1、随机信号分析中国民航大学电子信息工程学院贾桂敏随机过程的时域分析平稳过程平稳过程两个随机过程两个随机过程复过程复过程随机过程的微积分随机过程的微积分各态历经过程各态历经过程高斯过程高斯过程随机过程的微积分随机序列的收敛随机序列的收敛过程的连续过程的连续过程的微分过程的微分过程的积分过程的积分1.距离空间X在所有的随机变量和过程组成的空间中，定义212,YXEYX，则可以证明它就是一种距离2范数范数到原点的距离表示xx3内积3.内积空间内积空间 XYEYX, 0,yx若若称称x，y正交。正交。2121,yxyx许瓦兹不等式随机空间中内积,XYEYX随机序列的收敛随机序列的五种收敛模式：随机序列的
2、五种收敛模式：lim( )nX nXlim ( ) 1nPX nXlim ( ) 0nP X nX2lim ( ) 0nE X nX)()(limxFxFnn1 1）处处收敛）处处收敛2 2）以概率）以概率1 1收敛收敛3 3）依概率收敛）依概率收敛4 4）均方收敛）均方收敛5 5）依分布收敛）依分布收敛( )eX nX .( )a eX nX ( )PX nX .( )M SX nX ( )dX nX ( )(1),(2),( ),X nXXX n随机序列：收敛模式间的关系随机序列的五种收敛模式的关系：随机序列的五种收敛模式的关系：均方收敛以概率1收敛依分布收敛依概率收敛处处收敛收敛性减收敛
3、性减弱弱随机过程的连续性X(t)的处处连续的处处连续普通函数普通函数 x(tx(t) )的处处连续的处处连续随机过程的处处连续随机过程的处处连续X(t)的均方连续的均方连续定义定义充要条件充要条件期望的连续性期望的连续性平稳过程的连续性平稳过程的连续性处处连续普通函数普通函数 的处处连续的处处连续000lim()()tx ttx t 则称函数则称函数x(tx(t) )在在t t0 0点是连续的。点是连续的。若若x(tx(t) )在区域在区域t t T T上每一点连续，则称上每一点连续，则称x(tx(t) )在区域在区域T T上连续。上连续。设函数设函数x(tx(t) )在点在点t t0 0的某
4、个邻域内是有定义的。当自变量的增量的某个邻域内是有定义的。当自变量的增量 t t趋向于趋向于0 0时，对应的函数的增量时，对应的函数的增量x(tx(t0 0+ +t)-x(tt)-x(t0 0) )也趋向于也趋向于0 0。即满足即满足随机过程随机过程X(tX(t) )的每一条样本函数的每一条样本函数X X（t,t, i i）是一个关于变量是一个关于变量t t的普通函数。如果对于的普通函数。如果对于每一条样本函数每一条样本函数X X（t,t, i i）在区域在区域t t T T上连续，则称上连续，则称随机过程随机过程X(tX(t) )在区域在区域T T上处处连续。上处处连续。0lim(,)( ,
5、)iitX ttX t 随机过程的处处连续随机过程的处处连续均方连续的定义0l i m()( )tX ttX t 以后讲以后讲随机过程连续随机过程连续就是指随机过程就是指随机过程均方连续均方连续。用下式符号表示均方连续：用下式符号表示均方连续：20lim()( ) 0tEX ttX t 则称随机过程则称随机过程X X（t t）在区域在区域t t T T上均方连续。上均方连续。如果随机过程如果随机过程X（t）的一阶矩和二阶矩都存在，的一阶矩和二阶矩都存在，并且在区域并且在区域 t T 上满足上满足随机过程的处处连续随机过程的处处连续随机过程的均方连续随机过程的均方连续均方连续的充要条件随机过程随
6、机过程X(t)在区域在区域t T上上均方连续均方连续随机过程随机过程X(t)在区域在区域 t1 , t2 T上的自相关函数上的自相关函数RX(t1,t2)在在( t1, t2 )上上二元连续二元连续随机过程随机过程X(t)在区域在区域 t1 , t2 T 上的自相关函数上的自相关函数RX(t1,t2)在在(t,t)上上二元连续二元连续 (t1t2t 对角线对角线)X(t)是一个随机过程，它的连续是是一个随机过程，它的连续是均方连续。均方连续。RX(t1,t2)在区域在区域 t1 , t2 T上关于上关于(t1, t2 )的二元普的二元普通函数，它的连续是通函数，它的连续是多元函数的连续多元函数
