1、 江苏省无锡市江阴四校 2017-2018 学年 高二下学期期中考试（理） 一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上） 1. 复数 i i z 21 2 的虚部为 2 用反证法证明命题“若abNba, 能被 2 整除，则ba,中至少有一个能被 2 整除”，那 么反设的内容是 3设复数为虚数单位),z 的共轭复数为=_. 4用数学归纳法证明不等式“2nn21 对于 nn0的自然数 n 都成立”时，第一步证明中的起 始值自然数 n0应取为 5三段论推理“矩形是平行四边形；正方形是矩形；正方形是平行四边形”中的小前 提是 (填写序号) 6观察下列等式： 据此规律，第 n 个等式可
2、为_. 7.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数有 个 8设 f（k）=+（kN*） ，那么 f（k+1）f（k）= 9.已知 mmm CCC 765 10 711 ，则 m C21= . 10. 8 ) 1 ( x ax的展开式中 2 x的系数为 70，则a=_ 11.在数列中，可以猜测数列通项的表达式为 _. 12. 记等差数列an得前 n 项和为 Sn，利用倒序相加法的求和办法，可将 Sn表示成首项 a1， 1(zi i ,(1)|zzz则| 11 1 22 11111 1 23434 11111111 1 23456456 n a 1 2a 1 () 31 n
3、 n n a an a N n a 末项 an与项数的一个关系式，即 Sn= 2 21 n aa ）（ ；类似地，记等比数列bn的前 n 项积为 Tn，bn0（nN*） ，类比等差数列的求和方法，可将 Tn表示为首项 b1，末项 bn与项数的一 个关系式，即公式 Tn= 13.已知 10 10 2 210 10 )1 ()1 ()1 ()1 (xaxaxaax，则 8 a= 14. 学校将从 4 名男生和 4 名女生中选出 4 人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其 中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手现要求：如果男生甲入选，则女生 乙必须入选那么不同的组队形式有 种 二、解答
4、题（本大题共 6 小题，共 90 分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 ） 15、 （本小题满分 14 分） (1)设 4 4 3 3 2 210 4 ) 13(xaxaxaxaax. 求 43210 aaaaa； 求 420 aaa； 求 4321 aaaa； (2) 求 27 27 2 27 1 27 CCCS除以 9 的余数 16 （本小题满分 14 分）已知复数 w 满足 w4=（32w）i（i 为虚数单位） （1）求 w； （2）设 zC，在复平面内求满足不等式 1|zw|2 的点 Z 构成的图形面积 17.（本小题满分 14 分） （1）证明：
5、当2a时，222aaa； （2）已知 x，yR+，且 x+y2，求证：与中至少有一个小于 2 18.（本小题满分 16 分）有男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名.选派 5 人外 出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员 3 名，女运动员 2 名； (2)至少有 1 名女运动员； (3)既要有队长，又要有女运动员. 19.（本小题满分 16 分）已知在) 2 ( 3 x x n 的展开式中，第 5 项的系数与第 3 项的 系数之比是 563. (1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项； (3)求 n9C2n81C3n9n 1Cn
6、n的值 20. （本小题满分 16 分） 已知数列bn是等差数列， b1=1,b1+b2+b10=145 (1)求数列bn的通项公式 bn; (2)设数列an的通项 an=loga(1+ n b 1 )(其中 a0 且 a1)记 Sn是数列 an的前 n 项和，试比较 Sn与 3 1 logabn+1的大小，并证明你的结论 参考答案 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 5 分，共计分，共计 70 分）分） 1. -1 2. ba,都不能被 2 整除 3. 4. 5 5. 6. 7. 72 8. 9. 210 10. 1 11. 12. 13. 180 14. 930 二、解答题二、解答题(六
7、大题，共六大题，共 90 分）分） 15.（本题满分（本题满分 14 分）分） 解：(1)令 x1，得 a0a1a2a3a4(31)416. -2 分 令 x1 得，a0a1a2a3a4(31)4256， 而由(1)知 a0a1a2a3a4(31)416，两式相加，得 a0a2a4136. -6 分 令 x0 得 a0(01)41， 得 a1a2a3a4a0a1a2a3a4a016115. -8 分 （2）解 SC127C227C27 272 271 891(91)91 -10 分 C09 99C19 98C89 9C991 9(C09 98C19 97C89)2 9(C09 98C19 97
