1、2022-1-2812022-1-282 2.3 随机过程及其统计描述随机过程及其统计描述 随机变量与时间无关，随机过程与时间有关。随机变量与时间无关，随机过程与时间有关。 限于讨论：连续随机过程；实随机过程。限于讨论：连续随机过程；实随机过程。 2.3.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 设设 是一概率空间，是一概率空间，T 是一个实参数集，定义在是一个实参数集，定义在 T 和和 上的二元函数上的二元函数 ， 对于任意固定的对于任意固定的 , 是概率空间是概率空间上的随机变量；而对于任意的固定的上的随机变量；而对于任意的固定的Kos, x(t,kos)是概率空间上的是概率空间上的随机函
2、数随机函数,则称则称 为一随机过程，为一随机过程， 和和 都是变量。都是变量。 由随机过程的定义可知：由随机过程的定义可知： ， 是一随机变量；是一随机变量； ， 是一随机函数。是一随机函数。 可以看出其定义域和值域。可以看出其定义域和值域。 定义域为：定义域为：T和和Omiga，值域是，值域是R(),F,P)( t,xTt )( , tx ,Tt), , t (x t）（Tt ,txkk )(）（ , txii )(2022-1-2832.3.2 2.3.2 随机过程的统计描述随机过程的统计描述 图图2.102.10示出了连续随机过程的部分随机函数。示出了连续随机过程的部分随机函数。图2.1
3、0 连续随机过程的M个样本函数2022-1-284 随机过程用其概率密度函数进行统计描述。设随机过程用其概率密度函数进行统计描述。设 是随机过程是随机过程 在不同时刻的随在不同时刻的随机变量，其相应的机变量，其相应的N维联合概率密度函数为维联合概率密度函数为 对于任意的对于任意的 和任意时刻和任意时刻 ，其，其 是随机过程是随机过程 的完整数学描述。的完整数学描述。 说明说明 ： 今后为简明，符号简化。今后为简明，符号简化。 随机变量随机变量 ，简记为，简记为 ； 随机矢量随机矢量 ，简记为，简记为 ；其中第；其中第 个分量个分量 记为记为 ； )()()(21 ,tx, ,tx, ,txN)
4、(2121NNt ,t ,tx,x,xp；1N(1,2,3. )kt kN1212( , ,)NNp x xxt tt；)( , tx( , )x t )(xx)(xxkkx2022-1-285 随机过程随机过程 ，简记为，简记为 ； 时刻的随机变量时刻的随机变量 简记为简记为 。这样，随机过程的。这样，随机过程的 N 维联合概率密度函数简记为维联合概率密度函数简记为2.3.3 随机过程的统计平均量随机过程的统计平均量 随机过程的统计平均量用来表示随机过程的主要特性。随机过程的统计平均量用来表示随机过程的主要特性。其中，一阶矩和二阶矩最为重要。其中，一阶矩和二阶矩最为重要。 随机过程随机过程
5、的均值的均值 可将其理解为可将其理解为 的直流分量。的直流分量。 随机过程随机过程 的均方值的均方值 ,Tt , , tx )()(txTtk )( ,txk)(ktx)(2121NNt ,t ,tx,x,xp； xtxxptxEtx)d()()(；)(tx)(tx xtxpxtxEtx)d()()(222； tx2022-1-286 可将其理解为可将其理解为 的平均功率。的平均功率。 随机过程随机过程 的方差的方差 可将其理解为可将其理解为 的交流功率。的交流功率。 随机过程随机过程 的自相关函数的自相关函数 可将其理解为可将其理解为 与与 之间含有直流分量时的相关程度的之间含有直流分量时的
6、相关程度的度量。度量。 随机过程随机过程 的自协方差函数的自协方差函数 可将其理解为可将其理解为 与与 之间相关程度的度量。之间相关程度的度量。)(tx)(tx xtxptxttxEtxxx)d()()()()(2-22； )(tx)(tx)()(),(kjkjxtxtxEttrkjkjkjkjxxt ,tx,xpxx d)d(；)(jtx)(ktx)(tx )()()()()(kxkjxjkjxttxttxEt ,tc kjkjkjkkjjxxt ,tx,xptxtxd)d()()(；)(jtx)(ktx2022-1-287 随机过程的互相关函数随机过程的互相关函数随机过程随机过程 和和 ，
