1、高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页）合肥市2022 年高三第一次教学质量检测 数学(理)试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分分. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分. 13.2 14.1或9 15.29 16.(1)13 ；(2)324 三、解答题：三、解答题： 17.(本小题满分本小题满分12分分) 在抽取的样本中，被认定为小微企业的频率为0.8，以此估计总体中被认定为小微企业的概率为0.8. 2016-2020年该创新小镇新增企业数共有120家，
2、估计2021年被认定为小微企业的共有968 . 0120家. 6分 由表中数据计算得3x ，24y ，7.5b ，1.5a ，所以1.57.5yx. 2022年，即当7x时，由线性回归方程可得54 y， 所以，估计2022年这个创新小镇新增企业的数量约为54家. 12分 18.(本小题满分本小题满分12分分) 解：(1)6sincos3sin2yxxx， 3sin 23f xx. 由222232kxkkZ得，5 1212kxkkZ， )(xf的单调递增区间为5 1212kkkZ，； 6分 (2)由3sin523AfA 得5sin3A . 2BA，A为锐角，2cos3A. 由正弦定理得sinsi
3、nabAB，即3sinsin2bAA，从而6cos4bA. 21coscos212sin9BAA ， 由余弦定理222cos2acbBac得，2191696cc， 解得73c. 12分 19.(本小题满分本小题满分12分分) 解：(1)取BE的中点为O，连接OA，OD. ABAE，AOBE. BECD，ADCD，ADBE. AOADA，BE平面AOD，BEOD. 在平面BCDE中，90BCD,CDBE,BEBC，又BEOD,BCOD. BECD，四边形BCDO为矩形，12CDOBBE. 6分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D A B D B C
4、C D A 高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 4 页）A BDCMEOx y z (2)平面ABE平面BCDE，交线为BE. 由(1)知，AOBE，AO平面BCDE，AOOE，AOOD. 由(1)知，OEOD，OAODOE，两两垂直. 以O为原点，直线OAODOE，分别为xyz， ，轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图. 由已知得D(0，2，0)，E(0，0，1)，M(11 1 2，)， 0 2 1DE，11 1 2DM， ，. 设平面MDE的一个法向量mxyz， ，. 由00m DEm DM，得2010.2yzxyz， 取1y ，则2z ，2x ，2 1 2m，. 平面ABE的一个法
5、向量为0 1 0n， 设平面MDE与平面ABE所成角为， 1|cos|cos3|m nm nmn ，从而2 2sin3. 12分 20.(本小题满分本小题满分12分分) 解：(1)因为 02p，是抛物线E的焦点，所以点M到点02p，距离为02px . 由已知得0005224pxxx，解得5p . 抛物线E的方程为210yx. 5分 (2)假设存在t满足题意，由题意可以判断，直线l的斜率存在且不为0，设其斜率为k， 则直线l的方程为yk xt，以线段AO为直径的圆的方程为220 xtxy. 由220()xtxyyk xt解得22211k tktBkk， 由2ACAB得C22212 11ktktk
6、k，由3ADAB得D22223 11ktktkk，. 代入抛物线E的方程得，422221 10421.109tkkkktk， 解得5125tk ，. 当12t 且直线l的斜率为55时，点BC，恰为线段AD的两个三等分点. 12分 21.(本小题满分本小题满分12分分) 解：(1) fx的定义域为(0,) 由 ln xfxxa得， 1xafx . 切点为(1，1)，且1a ，切线的斜率为2， 高三数学试题（理科）答案 第 3 页（共 4 页）从而所求切线方程为210 xy . 4分 (2)由(1)得， 1xafx . 不等式 2afxxf xx恒成立，即不等式1ln0aaxxx恒成立. 当0a
7、时，不等式1ln0aaxxx恒成立，满足条件； 当0a 时，(0,)x ，1ln0axxx恒成立，所以(0,)x ，2lnaxxx恒成立. 设 2lng xxxx，则 12 lngxxxx 1(1)2 lnxxx. 当01x，时， 0gx ；当1x，时， 0gx . g x在01，上单调递增，在1 ，上单调递减， 11ag，满足条件； 当0a 时，(0,)x ，1ln0axxx恒成立，所以(0,)x ，2lnaxxx恒成立. 由知， 2lng xxxx在0 1，上单调递增，在1 ，上单调递减. 0a ，11ae，111111(1)1(1)aaaaag eeeaeaaea. 2lnaxxx不恒成
8、立， 即0a 不满足条件. 综上得，1a ，或0a . 12分 22.(本小题满分本小题满分10分分) 解：(1)曲线1C的参数方程为3cossin xtyt，(t为参数) 由22cossin1tt得，2213xy，曲线1C的普通方程为2219xy. 曲线2C的极坐标方程为28 sin120，222sinxyy， 曲线2C的直角坐标方程为228120 xyy，即2244xy. 5分 (2)设3cos sinPtt，tR，记2C04， 22223cos0sin4PCtt22=9cossin8sin16ttt 2=8sin8sin25tt21=8 sin272t， 当1sin 1,12t 时，22
9、PC取最大值27， 224PQPC， PQ的最大值为23. 10分 高三数学试题（理科）答案 第 4 页（共 4 页）23.(本小题满分本小题满分10分分) 解：(1)由条件 21212321211.xxf xxxxxx ， ， 作出函数 yf x的图象和直线6y ，记交点为CD，. 易求57 6 622CD， ，=6CD. 如图，所围图形为梯形ABCD，梯形的高为3，另一底长为3， 封闭图形的面积为12736322S . 5分 (2)对Rx ，1y ， 213yf xy， 等价于Rx ，1y ， 231yf xy， 等价于 2minmin31yf xy. 11f xxxaa， 2344122126111yyyyyy ，当且仅当3y 时取等号， 16a，解得5a 或7a ， a的取值范围为(, 7 5,) . 10分
