1、2.3 连续型随机变量连续型随机变量定义 设 X 是随机变量, 若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得xttfxFxd)()(其中F ( x )是它的分布函数则称 X 是 连续型 r.v. ，f ( x )是它的概率密度函数( p.d.f. ).连续型连续型 r.v.的概念的概念-10-550.020.040.060.08xf ( x)xF ( x )分布函数与密度函数 几何意义)(xfy p.d.f. f ( x )的性质的性质q 0)(xfq 1)(d)(Fxxf常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 p.d.f.q 在 f ( x ) 的连续点处，)()(xFx
2、ff ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率xxFxxFxFx)()(lim)(0000 xxxXxPx)(lim000)(0 xfxttfxFxd)()(积分)()(000 xxXxPxxf线段质量长度密度注意: 对于连续型r.v.X , P(X = a) = 0其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值)()(0aXxaPaXPaxaxxfd)(axaxxxfaXPd)(lim)(0000)( aXP命题命题 连续r.v.取任一常数的概率为零强调强调 概率为概率为0 (1) 的事件未必不发生的事件未必不发生(发生发生)(aX )(aXxa0 x事实上对于连续型 r.v
3、. X)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaP)()(aFbFbxf ( x)-10-550.020.040.060.08abaxxfd)()()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf ( x)-10-550.020.040.060.08a例例1 1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续r.v., 其 d.f.为其他, 01000,)(2xxcxf(1) 求常数 c (3) 已知一设备装有3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.)200015001700(XXP(2) 计算解解(1) 令1dd )(1000
4、2xxcxxfc = 1000)200015001700(XXP(2) )20001500,1700(XXP)20001500( XP)20001500( XP)17001500(XP170015002d1000 xx200015002d1000 xx51461.4706. 05124(3)设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时)15000()(XPAP31d1000150010002xx设在使用的最初1500小时三个电子管中损坏的个数为 Y31,3 B943231) 1 () 1(2133CPYP(1) 均匀分布均匀分布常见的连续性随机变量的分布常见的连续性随机变量的分布若 X 的 d.
5、f. 为其他, 0,1)(bxaabxf则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布均匀分布或称 ),(baUX X 服从参数为 a , b的均匀分布均匀分布. 记作X 的分布函数为1, 0abaxbxbxaax,xttfxFd)()(xf ( x)abxF( x)ba, ),(),(badcxabdXcPd1)(dcabcd即 X 落在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比. 这正是几何概型的情形. 进行大量数值计算时, 若在小数点后第k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作服从 的 r.v. 随机变量kkU1021,1021应用场合应用场合例
6、例2 2 秒表最小刻度值为0.01秒. 若计时精度是取最近的刻度值, 求使用该表计时产生的随机误差X 的 d.f. 并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率. 005. 0005. 0UX解解 X 等可能地取得区间005. 0005. 0其他, 0005.0,100)(xxf8.0100)004.0(004.0004.0dxXP所以上的任一值，则(2) 指数分布指数分布若 X 的d.f. 为其他, 00,)(xexfx则称 X 服从 参数为 的指数分布)(EX记作X 的分布函数为0,10, 0)(xexxFx 0 为常数1xF( x)0 xf ( x)0对于任意的 0 a 0,r0均为常数,
7、则称X服从分布,记为X G(,r)。01)(dxexrxr)21(1)1()!1()()1()1()(nnrrr分布为等待时间的分布概型。(4) 正态分布正态分布若X 的 d.f. 为xexfx222)(21)(则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布记作 X N ( , 2 ),为常数，0 亦称高斯(Gauss)分布N (-3 , 1.2 )-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.33f (x) 的性质的性质：q 图形关于直线 x = 对称, 即在 x = 时, f (x) 取得最大值21在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有拐点曲线 y = f
8、(x) 以 x 轴为渐近线曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状f ( + x) = f ( - x) 21)()(1)()(XPFFXP-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3q f ( x) 的两个参数：的两个参数： 位置参数即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)的形状不变化，只是位置不同 形状参数固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.若 1 3故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.例例6 6 某年高考生的成绩 X N(540,902) , 解解按高考成绩分等级. 高于630分为一等,进入重点大学本科 ;介于540630之间为二等, 进入本
9、科, 介于470540之间为三等, 进入专科, 低于470分为四等, 则落选 . 求等级分的概率分布.设随机变量Y表示等级分, 显然Y为四点分布905406301)630() 1(XPYP ,1587. 011 )0(1)630540()2(XPYP,3413. 05 . 08413. 0 )9/7(0)540470() 3(XPYP,2823. 02177. 05 . 02177. 0)9/7()470()4(XPYP所以Y的概率分布为Y 1 2 3 4P 0.1587 0.3413 0.2823 0.2177例例6 6 已知), 2(2NX且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P (
10、X 0 ).解一解一20)0(XP212224)42(XP)0(23 . 08 . 022 . 0) 0(XP解二解二 图解法0.22 . 0)0(XP由图-22460.050.10.150.20.3例例 3 原理设 X N ( , 2), 求)3|(|XP解解)33()3|(|XPXP33 33 13219987. 029974. 0一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 )的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小由3 原理知，1)(3,0)(3bbaa时时当6西格玛是20世纪90年代初期摩托罗拉公司最早倡导的商务举措。近年来更多的公司（如通用电气，索尼、联合信号）成功实施6
11、的故事更为华尔街所关注并津津乐道。平均每个6 项目的实施都会带来6位数的利润增长。3质量标准意味着：每小时丢失20000个邮件；每天15分钟饮用水无法达到卫生标准；每周5000个错误的外科手术；每天在全球各大机场有两次降落失误；每年200000次错误的医药处方；每月断电7小时。1 0.6827 317 3002 0.9545 45 5003 0.9973 2 7004 0.99 9937 635 0.99 999 943 0.576 0.99 999 9998 0.002规范界限 概率 每百万个机会的缺陷(DPMO)标准正态分布的上 分位数 z设 X N (0,1) , 0 1, 称满足)(z
12、XP的点 z 为X 的上 分位数 z常用数据645. 105. 0z96. 1025. 0z-3-2-11230.10.20.30.4 问问 题题在高为 h 的 ABC 中任取一点M , 点 M 到 AB 的距离为随机变量X , 求其密度函数 f (x). ABCh.M 问问 题题 上海某年有 9万名高中毕业生参加高考, 结果有5.4万名被各类高校录取. 考试满分为600分，540分以上有2025人 , 360分以下有13500人. 试估计高校录取最低分. 本节介绍了常用的连续型分布中指数分布具有无记忆性 , 那么在常用的离散型分布中有没有哪个分 思考思考 二二 附录附录 布也具有无记忆性？ 若没有, 则要说明没有的理由; 若有, 则需具体找出.提示设设X为只取自然数值的离散随机为只取自然数值的离散随机)()|(nXPmXmnXP由此试推由此试推 X 服从什么分布服从什么分布. .变量变量. .若若 X 的分布具有无记忆性的分布具有无记忆性, ,即即对任意自然数对任意自然数 n与与m, ,都有都有