7、其互相关函数为，其互相关函数为 随机过程的互协方差函数随机过程的互协方差函数随机过程随机过程 和和 ，其互协方差函数为，其互协方差函数为 随机过程的平均统计量之间的关系随机过程的平均统计量之间的关系)(tx)(ty )()()(kjkjxytytxEt ,tr )(tx)(ty )(-)()(-)()(kykjxjkjxyttyttxEt ,tc )()(2t , trtxx )()(2t , tctxx )()()()(kxjxkjxkjxttt ,trt ,tc )(-)()(222tttxxx )()()()(kyjxkjyxkjyxttt ,trt ,tc 2022-1-288 2.3
8、.4 随机过程的平稳性随机过程的平稳性 1. 为讨论方便为讨论方便，将随机过程分为：严格平稳随机过将随机过程分为：严格平稳随机过程，广义平稳随机过程和非平稳随机过程三类。程，广义平稳随机过程和非平稳随机过程三类。 (1) 严格平稳随机过程严格平稳随机过程 则称其是是则称其是是N阶平稳的；如果对所有阶平稳的；如果对所有N1，2,都是都是平稳的，则称平稳的，则称 是严格平稳的随机过程。是严格平稳的随机过程。 对对1-d pdf，令，令 ，则有，则有由于由于 可为任意时刻，所以有可为任意时刻，所以有1212(, ,)NNtp x xxt tt若取任意有；限值1212(,)NNp x xxtt ttt
9、t；)(txjtt )()0 ;();();(xpxpttxptxpjjjt)()(xpt ,xp 2022-1-289 这说明严格平稳随机过程的一维概率密度函数与起这说明严格平稳随机过程的一维概率密度函数与起始时刻无关。始时刻无关。 令令 ，记，记 ，则有，则有 这说明严格平稳随机过程的二维联合概率密度函数这说明严格平稳随机过程的二维联合概率密度函数 仅与时间间隔仅与时间间隔 有关，而与起始时刻无关。有关，而与起始时刻无关。 ( 2) 广义平稳随机过程广义平稳随机过程 若随机过程若随机过程 满足满足 均值均值 自相关函数自相关函数jtt jktt )()(tt , ttx,xpt ,tx,x
10、pkjkjkjkj ；)()(0 x,xp ,x,xpkjkj； )(tx xtxE )(jkxkjttrtxtxE，)()()(2022-1-2810 则则 是广义平稳随机过程。是广义平稳随机过程。 (3) 非平稳随机过程非平稳随机过程 既不满足严格平稳、也不满足广义平稳的随机过程，既不满足严格平稳、也不满足广义平稳的随机过程，称为非平稳随机过程。称为非平稳随机过程。 2. 严格平稳与广义平稳随机过程的关系严格平稳与广义平稳随机过程的关系 二阶矩过程的定义：如果随机过程的一、二阶矩存在。二阶矩过程的定义：如果随机过程的一、二阶矩存在。 对二阶矩过程，严格平稳一定广义平稳；对二阶矩过程，严格平
11、稳一定广义平稳； 广义平稳不一定严格平稳，除非是高斯随机过程，广义平稳不一定严格平稳，除非是高斯随机过程， 这是高斯随机过程的重要特性之一。这是高斯随机过程的重要特性之一。 下面讨论一般指广义平稳随机过程。下面讨论一般指广义平稳随机过程。 3. 平稳随机过程的统计平均量及其关系平稳随机过程的统计平均量及其关系 (1) 统计平均量：统计平均量： (2) 主要关系：主要关系：)(tx)()(22c,r,xxxxx 2022-1-2811 4. 联合平稳随机过程及其统计特性联合平稳随机过程及其统计特性 (1) 设设 和和 分别是两个平稳的随机过程，如分别是两个平稳的随机过程，如果对任意的果对任意的
12、，其互相关函数，其互相关函数 2222)()(xxxxxxrc )0()0(22xxxxcr )()()()(ccrrxxxx )()0()()0(ccrrxxxx)(tx)(tyt2022-1-2812 则称则称 与与 是联合平稳随机过程是联合平稳随机过程,即互相关函数仅即互相关函数仅与时间间隔有关。与时间间隔有关。 (2) 联合平稳随机过程的主要特性联合平稳随机过程的主要特性 互协方差函数互协方差函数 互相关系数互相关系数 且有且有jkxykjyxkjyxttrtt , ttrt ,tr ，)()()()(tx)(ty( ,)( )( )xyjkx yx yxykjct tcrtt ，yx
