1、概率论与数理统计主讲谢兆如概率统计概率统计 是研究是研究随机现象随机现象数量规律的数量规律的数学学科数学学科, 理论严谨理论严谨, 应用广泛应用广泛, 发展迅速发展迅速. 目前目前, 不仅高等学校各专业都开设了这门课不仅高等学校各专业都开设了这门课程程, 而且从上世纪末开始，这门课程特意而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又一，希望大家能认真学好这门不易学好又前前言言不得不学的重要课程不得不学的重要课程.教材：教材：概率论与数理统计概率论与数理统计高祖新高祖新 陈华均编陈华均编南京大学出版社南
2、京大学出版社 2002年年主要参考书 茆诗松 程依明 濮晓龙编 概率论与数理统计教程习题与解答，高等教育出版社，2005。 谢琍 尹素菊 陈立萍编概率论与数理统计解题指导，北京大学出版社，2003。 屠俊如 洪再吉译基础统计学（Robert Johnson, Patricia Kuby, Elementary Statistics)，科学出版社，2003。 耿修林 谢兆如编 应用统计学，科学出版社，2002。国内有关经典著作国内有关经典著作1.1.概率论基础及其应用概率论基础及其应用 王梓坤著 科学出版社 1976 年版 2.数理统计引论数理统计引论陈希儒著 科学出版社 1981年版国外有关经
3、典著作国外有关经典著作1.概率论的分析理论概率论的分析理论P.- S.拉普拉斯著 1812年版2. 统计学数学方法统计学数学方法H. 克拉默著 1946年版概率论的最早著作概率论的最早著作数理统计最早著作数理统计最早著作 概率统计专业概率统计专业首位中科院院士首位中科院院士作业:每两周一次，单周交。请用作业纸书写。联系方式:手机: 13912963393。密码:200808本学科的本学科的 ABC概率概率(或然率或几率或然率或几率) 随机事件出现随机事件出现的可能性的量度的可能性的量度 其起源与博弈问题有关其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子
4、等赌博中的一些问题；中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B. 帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯惠更斯 基于排列组合的方基于排列组合的方法，研究了较复杂法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题， 解决了解决了“ 合理合理分配赌注问题分配赌注问题” ( 即得分问题即得分问题 ).概率论是一门概率论是一门研究客观世界随机现象数量研究客观世界随机现象数量规律的规律的 数学分支学科数学分支学科.发展则在发展则在17世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后.基人是瑞士数学家基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速伯努利；而概率论的飞速论；使论；使 概率论概率论
5、成为成为 数学的一个分支的真正奠数学的一个分支的真正奠 对客观世界中随机现象的分析产生了概率对客观世界中随机现象的分析产生了概率概率论的特点是先提出数学模型，然后去概率论的特点是先提出数学模型，然后去研究它的性质、特点和规律性。研究它的性质、特点和规律性。数理统计学是一门数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策策和行动提供依据和建议的和行动提供依据和建议的 数学分支学科。数学分支学科。统计方法的数学理论要用到很多近代数
6、学统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说：样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系的数学分支学科，并无从属关系.本学科的应用本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中济的各个部
7、门中. 例如例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与及预测都与概率论概率论紧密相关；紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到否在临床中应用，均要用到假设检验假设检验；6. 探讨太阳黑子的变化规律时探讨太阳黑子的变化规律时,时间时间可夫过程可夫过程 来描述来描述;7. 研究化学反应的时变率，要以研究化学反应的时变率，要以马尔马尔序列分析序列分析方法非常有用方法非常有用;4. 电子系统的设计电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其火箭卫星的研制及其发射都离不开发射都离不开可靠性估计可靠性估计; 3.
