1、 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、函数极限的性质、函数极限的性质 第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数极限性质与运算法则1.函数极限的唯一性机动 目录 上页 下页 返回 结束 .)(lim()(lim0存在，则极限唯一如：若xfxfxx2. 局部有界性,)(lim0Axfxx若.),()(0内有界在xUxf),(0 xU则定理定理1 . 一一 、函数极限的性质、函数极限的性质 3. 局部保号性定理定理3.1 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0时使当xx. 0)(xf)0)(xf证证:
2、 已知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 x当时, 有.)(AxfA当 A 0 时, 取正数,A则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(A则存在( A 0 ),(0 x),(0 xx),(0 x0 x0 xAAAx0 xy)(xfy )0(机动 目录 上页 下页 返回 结束 AxfA)(:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上 若,0)(lim0Axfxx则存在使当时, 有.2)(Axf推论推论:23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 x, ),(0 x),(0 xx0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 3.2 若在0 x的
3、某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx则. 0A)0(A证证: 用反证法.则由定理3. 1,0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf与已知所以假设不真, .0A(同样可证0)(xf的情形)思考: 若定理3. 2 中的条件改为, 0)(xf是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx存在如 假设 A 0 , 条件矛盾,故时,当0)(xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 4 . 若机动 目录 上页 下页 返回 结
4、束 推论推论: 若,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf.BA)()()(xgxfx利用保号性定理证明 .说明说明: 定理 4 可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示提示: 令定理定理 5. 若,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf说明说明: 定理 5 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )例例1. 设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证证:)
5、(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 6. 若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA机动 目录 上页 下页 返回 结束 x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例例2. 设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多项式 ,0)(0 xQ试证: . )()(lim00 xRxRxx证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明: 若,0)(0
6、 xQ不能直接用商的运算法则 .例例3.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求.125934lim22xxxxx解解: x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54分母原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,机动 目录 上页 下页 返回 结束 mn 当mn 当三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理7. 设,)(
7、lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim证证: Aufau)(lim,0,0当au0时, 有 Auf)(axxx)(lim0,0,02当200 xx时, 有ax)(对上述取,min21则当00 xx时ax )(au 故0Axf)(Auf)(,因此式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7. 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 说明说明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得 )(lim0
8、 xfxxAufu)(lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求求解解: 令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim61 原式 =uu61lim6166机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 极限四则运算法则(2) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式
9、函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除最高次幂(2) 复合函数极限求法设中间变量机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件矛盾.问机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1x
10、t tttt1111lim2021则原式 =22011limttt111lim20tt 0t机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 试确定常数 a 使.0)1(lim33xaxx解解 : 令,1xt 则tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此备用题备用题 设)(xf解解:利用前一极限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一极限式 , 得xxfx)(lim30可见0,3ba是多项式 , 且,22)(lim23xxxfx,3)(lim0 xxfx求. )(xf)(lim0 xbax故xxxxf322)(23机动 目录 上页 下页 返回 结束
