1、1一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入用消元法解二元用消元法解二元(一次一次)线性方程组线性方程组:1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 22221211212111bxaxabxaxa(1)(2)(1) a22:a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,(2) a12:a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,两式相减消去两式相减消去x2, 得得(a11a22 a12a21) x1 = b1a22 b2a12;2211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 当当(a11a22 a12a21) 0时时,
2、方程组的解为方程组的解为:由方程组由方程组(1)的四个系数确定的四个系数确定由由4(2 2)个数个数排成二行二列排成二行二列(横排称横排称行行, 竖排竖排称称列列)的数表的数表a11 a12a21 a22(3)(4)则表达式则表达式 a11a22 a12a21 称为由数表称为由数表(4)所确定的二阶行所确定的二阶行列式列式, 并记作并记作22211211aaaa(5)类似地类似地, 消去消去x1, 得得(a11a22 a12a21) x2 = b2a11 b1a21;322211211aaaa22211211aaaaD = a11a22 a12a21即即主对角线主对角线副对角线副对角线二阶行列
3、式的计算二阶行列式的计算= a11a22 a12a21对于二元线性方程组对于二元线性方程组D称为线性方程组称为线性方程组(1)的的系数行列式系数行列式. 22221211212111bxaxabxaxa22211211aaaaD 若记若记(1)422211211aaaaD 22221211212111bxaxabxaxa2221211ababD 22211211aaaaD 22221211212111bxaxabxaxa2121112babaD ,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意: 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.22211211221
4、11122aaaababaDDx 则该二元线性方程组的解则该二元线性方程组的解(3)式式211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax (3)表示为表示为:5.1212232121 xxxx1223 D112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 解解:= 3 (4) = 7 0,6333231232221131211aaaaaaaaa,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaa
5、aaaaa(7)式称为由数表式称为由数表(6)所确定的所确定的.二、三阶行列式二、三阶行列式: 设设由由9(3 3)个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表(7)(6)333231232221131211aaaaaaaaaD 列列标标 行标行标7333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 三阶行列式的计算三阶行列式的计算8 说明说明2. 三阶行列式包括三阶行列式包括3!项项, 每一项都是位于每一项都是位于不不同行同行, 不同列不同列的三个元素的乘积的三个元素的乘积
6、, 其中三项为正其中三项为正, 三项三项为负为负. 注意注意: 红线上三元素的乘积冠以正号红线上三元素的乘积冠以正号, 蓝线上三元蓝线上三元素的乘积冠以负号素的乘积冠以负号说明说明1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.243122421-D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则按对角线法则, 有有D = 1 2 (2) + 2 1 (3) + (4) (2) 4 (4) 2 (3) 2 (2) (2) 1 1 4= 4 6 + 32 24 8 4 = 149. 094321112 xx方程左端为一个三阶行列式方程左端为一个三阶行列式, 其值为其值为:D
7、 = 3x2 + 4x + 18 12 2x2 9x = x2 5x + 6 由由D = x2 5x + 6 = 0 解得解得:x = 2 或或 x = 3. 10 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的引入的, 是线性代数中最基本的计算问题之一是线性代数中最基本的计算问题之一.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aa
8、aaaaaaa三、小结三、小结111.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 引例引例: 用用1, 2, 3三个数字三个数字, 可以组成多少个没有重可以组成多少个没有重复数字的三位数？复数字的三位数？这是一个大家熟知的问题这是一个大家熟知的问题, 答案是答案是: 3! = 6. 将此问题将此问题推广推广: 把把n个不同的元素按先后次序排成个不同的元素按先后次序排成一列一列, 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. 定义定义: 把把 n 个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列, 叫做这叫做这 n 个个元素的元素的全排列全排列(或或排列排列). n 个不同的元素的所有排列的种数个不同的元素的所