7、的连续。数学期望均方连续00lim()l i m()ttE X ttEX tt EX(tEX(t)是关于是关于t t的普通函数，其连续是的普通函数，其连续是一元函数的连续一元函数的连续。连续随机过程求极限与求期望次序可交换。连续随机过程求极限与求期望次序可交换。0lim()( )tE X ttE X t 如果随机过程如果随机过程X(tX(t) )是连续的（均方连续），则它是连续的（均方连续），则它的数学期望也是连续的。即的数学期望也是连续的。即普通函数的极限普通函数的极限过程的均方极限过程的均方极限平稳过程均方连续的充要条件平稳过程平稳过程X(t)在区域在区域t T上上均方连续均方连续平稳平稳
8、过程过程X(t)在区域在区域 T上的自相关函数上的自相关函数RX( )在在 T一元连续一元连续平稳平稳过程过程X(t)在区域在区域 T 上的自相关函数上的自相关函数RX( )在在 0点连续点连续上述结论是随机过程均方连续在平稳条件下的特例。上述结论是随机过程均方连续在平稳条件下的特例。随机过程的微积分随机序列的收敛随机序列的收敛过程的连续过程的连续过程的微分过程的微分过程的积分过程的积分处处可微普通函数的可微普通函数的可微000000()()()limlim()ttx tx ttx txttt 则称函数则称函数x x(t) 在在t t0 0点是可微的。点是可微的。如果如果x x(t) 在区域在
9、区域t t T T上每一点可微上每一点可微, ,则称则称x x(t) 在区域在区域T T上可微。上可微。设函数设函数x (t)在点在点t0的某个邻域内是有定义。的某个邻域内是有定义。t是邻域内的任意是邻域内的任意一点，满足一点，满足随机过程的处处可微随机过程的处处可微如果对于随机过程如果对于随机过程X(t)X(t)的每一条样本函数的每一条样本函数X(t,X(t, i i) )在区域在区域 t t T T上可微，则称上可微，则称随机过程随机过程 X(t) X(t)在区域在区域T T上处处可微。上处处可微。00( ,)(,)( ,)limlim( ,)iiiittX tX ttX tXttt 均方
10、可微的定义20()( )lim( ) 0tX ttX tEXtt 则称随机过程则称随机过程X X（t t）在区域在区域t t T T上均方可微。上均方可微。0()( )l i m( )tX ttX tXtt 或如果随机过程如果随机过程X（t）在区域在区域 t T 上满足上满足( )( )( )dX tX tX tdt的均方导数为：以后讲随机过程可微就是指随机过程以后讲随机过程可微就是指随机过程均方可微均方可微。符号符号用函数可微的符号。但意义上不同，其对象是随用函数可微的符号。但意义上不同，其对象是随机过程，不是普通函数。其机过程，不是普通函数。其求导结果是随机过程求导结果是随机过程。均方可微
11、的条件随机过程随机过程X(t)在区域在区域 t T 上上 均方可微均方可微随机过程随机过程X(t)在区域在区域 t1 , t2 T上的自相关函数上的自相关函数RX（t1，t2）在（在（t，t）上上 二元连续二元连续随机过程随机过程X(t)在区域在区域 t1 , t2 T 上的自相关函数上的自相关函数RX（t1，t2）在（在（t，t）上上 二元可微二元可微 （t1t2t） 随机过程随机过程X(t)在区域在区域 t T 上上 均方连续均方连续导数X(t)的性质Y(t)的数学期望的数学期望dttdXtXtY)()()(均方可微随机过程均方可微随机过程X(t)的导数为的导数为随机过程导数的数学期望等于