13、yxyxc)()( )()(rrxyyx )()(ccxyyx 2022-1-2813练习题2022-1-2814答案2022-1-2815答案2022-1-2816答案2022-1-28172.3.5 随机过程的遍历性随机过程的遍历性 简言之，若简言之，若 的时间平均统计特性以概率的时间平均统计特性以概率1等于其总体平均统计等于其总体平均统计特性，则该特性，则该 是具有遍历性的随机过程。是具有遍历性的随机过程。 用途：用时间平均统计特性代替总体平均统计特性。用途：用时间平均统计特性代替总体平均统计特性。 )(tx)(tx2022-1-2818 2.3.5 随机过程的遍历性随机过程的遍历性 关
14、系：遍历性的随机过程一定是平稳的随机过程；关系：遍历性的随机过程一定是平稳的随机过程； 理论上平稳的随机过程不一定是遍历性的随机过程；理论上平稳的随机过程不一定是遍历性的随机过程； 但是，实际上平稳的随机过程一般具有遍历性。但是，实际上平稳的随机过程一般具有遍历性。2022-1-28192.3.6 随机过程的正交性、不相关性和统计独立性随机过程的正交性、不相关性和统计独立性 设随机过程设随机过程 的任意不同时刻的随机变量为的任意不同时刻的随机变量为 1. 定义：定义： (1) 相互正交性相互正交性 (2) 互不相关性互不相关性 或者或者 (3) 相互统计独立性相互统计独立性)(tx()1,2,
15、kx tkN，kjt ,trkjx ，0)(kjt ,tckjx ，0)(kj)ttt ,trkxjxkjx ，()()()(2121NNt ,t ,tx,x,xp；)()()(2211NNt ,xpt ,xpt ,xp 2022-1-2820 2. 关系关系 结论结论1 ： 若若 ， 则则 结论结论2 ： 若若 与与 相互统计独立，则二者必互不相关。相互统计独立，则二者必互不相关。 结论结论3： 若若 与与 互不相关，不一定相互统计独立，除非它们是互不相关，不一定相互统计独立，除非它们是联合高斯分布的。联合高斯分布的。 ）（N,ktkx210)( )()(kjxkjxt ,trt ,tc )
16、(jtx)(ktx)(jtx)(ktx2022-1-28212.3.7 2.3.7 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度 1.1.概念：概念：平稳随机过程不满足绝对可积条件，平稳随机过程不满足绝对可积条件，因而其频谱函数不存在；但其功率通常是有限因而其频谱函数不存在；但其功率通常是有限的，从而引出功率谱密度函数的，从而引出功率谱密度函数 。)(Px2022-1-28222. 均方连续的平稳随机过程的谱展开式均方连续的平稳随机过程的谱展开式 为均方连续的平稳随机过程的谱展开式。式中，为均方连续的平稳随机过程的谱展开式。式中， 是在是在 上的非负、有界、单调不减和右连续的函上的非负、有
17、界、单调不减和右连续的函 数，称为数，称为 的谱函数。的谱函数。 3. 的功率谱密度的功率谱密度 若存在函数若存在函数 ，使，使 成立，则称成立，则称 为为 的功率谱密度。的功率谱密度。 4. 维纳维纳辛钦定理辛钦定理 维纳维纳辛钦定理给出了辛钦定理给出了 的的 与与 的关系：的关系： Ferxjx，)(d21)()( xF)( ,)(tx)(tx( )xP vvPFxx，d)()()(tx)(tx)( xr)( xP)(Px2022-1-2823 ，d)()(jxxerP ，d)(21)(jxxePr( )( )xxrPFTIFT( ) ( ) dxxrr 即自相关函数绝对可积条件下2022
18、-1-2824 5. 5. 的性质的性质 的功率谱密度曲线下的总面积等于的功率谱密度曲线下的总面积等于x(tx(t) )的的平均功率。平均功率。)( xP0)( xP)()( xxPP )d()0(xxrP21(0)( )( )2xxrE x tPd( )x t2022-1-28256. 互功率谱密度互功率谱密度( )( )djx yxyPre ， ，d)(21)(jyxyxePr( ) dxyr 2022-1-28262.4 2.4 复随机过程及其统计描述（自学）复随机过程及其统计描述（自学） 1 1 复随机过程的概率密度函数复随机过程的概率密度函数 2 2 复随机过程的二阶统计平均量复随机过程的二阶统计平均量 均值均值/ /均方值均方值/ /方差方差/ /自相关函数自相关函数/ /自协方差函数自协方差函数/ /互相关函数互相关函数 互协方差函数互协方差函数/ /互相关系数互相关系数 3 3 复随机过程的正交性复随机过程的正交性/ /不相关性和统计独立性不相关性和统计独立性 4 4 复高斯随机过程复高斯随机过程