9、有排列的种数, 通常用通常用 Pn 表表示示, 称为称为排列数排列数. Pn = n (n1) (n2) 2 1 = n! 一、全排列一、全排列12二、排列的逆序数二、排列的逆序数 定义定义: 在一个排列在一个排列 i1 i2 is it in 中中, 若数若数 isit,则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序.例如例如: 排列排列32514 中中, 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序. 以以 n 个不个不同的自然数为例同的自然数为例, 规定由小到大为标准次序规定由小到大为标准次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序 定义定义: 一个排列中所有一
10、个排列中所有逆序逆序的总数称为此的总数称为此排列的排列的逆序数逆序数.133 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的逆序数为故此排列的逆序数为: 3+1+0+1+0 = 0+1+0+3+1 = 5.例如例如: 排列排列32514 中中,计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法:逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.14 方法方法: 依次计算出排列中每个元素前面比它大的依次计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数并求和数码个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数, 则则所有元素
11、的逆序数之总和即为所求排列的逆序数所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例例1: 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解: 在排列在排列32514中中, 3排在首位排在首位, 则则3的逆序为的逆序为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3, 故故2的逆序为的逆序为1;3 2 5 1 40 1 0 3 1没有比没有比5大的数大的数, 故其逆序为故其逆序为0;个个, 故其逆序为故其逆序为3; 4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个, 故逆序为故逆序为1.5的前面的前面1的前面比的前面比1大的数有大的数有3即即于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为 t = 0+
12、1+0+3+1 = 5.15解解:此排列为此排列为偶排列偶排列.例例2: 计算下列排列的逆序数计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性并讨论其奇偶性.(1) 217986354.2 1 7 9 8 6 3 5 40 1 0 0 1 3 4 4 5于是排列于是排列217986354的逆序数为的逆序数为:t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18.(2) n(n1)(n2) 21解解: n (n1) (n2) 2 1012(n1)(n2) ,21 nnt = 0+1+2+ +(n2)+(n1)于是排列于是排列n(n1)(n2) 21的逆序数为的逆序数为:16 此排列当此排列当 n=4k,
13、4k+1 时为偶排列时为偶排列; 当当 n=4k+2, 4k+3 时为奇排列时为奇排列.(3) (2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3) (k1)(k +1)k.(2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) (k1) (k+1) k解解:0121233(k1) (k1) kt = 0+1+1+2+2+ +(k1)+(k1)+k于是排列于是排列(2k)1(2k1)2(2k2) (k1)(k +1)k的逆序数为的逆序数为: .2122kkkk 此排列当此排列当 k 为偶数时为偶排列为偶数时为偶排列, 当当 k为奇数时为为奇数时为奇排列奇排列.171. n个不同的元素的所有排列种数为
14、个不同的元素的所有排列种数为n!个个;2. 排列具有奇偶性排列具有奇偶性;3. 计算排列逆序数常用的方法有两种计算排列逆序数常用的方法有两种.三、小结三、小结181.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式三阶行列式说明说明(1) 三阶行列式共有三阶行列式共有6项项, 即即3!项项. 说明说明(2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积的乘积. 说明说明(
15、3) 每项的正负号都取决于位于不同行不同每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列下标排列的逆序数列的三个元素的列下标排列的逆序数.19 例如例如 a13a21a32, 将行下标标准排列将行下标标准排列, 列下标排列列下标排列312的逆序数为的逆序数为.)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaat (312)=1+1=2, 偶排列偶排列. a13a21a32 的前面取的前面取+号号. 例如例如 a11a23a32, 将行下标标准排列将行下标标准排列, 列下标排列列下标排列132的逆序数为的逆序数为t (132)=0+1=1, 奇排列奇排列.
