洋近岸的一点处竖立水位标尺，成年海洋近岸的一点处竖立水位标尺，成年累月地观测海水面的水位升降，根据长期观测的结果可以求累月地观测海水面的水位升降，根据长期观测的结果可以求出该点处海洋水面的平均位置，假定大地水准面就是通过这出该点处海洋水面的平均位置，假定大地水准面就是通过这点处实测的
43、平均海水面。点处实测的平均海水面。 验潮、验潮站验潮、验潮站 高程系统高程系统 19561956年黄海高程系统：年黄海高程系统：19501950年至年至19561956年年7 7年间青岛验潮站的潮年间青岛验潮站的潮汐资料推求的平均海水面作为我国的高程基准面。汐资料推求的平均海水面作为我国的高程基准面。 19851985国家高程基准：国家高程基准：根据青岛验潮站根据青岛验潮站 1952195219791979年中取年中取1919年年的验潮资料计算确定，并从的验潮资料计算确定，并从19881988年年1 1月月1 1日开始启用。日开始启用。 2、水准原点水准原点 为了长期、牢固地表示为了长期、牢固
44、地表示出高程基准面的位置，作出高程基准面的位置，作为传递高程的起算点，必为传递高程的起算点，必须建立稳固的水准起算点，须建立稳固的水准起算点，用精密水准测量方法将它用精密水准测量方法将它与验潮站的水准标尺进行与验潮站的水准标尺进行联测，以高程基准面为零联测，以高程基准面为零推求水准原点的高程。推求水准原点的高程。高程系统高程系统1956年黄海高程系统中，我国水准原点的高程为72.289m 1985国家高程基准系统中，我国水准原点的高程为72.260m地面上的点相对于高程基准面的高度，通常称为绝对高程或海拔高程，也简称为标高或高程。mHH029. 05685高程系统高程系统3.4 测定垂线偏差和
45、大地水准面差距的基本概念测定垂线偏差和大地水准面差距的基本概念 大地坐标同天文坐标的区别主要是由同一点的法线和垂线不一致，亦即由垂线偏差引起的。 地面一点上的重力向量g和相应椭球面上的法线向量 n之间的夹角定义为该点的垂线偏差。很显然，根据所采用的椭球不同可分为绝对垂线偏差及相对垂线偏差，垂线同总地球椭球(或参考椭球)法线构成的角度称为绝对(或相对)垂线偏差，它们统称为天文大地垂线偏差天文大地垂线偏差。重力向量g与正常重力场中的正常重力向量 之间的夹角称为重力垂线偏差重力垂线偏差。 补充内容：补充内容： 球面直角三角形的球面三角公式：球面直角三角形的球面三角公式： 任一元素的余弦等于不相邻两元
46、素的正弦之积；任一元素的余弦等于不相邻两元素的正弦之积； 记忆方法：记忆方法：A、90-b、90-a、B、c coscos)90sin()90sin(cossinsinsinsinsinsinsincossin)90sin(coscossin)90sin(sincos0000baabccBbcAaAbAbBaBaBA任一元素的余弦等于相邻两元素的余切之积任一元素的余弦等于相邻两元素的余切之积ctgAabBbaBAccgacaBcbcbAtgsinctgtgsinctgctgcos ctgtctg)90(ctgcosctgtgctg)90(ctgcos00n图中图中u是垂线偏差，是垂线偏差，、分
47、别是分别是u 在子午圈和卯酉圈上的分量在子午圈和卯酉圈上的分量 BL , 0AAAAuuuAsincos)cos(垂线偏差垂线偏差)()( )90(90()90()cos(BctgtgBctgctgLcos)(L)sin()90(s90cos(Lin）B在球面直角三角形在球面直角三角形Z1Z2P中中在球面直角三角形在球面直角三角形Z1Z2P中中因为因为垂线偏差垂线偏差1 1、天文大地测量方法、天文大地测量方法（天文垂线偏差）（天文垂线偏差）000()TF g0011TT XY Bcos)(L建立扰动位与垂线偏差的关系，即扰动位与观测量建立扰动位与垂线偏差的关系，即扰动位与观测量(重力异常重力异
48、常)的的函数函数2、重力测量方法、重力测量方法（重力垂线偏差）（重力垂线偏差）在天文大地点上，既进行大地测量取得大地坐标在天文大地点上，既进行大地测量取得大地坐标(B, L)，又进行又进行天文测量取得天文坐标天文测量取得天文坐标(，）。）。 sin)(LAAAZZsincos0n垂线偏差的测定方法垂线偏差的测定方法垂线偏差测定方法垂线偏差测定方法00zxggtg00zyggtgUTW00yWgxWgyxo000 ,Y(东)X(北）o0 xg0yg0g0zg正常重力方向0,0)()(0000yUxUyUyTgxUxTgyxyTgxTgzz00001,1垂线偏差测定方法垂线偏差测定方法2)(00r
49、gFT 20000cos)()(21dAAdQg 20000sin)()(21dAAdQg2222cos3( )csc12sin32sin12sinln(sinsin)21 sinQ维宁维宁. .曼尼兹公式曼尼兹公式: :因为扰动位 T0 无法得到，必须求出地面观测值与扰动位的关系：此公式是在假定大地水准面之外没有扰动物质及全球重力异常都已知的情况下推导的。然而这两个条件都还不能实现，所以重力方法至今也没有得到独立的应用。)(00gFT3、天文重力方法、天文重力方法 垂线偏差测定方法垂线偏差测定方法 kkgg LcBbakg11uguuLcBbakg222重力垂线偏差按维宁曼尼兹公式计算，近似
50、方法模板法、网格图法。重力垂线偏差按维宁曼尼兹公式计算，近似方法模板法、网格图法。 在一定范围内测量天文大地点, 计算天文垂线偏差, 并在该范围内测量重力, 计算重力垂线偏差, 然后比较两垂线偏差, 最后内插出其它点垂线偏差. 天文垂线偏差 ug (参考椭球面, 相对垂线偏差), 重力垂线偏差u（平均椭球面，绝对垂线偏差） 综合利用天文大地方法和重力测量方法来确定垂线偏差 .4、GPS测量方法测量方法( (略）略） 在GPS相对定位中，只要测出基线长D，大地方位角A及高程异常差，便可求得垂线偏差。但这种方法应用是有条件的，比如，地形平坦，基线不长，精度要求较低等。 D), 2 , 1(sinc
