1、第六节Green 公式Gauss 公式推广推广一、高斯公式一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度三、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 通量与散度 第十章 一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 ,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先证:函数 P, Q, R 在面 所围成, 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式公式)高斯 目录 上页 下页 返回 结束 231zyxyxD) ,(y
2、xRyxyxRdd) ,(, ),(:11yxzz 证明证明: 设yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd为XY型区域 , ),(:22yxzz 则yxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxz定理1 目录 上页 下页 返回 结束 所以zyxzRdddyxRdd 若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 zyxy
3、QdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 用Gauss 公式计算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 为柱面122 yx闭域 的整个边界曲面的外侧. 解解: 这里利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyddd)(zrrzrddd)sin(用柱坐标)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP, 0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧)
4、, 如何计算? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 利用Gauss 公式计算积分SzyxId)coscoscos(222其中 为锥面222zyxhozyx解解: 作辅助面,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 1,记h1所围区域为,则 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxzyxIddd)(2利用重心公式, 注意0 yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4hhozyxh1机动 目录 上页 下
5、页 返回 结束 例例3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设 为曲面21,222zyxz取上侧, 求 解解: 作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10dr221drz202dcos103drr12131zoxy211用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标机动 目录 上页 下页 返回 结束 coscoscoszvyvxv),(, ),(yxvyxu在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式Sd例例4. 设函数uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中 是整个 边界面的外侧
6、. uP xvuQ yvuR zv分析分析:zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd xv高斯公式222222zvyvxv机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:令uP ,xvuQ ,yvuR ,zv由高斯公式得222222zvyvxvuzyxdddcoscoscoszvyvxvuSd移项即得所证公式.(见 P171)xuyuyvzuzvxvuyxzvxzyvzyxvdddddd机动 目录 上页 下页 返回 结束 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1. 连通区域的类型连通区域的类型 设有空间区域 G , 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全
7、属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 .例如例如, 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域 .既是一维也是二维单连通区域 ;是二维但不是一维单连通区域 ;是一维但机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 闭曲面积分为零的充要条件闭曲面积分为零的充要条件定理定理2. ),(),(),(zyxRzyxQzyxP设在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面, 则0ddddddyxRxzQzyPGzyxzRyQxP),(,0证证: “充分性”. 根据高斯
8、公式可知是的充分条件. 的充要条件是: “必要性”. 用反证法. 使假设存在,0GM 00MzRyQxP已知成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束 因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域 ,)(0GM,)(0上使在M0zRyQxP的边界为设)(0M则由高斯公式得 yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPMddd)(00与矛盾, 故假设不真. 因此条件是必要的. 取外侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、通量与散度三、通量与散度引例引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(理意义可知,
9、设 为场中任一有向曲面, yxRxzQzyPdddddd单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为SRQPdcoscoscosSnvd机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 为方向向外的闭曲面, yxRxzQzyPdddddd当 0 时, 说明流入 的流体质量少于 当 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过 的流量为 当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . n流出的, 表明 内有泉; 表明 内有洞 ;根据高斯公式, 流量也可表为zyxzRyQxPdddn机动 目录 上页 下页 返回 结束 方向向外的任一闭曲面
10、, 记 所围域为, 设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性, M在式两边同除以 的体积 V, 并令 以任意方式缩小至点 M 则有),(M记作VMlimzyxzRyQxPVMddd1lim),(limzRyQxPMMzRyQxP此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. ),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 则称曲面, 其单位法向量 n, SnAd为向量场 A 通过有向曲面
11、 的通量(流量) .在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度.记作AdivzRyQxP机动 目录 上页 下页 返回 结束 0divA表明该点处有正源, 0divA表明该点处有负源, 0divA表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.0divA若向量场 A 处处有 , 则称 A 为无源场. 例如例如, 匀速场 ),(),(为常数其中zyxzyxvvvvvvv 0divv故它是无源场.P16 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且* *例例5.5.置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为rrqE3.divE求
12、解解: 3ryy3rzz 3522rxrq5223ryr 5223rzr 03rxx),(3zyxrq)0(r计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. )0(r机动 目录 上页 下页 返回 结束 qEdiv内容小结内容小结1. 高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用:(1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 通量与散度 设向量场P, Q, R, 在域G内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内
13、任意点处的散度为 ),(RQPA SnAdzRyQxPAdiv机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习,:2222取外侧设Rzyx所围立体,222zyxr判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxdddddd333333vrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxdddddd33331Rvzyxd)(3222 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P174 1 (2), (4), (5); 2(2) ; 3; 4第七节 目录 上页 下页 返回 结束 00cosrn00rn 备用
14、题备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径,222zyxr试证.dcos31VSr证证: 设 的单位外法向量为 ,cos,cos0n,0rzryrxr则coscoscosrzryrxSrdcos31Szyxdcoscoscos31vd331V的夹角,r积为V,cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯高斯(1777 1855)德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 原则: 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 在对天文学、大恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.