16、 a11a23a32的前面取的前面取号号.其中其中是对列下标的所有排列求和是对列下标的所有排列求和(3!项项), t 是列下标是列下标排列排列 p1p2p3 的逆序数的逆序数.20二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义: 设由设由 n2 个数排成一个个数排成一个 n 行行 n 列的数表列的数表作出表中位于不同行不同列的作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积个数的乘积, 并冠以并冠以符号符号(1)t, 得到形如得到形如 其中其中 p1p2 pn 为自然数为自然数1, 2, , n 的一个排列的一个排列, t为排列为排列p1p2 pn的逆序数的逆序数. nnppptaaa2121)1
17、( 的项的项, nnppptaaa2121)1(所有这所有这 n! 项的代数和项的代数和称为称为(由上述数表构成的由上述数表构成的) n 阶行列式阶行列式.nnnnnnaaaaaaaaa21222211121121nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 记作记作简记作简记作 det(aij). 数数 aij 称为行列式称为行列式 det(aij) (第第 i 行第行第 j 列列)的元素的元素. nnppptaaaD2121)1(即即 说明说明1. 行列式是一种特定的算式行列式是一种特定的算式, 它是根据求解它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定方程个数和未
18、知量个数相同的线性方程组的需要而定义的义的; 说明说明2. n 阶行列式是阶行列式是 n! 项的代数和项的代数和; 说明说明3. n 阶行列式的每项都是位于不同行阶行列式的每项都是位于不同行, 不同不同列列 n 个元素的乘积个元素的乘积,nnpppaaa2121的符号为的符号为(1)t; 220004003002001000 说明说明4. 一阶行列式的符号一阶行列式的符号 | a | = a, 不要与绝对值不要与绝对值符号相混淆符号相混淆, 一般不使用此符号一般不使用此符号.例例1: 计算对角行列式计算对角行列式.0004003002001000解解: 分析分析.展开式中项的一般形式是展开式中
19、项的一般形式是,43214321ppppaaaa, 011 pa从而这个项为零从而这个项为零,同理可得同理可得: p2=3, p3=2, p4=1.所以只能所以只能 p1=4;若若p1 4, 则则 432114321 t.24 即行列式中非零的项为即行列式中非零的项为:(1) t (4321) a14 a23 a32 a41即即23例例2: 计算计算上三角行列式上三角行列式.00022211211nnnnaaaaaa解解: 分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa所以非零的项只可能是所以非零的项只可能是: a11 a22 ann .从最后一行开始讨论非零项
20、从最后一行开始讨论非零项. 显然显然pn=n, pn1=n1, pn2=n2, , p2=2, p1=1, nnntaaa2211121 .2211nnaaa nnnnaaaaaa00022211211即即248000650012404321 D显然显然= 1 4 5 8nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa121111211222111000000 .2211nnaaa 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式对角行列式对角行列式;21n n 2125n 21 .12121nnn 26 行列式是一种根据特殊需要而定义的行列式是一种根据特殊需要而定义的特定算式特定算式. n 阶行列式共有阶行
21、列式共有n!项项, 每项都是位于不同行每项都是位于不同行, 不同列的不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积, 正负号由下标排列的逆序数决定正负号由下标排列的逆序数决定.三、小结三、小结27一、对换的定义一、对换的定义1.4 对对 换换 定义定义: 在排列中在排列中, 将任意两个元素对调将任意两个元素对调, 其余元素其余元素不动不动, 这种作出新排列的手续叫做这种作出新排列的手续叫做对换对换 将相邻两个元素对调将相邻两个元素对调, 叫做叫做相邻对换相邻对换.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bma1 a2 al a b1 bm b c1 cna1 a2 al b
22、 b1 bm a c1 cn二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系 定理定理1: 一个排列中的任意两个元素对换一个排列中的任意两个元素对换, 排列改排列改变奇偶性变奇偶性.例如例如28对换对换 a与与b即除即除 a, b 外外, 其它元素的逆序数不改变其它元素的逆序数不改变.证明证明: 先考虑相邻对换的情形先考虑相邻对换的情形.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bm例如例如因此因此, 相邻对换排列改变奇偶性相邻对换排列改变奇偶性.当当 ab 时时, 对换后对换后 a 的逆序数不变的逆序数不变, b 的逆序数减少的逆序数减少1;a1a2alab1b