8、寻求最佳生产方案要进行寻求最佳生产方案要进行实验设计实验设计和和数据处理数据处理；5. 处理通信问题处理通信问题, 需要研究需要研究信息论信息论；水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知的知目前目前, 概率统计理论进入其他自然科学概率统计理论进入其他自然科学装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、8. 生物学中研究生物学中研究 群体的增长问题时，群体的增长问题时，提出了生灭型提出了生灭型随机模型随机模型，传染病流行问传染病流行问题要用到多变量非线性题要用到多变量
9、非线性生灭过程生灭过程；9. 许多服务系统，如电话通信、船舶许多服务系统，如电话通信、船舶识就是识就是 排队论排队论.领域领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题济的稳定增长等问题 , 都大量采用都大量采用概率概率统计方法统计方法. 法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对说对了了: “ 生活中最重要的问题生活中最重要的问题 , 其中绝大其中绝大领域的趋势还在不断发展领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领在社会科学领多数在实质上只是概率的问题多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾英国的逻辑学家和经济学家杰
10、文斯曾对对概率论概率论大加赞美：大加赞美：“ 概率论是生活真正概率论是生活真正的领路人的领路人, 如果没有对概率的某种估计如果没有对概率的某种估计, 那那么我们就寸步难行么我们就寸步难行, 无所作为无所作为.“ 得得 分分 问问 题题 ” 甲、乙两人各出同样的赌注，用掷甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博奕手段硬币作为博奕手段 . 每掷一次，若正面朝每掷一次，若正面朝上，甲得上，甲得 1 分乙不得分分乙不得分. 反之，乙得反之，乙得1分，分，甲不得分甲不得分. 谁先得到规定分数就赢得全部谁先得到规定分数就赢得全部赌注赌注. 当进行到甲还差当进行到甲还差 2分乙还差分乙还差3分，就分，就分别
11、达到规定分数时，发生了意外使赌分别达到规定分数时，发生了意外使赌局局不能进行下去不能进行下去，问如何公平分配赌注？问如何公平分配赌注？确定性现象确定性现象随机现象随机现象 q 每次试验前不能预言出现什么结果q 每次试验后出现的结果不止一个q 在相同的条件下进行大量观察或试 验时，出现的结果有一定的规律性 称之为统计规律性统计规律性 第一章第一章 随机事件及其概率1.1 随机事件随机事件是指对研究对象所进行的观察、测量或科学若它有如下特点,则称为随机试验随机试验,用E表示q 试验前不能预知出现哪种结果。 基本术语基本术语 q 可在相同的条件下重复行；q 试验结果不止一个,但能明确所有的结果；是指
12、对研究对象所进行的观察、测量或科学实验, 统称试验试验.样本空间样本空间 随机试验E 所有可能的结果样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为随机事件随机事件 的子集, 记为 A ,B ,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.组成的集合称为样本空间样本空间 记为样本点样本点(or基本事件基本事件) 常记为 ， = ,., 3 , 2 , 1 , 02N),(213TyxTyx其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度:3E观察某地区每天的最高温度与最低温度:2E观察总机每天9:0010:00接到的电话次数有限样本空间无限样本空间:1E投一枚硬币3次，观察正面出现的次数3 , 2 , 1 , 0
13、1例例1 1 给出一组随机试验及相应的样本空间基本事件基本事件 仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件. 必然事件必然事件全体样本点组成的事件,记为, 每次试验必定发生的事件.随机事件发生随机事件发生 组成随机事件的一个样本点发生不可能事件不可能事件不包含任何样本点的事件,记为 ,每次试验必定不发生的事件.A 随机事件的关系和运算雷同集合的关系和运算 事件的关系和运算事件的关系和运算文氏图文氏图 ( Venn diagram ) A 包含于BBA 事件 A 发生必导致事件 B 发生 A B BA BA AB 且1. 事件的包含2. 事件的相等B
14、A或BA BAAB事件 A与事件B 至 少有一个发生BA发生nAAA,21的和事件 niiA1,21nAAA的和事件 1iiA A 与B 的和事件3. 事件的并(和) BA或AB事件 A与事件B 同时 发生BA 发生nAAA,21的积事件 niiA1,21nAAA的积事件 A 与B 的积事件1iiABAB A4. 事件的交(积)BABA发生 事件 A 发生，但 事件 B 不发生BAB A A 与B 的差事件5. 事件的差 A 与B 互斥ABA、 B不可能同时发生ABnAAA,21两两互斥,21nAAA两两互斥njijiAAji, 2 , 1, 2 , 1,jijiAAji6. 事件的互斥(互不
15、相容) A 与B 互相对立BAAB,每次试验 A、 B中有且只有一个发生ABAB 称B 为A的对立事件(or逆事件)，记为注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是不同的概念7. 事件的对立A8. 完备完备事件组niiA1nAAA,21若 两两互斥，且nAAA,21则称 为完备完备事件组1AnA1nA2A3AnAAA,21或称 为 的一个划分q 吸收律AABAAAA)(ABAAAAA)(q 幂等律AAAAAAq 差化积)(ABABABAq 重余律AA运算律运算律对应事件运算集合运算q 交换律ABBABAABq 结合律)()(CBACBA)()(BCACABq 分配律)()()(CBCA
16、CBA)()(CABABCABABABAABniiniiAA11niiniiAA11q 反演律运算顺序： 逆交并差，括号优先逆交并差，括号优先 B CA)(BCABA CA 分配律 图 示)(CABAAA B)(BA BABABA)(红色红色区域区域黄色黄色区域区域交交例例2 2 用图示法简化用图示法简化. )(BABAABAA)(BA例例3 3 化简事件ACCBA)(解解 原式ACCBAACCBCACBAACCBAACCBA)( CBCCA)(CBA 例例4 4 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系A ,B ,C 都不发生CBACBA A ,B ,C 不都发生CBAABC例例5 5 在图书馆中随意抽取一本书，A表示数学书，B表示中文书，C表示平装书. 抽取的是精装中文版数学书CABBC 精装书都是中文书BA 非数学书都是中文版的，且中文版的书都是非数学书则事件 作业: P30 习题一 2 、5、7、9、11、13、 18。 在一次乒乓球比赛中设立奖金1千元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原因必须中止比赛.问这1000元应如何分配才算公平? 问问 题题1
