1、习题课习题课数项级数的收敛数项级数的收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13章 数项级数的审敛法数项级数的审敛法1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限1机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 任意项级数审敛法为收敛级数1nnuLeibniz判别法判别法: 若,01nnuu且,0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛 ,概念概念:且余项.1nnur1nnu若收敛 ,1nnu称绝对收敛1nnu若发散 ,1nn
2、u称条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 若级数11nnnnba 与均收敛 , 且nnnbca, ),2, 1(n证明级数1nnc收敛 .证证: nnnnabac0, ),2,1(n则由题设)(1nnnab 收敛)(1nnnac 收敛1nnc)(1nnnnaac)(1nnnac 1nna收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:题1. 判别下列级数的敛散性:;1) 1 (1nnnn;2) !()2(122nnn;2cos)3(132nnnn;ln1)4(210nn. )0,0()5(1sanansn机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示: (1) nnnnn11l
3、im, 1据比较审敛法的极限形式, 原级数发散 .nnn1lim发散11nn12nnnnn10ln1lim原级数发散 :2) !()2(122nnn:2cos)3(132nnnn:ln1)4(210nn故原级数收敛21nn发散,收敛,22) 1(2 ! ) 1(limnnn222) !(nn,22cos032nnnnnn1nnn10lnlimxxx10lnlimxxx9ln10lim28910limxx用洛必达法则nnnn2lim21, 原级数发散 : )0,0()5(1sanansn时收敛 ;时, 为 p 级数时收敛;1s时发散.1s1a时发散.1a1asnsnnanan) 1(1limsn
4、nna1lima题2. 设正项级数1nnu和1nnv12)(nnnvu也收敛 .法法1 由题设,0limlimnnnnvu,)(1收敛nnnvu )(limnnnvu 0根据比较审敛法的极限形式知结论正确.都收敛, 证明级数nnnnnvuvu2)(lim法法2 因 ,0limlimnnnnvu故存在 N 0,当n N 时,0)(limnnnvu)(nnvu 2)(nnvu , 1)(0nnvu从而 再利用比较法可得结论题3. 设级数1nnu收敛 , 且,1limnnnuv1nnv是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛 .,) 1(nunn问级数提示提示: 对正项级数,由比较判别法可知
5、1nnv级数1nnu收敛 ,1nnvnnnuvlim收敛,级数发散 .nnn) 1(lim11例如, 取nnvnn1) 1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 ;1ln) 1()3(1nnnn题4.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:;1) 1() 1(1npnn;sin) 1()2(1111nnnn.! ) 1() 1()4(11nnnnn提示提示: (1) P 1 时, 绝对收敛 ;0 p 1 时, 条件收敛 ;p0 时, 发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)故原级数绝对收敛.nnn11lim,1sin) 1(1111nnnn,111收敛nn, 1111ln) 1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun因单调递减, 且但nnn1ln1nknkk1ln)1ln(lim)1ln(limnn所以原级数仅条件收敛 .kknk1ln1nlim由Leibniz判别法知级数收敛 ;0limnnu机动 目录 上页 下页 返回 结束 11! ) 1() 1()4(nnnnn因nnuu12)2(! )2(nnn1)111 (12nnnn1! ) 1(nnnn11e所以原级数绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束