8、C891)7， -12 分 显然上式括号内的数是正整数 故 S 被 9 除的余数为 7. -14 分 16.（本题满分（本题满分 14 分）分） 10 2 65 n a n 解： （1）w（1+2i）=4+3i，； -4 分 （2）在复平面内求满足不等式 1|zw|2 的点 Z 构成的图形为一个圆环， 其中大圆为：以（2，1）为圆心，2 为半径的圆；小圆是：以（2，1）为圆心，1 为半 径的圆 -10 分 在复平面内求满足不等式 1|zw|2 的点 Z 构成的图形面积=22 12=3 -14 分 17.（本题满分（本题满分 14 分）分） 证明： （1）要证222aaa， 只要证 22 )2(
9、)22(aaa， -2 分 只要证aaa4422 2 ， 只要证aa4 2 ，-4 分 由于2a，只要证 22 4aa， -6 分 最后一个不等式成立，所以222aaa 8 分（其它方法酌情给分） （2） （反证法）假设均不小于 2，即2，2，-10 分 1+x2y，1+y2x将两式相加得：x+y2，与已知 x+y2 矛盾，-13 分 故中至少有一个小于 2 -14 分 18.（本题满分（本题满分 16 分）分） 解第一步：选 3 名男运动员，有C 3 6 种选法. 第二步：选 2 名女运动员，有 2 4 C种选法. 共有 32 64 120CC(种)选法. -4 分 “至少 1 名女运动员”
10、的反面为“全是男运动员”. 从 10 人中任选 5 人，有 5 10 C种选法，其中全是男运动员的选法有 3 6 C种. 所以“至少有 1 名女运动员”的选法有 55 106 246CC(种). -9 分 (3)当有女队长时， 其他人选法任意， 共有 4 9 C种选法.不选女队长时， 必选男队长， 共有 4 8 C种 选法.其中不含女运动员的选法有 4 5 C种， 所以不选女队长时共有 44 85 CC种选法.故既要有队 长，又要有女运动员的选法有 444 985 191CCC(种). -16 分 19.（本题满分（本题满分 16 分）分） 解 (1)由 C4n(2)4C2n(2)2563，解
11、得 n10， -2 分 因为通项 Tr1Cr10( x)10 r 2 3 x r (2)rCr10 5 5 6 r x ，r0,1,2，10. -4 分 当 55r 6 为整数时，r 可取 0,6， 于是有理项为 T1x5和 T713 440. -6 分 (2)设第 r1 项系数的绝对值最大，则 Cr102rCr 1 102 r1， Cr102rCr 1 102 r1， 解得 r22 3 ， r19 3 ， 又因为 r1,2,3，9， -8 分 所以 r7，当 r7 时，T815 360 5 6 x ， -9 分 又因为当 r0 时，T1x5， 当 r10 时， T11(2)10 10 3 x
12、 1 024 10 3 x ， 所以系数的绝对值最大的项为 T815 360 5 6 x . -12 分 (3)原式109C21081C310910 1C10 10 9C 1 109 2C2 109 3C3 109 10C10 10 9 -14 分 C 0 109C 1 109 2C2 109 3C3 109 10C10 101 9 101 9 10 101 9 . -16分 20.（本题满分（本题满分 16 分）分） 解 (1) 设数列bn的公差为 d, 由题意得 3 1 145 2 ) 110(10 10 1 1 1 1 d b db b ,bn=3n2 -3 分 (2)证明 由bn=3n
13、2知Sn=loga(1+1)+loga(1+ 4 1 )+loga(1+ 23 1 n ) =loga(1+1)(1+ 4 1 )(1+ 23 1 n ) 而 3 1 logabn+1=loga3 13 n ,于是，比较 Sn与 3 1 logabn+1的大小 比较(1+1)(1+ 4 1 )(1+ 23 1 n )与3 13 n 的大小 取 n=1，有(1+1)= 333 11348 取 n=2，有(1+1)(1+ 333 12378) 4 1 推测 (1+1)(1+ 4 1 )(1+ 23 1 n )3 13 n (*) -8 分 当 n=1 时，已验证(*)式成立 假设 n=k(k1)时
14、(*)式成立，即(1+1)(1+ 4 1 )(1+ 23 1 k )3 13 k 则当 n=k+1 时， ) 13 1 1 (13) 2) 1(3 1 1)( 23 1 1 () 4 1 1)(11 ( 3 k k kk 3 13 13 23 k k k 3333 32 (31)( 34) 31 k kk k 32 22 (32)(34)(31)94 0 (31)(31) kkkk kk 3 3 3 31 (32)343(1)1 31 k kkk k 3 1) 1( 3) 13 1 1)( 23 1 1 () 4 1 1)(11 ( k kk 从而, 即当 n=k+1 时，(*)式成立 由知，(*)式对任意正整数 n 都成立 -14 分 于是，当 a1 时，Sn 3 1 logabn+1当 0a1 时，Sn 3 1 logabn+1 -16 分
