1、1.4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1.4.1 数学期望数学期望 对于连续随机变量对于连续随机变量X，它的概率密，它的概率密度为度为fX(x)，则其数学期望定义为，则其数学期望定义为dxxxfXEmXX)( 对于离散随机变量对于离散随机变量X，假定它有，假定它有n个可能取值，各个取值的概率为个可能取值，各个取值的概率为 ，则数学期望定义，则数学期望定义 为为iixXPpniiiniiipxxXPxXE11均值具有如下性质：均值具有如下性质：性质性质1： 其中其中c为常数为常数XcEcXE性质性质2：若：若c为常数，则有为常数，则有ccE 性质性质3：若：若X、Y是任意二个随机变量，是任
2、意二个随机变量，则有则有YEXEYXE2121nnXEXEXEXXXE 性质性质4：若：若X、Y是二个相互独立的随是二个相互独立的随机变量，则有机变量，则有YEXEXYE 例例1：设连续随机变量：设连续随机变量X在在a,b区间上区间上服从均匀分布，求服从均匀分布，求X的数学期望。的数学期望。 例例2：设离散随机变量：设离散随机变量X服从二项分布，服从二项分布，即即 求其数学期望。求其数学期望。nkqpqpCkXPknkkn, 1 , 0, 11.4.2 方差方差连续随机变量连续随机变量X的方差定义为的方差定义为dxxfXExXEXEXDXX)()()(222离散随机变量离散随机变量X的方差定义
3、为：的方差定义为：1222)()(iiiXpXExXEXEXD方差的性质：方差的性质：性质性质1：若：若c为常数，则为常数，则0cD 性质性质2：若：若X是随机变量，是随机变量，c是常数，是常数，则有则有2XDccXD 性质性质3：若：若X、Y是两个相互独立的随是两个相互独立的随机变量，则有机变量，则有YDXDYXD2121nnXDXDXDXXXD 例例3：设：设X服从服从a,b上的均匀分布，求上的均匀分布，求其方差。其方差。1.4.3 矩矩 n阶原点矩阶原点矩定义为定义为, 2 , 1nXEmnn对于离散和连续随机变量，则分别有对于离散和连续随机变量，则分别有dxxfxmpxmXnniini
4、n)(1n阶中心矩阶中心矩定义为：定义为：, 2 , 1)(nXEXEnn对于离散和连续随机变量，则分别有对于离散和连续随机变量，则分别有dxxfXExpXExXnniinin)()()(1 二维随机变量二维随机变量X和和Y的的n+k阶联合原点阶联合原点矩矩定义为：定义为： dxdyyxfyxYXEmXYknknnk),( 二维随机变量二维随机变量X和和Y的的n+k阶联合中心阶联合中心矩矩为：为：dxdyyxfYEyXExYEYXEXEXYknknnk),()()()()( 当当n=1，k=1时，二阶联合原点矩为时，二阶联合原点矩为它又称为它又称为X和和Y的相关矩的相关矩。XYRXYEm11当
5、当n=1，k=1时，二阶联合中心矩为时，二阶联合中心矩为它又称为它又称为X和和Y的协方差的协方差。XYCYEYXEXE)(11由协方差定义得由协方差定义得相关系数相关系数定义为：定义为：11XYYXXYXYXYrCYDXDCr当当 时，则称时，则称X与与Y不相关不相关；若若 ，则称，则称X与与Y相关相关。当当 ，称为，称为正相关正相关；当当 ，称为，称为负相关负相关。0XYr0XYr10XYr01XYr 例例4：X与与Y为相互独立的随机变量，为相互独立的随机变量，求二者的相关系数。求二者的相关系数。 例例5：随机变量：随机变量Y=aX+b，其中，其中X为随为随机变量，机变量，a、b为常数，且为
6、常数，且a0，求，求X与与Y的相关系数。的相关系数。1.4.4 统计独立与不相关统计独立与不相关 统计独立：对于随机变量而言，统计独立：对于随机变量而言，X和和Y相互统计独立的充要条件为相互统计独立的充要条件为)()(),(yfxfyxfYXXY相关是指两个坐标之间的线性相关程度。相关是指两个坐标之间的线性相关程度。下面对这两个概念进行讨论：下面对这两个概念进行讨论： 1. 随机变量随机变量X和和Y相互统计独立的充要相互统计独立的充要条件为条件为)()(),(yfxfyxfYXXY2. 随机变量随机变量X与与Y不相关的充要条件是不相关的充要条件是0XYr 3. 若两个随机变量统计独立，它们必若两个随机变量统计独立，它们必然不相关。然不相关。 4. 两个随机变量不相关，则它们不一两个随机变量不相关，则它们不一定互相独立。定互相独立。5. 若随机变量若随机变量X、Y的相关矩为零，即的相关矩为零，即则称则称X、Y互相正交互相正交。0XYR