23、mbc1cna1a2albb1bmac1cn对一般对换的情形对一般对换的情形, 例如例如对换对换 a与与b经过经过m次相邻对换次相邻对换, 排列排列a1a2alab1bmbc1cn对对换为换为a1a2alabb1bmc1cn,再经过再经过m+1次相邻对换次相邻对换, 对对换为换为a1a2albb1bmac1cn, 共经过了共经过了2m+1次相邻对换次相邻对换.29 所以所以, 由相邻对换的结果知由相邻对换的结果知: 一个排列中的任意两一个排列中的任意两个元素对换个元素对换, 排列改变奇偶性排列改变奇偶性. 推论推论: 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数奇排列变成标准排列的对换次数为奇数, 偶偶
24、排列变成标准排列的对换次数为偶数排列变成标准排列的对换次数为偶数.证明证明: 由定理由定理1知知, 对换的次数就是排列奇偶性的对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数, 而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0), 论成立论成立.因此因此, 推推下面讨论下面讨论行列式的另一种定义行列式的另一种定义形式形式.对于行列式的任一项对于行列式的任一项 ,12121njinpjpippptaaaaa 其中其中12ijn为自然排列为自然排列, 其逆序数其逆序数0, t 为列下标排为列下标排列列 p1p2pipjpn的逆序数的逆序数, ,12121nijnpipjppptaaaaa 成成与
25、与jijpipaa对换元素对换元素30 一般地一般地, 经过若干次对换行列式的任一项乘积元经过若干次对换行列式的任一项乘积元素的位置后得到的符号仍为素的位置后得到的符号仍为(1)t. ,12121nijnpipjppptaaaaa 此时此时, 行标排列行标排列12jin的逆序为奇数的逆序为奇数, 而列标而列标排列排列p1p2pjpipn的逆序也改变了一次奇偶性的逆序也改变了一次奇偶性. 换后换后行标排列逆序与列标排列逆序之和行标排列逆序与列标排列逆序之和的的奇偶性不变奇偶性不变, 即即t(1jin)+t(p1pjpipn)与与t(p1pipjpn)具具有相同的奇偶性有相同的奇偶性.因此因此,
26、对对 njinpjpippptaaaaa21211 因此因此, 总可以经过总可以经过若干次对换行列式的任一项若干次对换行列式的任一项, 得得 ,1121212121nqqqsnppptnnaaaaaa 故故其中其中 s 为行下标排列为行下标排列 q1q2 qn 的逆序数的逆序数.31 nqqqsnaaaD21211 定理定理2: n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中s为行标排列为行标排列q1q2qn的逆序数的逆序数, 并按行标排列求和并按行标排列求和.定理定理3: n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 nnqpqpqptaaaD22111 其中其中 t 为行标排列为行标排列 p
27、1p2pn与列标排列与列标排列 q1q2qn的逆的逆序数之和序数之和. 并按行标排列并按行标排列(或列标排列或列标排列)求和求和.因此因此, 我们可以得到行列式的另一种定义形式我们可以得到行列式的另一种定义形式:根据以上讨论根据以上讨论, 还可以如下定义还可以如下定义 例例1: 试判断试判断 a14a23a31a42a56a65 和和a32a43a14a51a25a66是否六阶行列式中的项是否六阶行列式中的项. 解解: a14a23a31a42a56a65的行标为顺序排列的行标为顺序排列, 列标排列列标排列的逆序数为的逆序数为:32 解解: 将将a23a31a42a56a14a65的行下标按标
28、准次序排列的行下标按标准次序排列, 则其列下标排列的逆序数为则其列下标排列的逆序数为:t (431265) = 0+1+2+2+0+1 = 6 (偶数偶数)所以所以 a23a31a42a56a14a65 的前边应带正号的前边应带正号.t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数偶数)所以所以 a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项. 将将a32a43a14a51a25a66的行下标按标准次序排列的行下标按标准次序排列, 则则其列下标排列的逆序数为其列下标排列的逆序数为:t (452316) = 0+0+2+2+4+0 = 8 (偶数偶数)所以所以 a3
29、2a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.例例2: 在六阶行列式中在六阶行列式中, 下列两项各应带什么符号下列两项各应带什么符号.(1) a23a31a42a56a14a65; (2) a32a43a14a51a66a25 .33 项项a32a43a14a51a66a25的行下标与列下标的逆序数之的行下标与列下标的逆序数之和为和为 t (341562)+t (234165) 例例3: 用行列式的定义计算用行列式的定义计算nnDn0000000010020001000 解解: 由于行列式由于行列式Dn每行每列中仅有一个非零元素每行每列中仅有一个非零元素, 所以所