12、过程数学期望的导数。随机过程导数的数学期望等于过程数学期望的导数。随机过程的导数运算和期望运算的随机过程的导数运算和期望运算的次序可交换次序可交换。( ) ( )( ) ( )( )dX tdE X tE Y tEdE X ttdE X ttY(t)的自相关函数的自相关函数)()()()(),(212121tXtXEtYtYEttRY导数X(t)的性质)()()()(),(212121tXtXEtYtXEttRXY)()()()(),(212121tXtXEtXtYEttRYXX(tX(t) )和和Y(tY(t) )的互相关函数的互相关函数自相关函数和互相关函数间的关系自相关函数和互相关函数间
13、的关系121212121122( , )( , )( , )( , )XYYXXYRt tRt tRt tR t ttttt 12122( , )( , )XXYRtt tRt t12121( ,)( ,)XYXRtt tRt t其中其中平稳过程的导数平稳且均方可微过程平稳且均方可微过程X(t)的导数的导数Y(t)X(t)0)()()(XmtXEtXEtYEY(t)的数学期望的数学期望 为为0Y(t)的自相关函数的自相关函数22( )( )( )XYXRRR只与时间的间隔有关。只与时间的间隔有关。R RY Y(0)(0)存在存在 平稳过程平稳过程X(t)X(t)在区域在区域t t T T上均方
14、可微上均方可微实平稳过程均方可微实平稳过程均方可微 RX (0)0为什么？为什么？举例（均方可微）( )cos()X tt随机过程随机过程X X（t t）其中其中是常数是常数， 是服从（是服从（0 0，2 2 ）上的均匀）上的均匀分布的随机变量。分布的随机变量。求：求：X X（t t）导数的数学期望和自相关函数导数的数学期望和自相关函数随机过程的微分处处可微处处可微均方可微的定义均方可微的定义均方可微的条件均方可微的条件导数导数X(t)的性质的性质平稳过程的导数平稳过程的导数随机过程的积分定义定义积分的期望、均方值、方差积分的期望、均方值、方差积分的自相关函数积分的自相关函数均方积分的定义定积
15、分定积分0,0( )( )l i minbiiatniYX t dtX tt 变上限积分变上限积分0( )()tYtXu du广义积分广义积分( )( ) ( , )baY tXht d( , )ht权函数是一普通函数1212( ,)bbXaaRt t dt dt 可积条件：积分的期望、均方值、方差babadttXEdttXEEY)()(期望：期望：随机过程的积分运算和期望运算的次序可交换。随机过程的积分运算和期望运算的次序可交换。00( )( )( )ttE Y tEX u duE X udu( )( ) ( , )( ) ( , )bbaaE Y tEXht dE Xht dt均方值均方值
16、21212()(,)bbXaaE YRttdt dt 方差方差221212()()(,)bbXaaDYE YEYCttdt dt 积分的自相关函数广义积分广义积分 12002121),()()(),(ttXYdudvvuRtYtYEttR121212112212( ,) ( ) ( )(,) (, ) (,)YbbXaaRt tE Y t Y tRht htdd 变上限积分变上限积分举例（均方积分）( )cos()X tt随机过程随机过程X X（t t）其中其中， 是服从（是服从（0 0，2 2 ）上的均匀分布。）上的均匀分布。求求:Y:Y的期望和方差的期望和方差? ?10( )YX t dt
17、0EY 1cos1DY 随机过程的微积分随机序列的收敛随机序列的收敛过程的连续过程的连续过程的微分过程的微分过程的积分过程的积分五种收敛模式及其相互关系五种收敛模式及其相互关系处处连续处处连续均方连续（定义、条件、期望、平稳）均方连续（定义、条件、期望、平稳）处处可微处处可微均方可微（定义、条件、性质、平稳）均方可微（定义、条件、性质、平稳）均方积分（三种定义、期望、均方值、均方积分（三种定义、期望、均方值、方差、自相关）方差、自相关）习题必做题：必做题：2-162-17改题：改题：2-182-19XH表示学号的最后两位表示学号的最后两位例：例：040420524同学同学 XH242( )E X ttXH不好的书告诉你错误的概念，使无知者变得更无知。