30、以Dn =(1)t a1 n-1 a2 n-2 an-1 1 an n =(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)= 6+4 = 10 (偶数偶数)所以所以 a32a43a14a51a66a25的前边应带正号的前边应带正号.34Dn = (1)t 12(n1)n = (1)t n!即即而而t = t (n1)(n2)21 n = 0+1+2+ +(n3)+(n2)+0 = (n1)(n2)/2 !.1221nDnnn 所以所以三、小结三、小结1. 对换排列中的任意两个元素对换排列中的任意两个元素, 排列改变奇偶性排列改变奇偶性.2. 行列式的三种定义方法行列式的三种定义方法: n
31、qqqsnaaaD21211 nnqpqpqpraaaD22111 nnppptaaaD21211其中其中 r 为行标排列为行标排列 p1p2pn与列标排列与列标排列 q1q2qn的逆的逆序数之和序数之和. 并按行标排列并按行标排列(或列标排列或列标排列)求和求和.351.5 行列式的性质行列式的性质 一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式DT称为行列式称为行列式D的的转置行列式转置行列式. nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112nnTaaaD2211 记记证明证明: 记行列式记行列式 D=det(aij) 的转置行列式为的转置行列
32、式为: 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, 即即DT = D.36,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD 按定义按定义 .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD .12121 nppptnaaaD即即 bij=aji ( i, j=1, 2, , n),又由行列式的另一种表示得又由行列式的另一种表示得,所以所以, DT = D, 结论成立结论成立 说明说明: 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的结论式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立对列也同样成立. 互换行列
33、式的两行互换行列式的两行(列列), 行列式变号行列式变号.37设行列式设行列式,212222111211nnnnnnbbbbbbbbb nnninjnpnpipjpnijaaaaaaaaaaaaD11111111 nnnjninpnpjpipnjiaaaaaaaaaaaaD1111111 是由行列式是由行列式互换互换 i, j (i j)两列得到两列得到.即即, 当当 k i, j 时时, bpk= apk; 当当 k = i, j 时时, bpi= apj, bpj= api; P=1,2, ,n38于是于是 npjpipptnjibbbbD1111 npipjpptnjiaaaa111 n
34、pjpipptnijaaaa111 其中其中 t 为排列为排列 p1 pi pj pn的逆序数的逆序数, 设设 s 为排列为排列p1 pj pi pn的逆序数的逆序数. 显然显然 t 与与 s 的奇偶性不同的奇偶性不同, 即即(1)t = (1)s, 所以所以, npjpipptnijaaaaD1111 npjpippsnijaaaa111 D 571571266853825361567266853例如例如 825361567 39 推论推论: 如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)完全相同完全相同, 则此行列则此行列式为零式为零.证明证明: 互换互换相同的两行相同的两行, 则有则有D =
35、D, 所以所以D = 0. 行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有的元素都乘以中所有的元素都乘以同一数同一数k, 等于用数等于用数k乘此行列式乘此行列式.nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 即即行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素的公因子中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面可以提到行列式符号的外面. 性质性质4: 行列式中如果有两行行列式中如果有两行(列列)元素成比例元素成比例, 则则此行列式为零此行列式为零40证明证明:nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111
36、211. 0 nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 性质性质5: 若行列式的某一列若行列式的某一列(行行)的元素都是两数之的元素都是两数之和和, 例如例如nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 41nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111则则D等于下列两个行列式之和等于下列两个行列式之和: nqiqiqqqsniiaaaaaD)(12121 证明证明: nqiqqqsnqiqqqsniniaaaaaaaa 2121212
37、111故结论成立故结论成立.性质性质5的推广的推广: 若行列式的某一列若行列式的某一列(行行)的元素都是的元素都是n个数个数之和之和,则则D等于下列等于下列n个行列式之和个行列式之和.42nnnnninininniiiniiinaaaaaaaaaaaaaaaD21)() 2() 1 ()(2) 2(2) 1 (2)(1) 2(1) 1 (111211)()()( nnnniniinaaaaaaaaaD21)1()1(2)1(111211 nnnniniinaaaaaaaaa21)2()2(2)2(111211 nnnnninnininaaaaaaaaa21)()(2)(111211 43nnn
38、jjjnnnnjjjnnjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaD)()()()(2)2(2)1(2212)(2)2(2)1(222211)(1)2(1)1(11211 nnnjnnjnjaaaaaaaaaD)1(12)1(2211)1(111 nnnnjnnnjnnjaaaaaaaaa)(12)(2211)(111 nnnjnnjnjaaaaaaaaa)2(12)2(2211)2(111 性质性质6: 把行列式的某一列把行列式的某一列(行行)的各元素乘以同一的各元素乘以同一数然后加到另一列数然后加到另一列(行行)对应的元素上去对应的元素上去, 行列式不变行列式不变.44nnnjninnji
39、njiaaaaaaaaaaaa12222111111nnnjnjninnjjinjjiaakaaaaakaaaaakaaa)()()(1222221111111 k例如例如 引入记号引入记号: 用用 ri 表示第表示第 i 行行, ci 表示第表示第 i 列列. 在计算行列式时在计算行列式时, 我们经常利用我们经常利用性质性质2,3,6对行列对行列式进行变换式进行变换. 利用利用性质性质2交换行列式的第交换行列式的第 i, j 两行两行(列列), 记作记作ri rj ( ci cj ); 45 利用利用性质性质6把行列式的第把行列式的第 j 行行(列列)的各元素乘以同的各元素乘以同一数一数 k
40、 然后加到第然后加到第 i 行行(列列)对应的元素上去对应的元素上去, 记作记作ri + rj k ( ci + cj k ); 利用利用性质性质3行列式的第行列式的第 i 行行(列列)乘以数乘以数k, 记作记作ri k ( ci k );二、行列式计算二、行列式计算 计算行列式常用方法计算行列式常用方法: 利用性质利用性质2,3,6, 特别是性质特别是性质6把行列式化为把行列式化为上上(下下)三角形行列式三角形行列式, 从而从而, 较容易的较容易的计算行列式的值计算行列式的值46.2101044614753124025973313211 D例例1: 计算计算5阶行列式阶行列式解解:21010
41、44614753124022010013211 Dr2 + 3r1r3 2r12101044614753140202010013211 47210104435120140202010013211 2220035120140202010013211 r4 3r1r5 4r12220035120201001402013211 r2 r3482220021100201001402013211 2220001000201001402013211 r4 + r2r4 + r36200001000201001402013211 r5 + 2r3496000001000201001402013211 12
42、r5 + 2r4解解: 将第将第2, 3, , n 列都加到第列都加到第1列得列得:例例2: 计算计算 n 阶行列式阶行列式.abbbbabbbbabbbbaD abbbnababbnabbabnabbbbnaD1111 50 babababbbbna 1)1(00 .)()1(1 nbabna abbbabbbabbbbna1111)1( 第第2, 3, , n 行都减去第一行得行都减去第一行得:51例例3: 设设,0111111111111nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD ,11111kkkkaaaaD ,11112nnnnbbbbD 证明证明: D = D1D2. 证明
43、证明: 对对D1作行运算作行运算 ri + t rj , 把把D1化为下三角形化为下三角形行列式行列式:;0111111kkkkkpppppD 52.0111112nnnknqqpqqD 对对D2作列运算作列运算 ci+kcj , 把把D2化为下三角形行列式化为下三角形行列式:,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 先对先对D的前的前k行作行运算行作行运算 ri+trj , 然后对然后对D的后的后n列列作列运算作列运算 ci+kcj , 把把D化为下三角形行列式化为下三角形行列式:故故, D = p11 pkk q11 qnn= D1D2.53 例例4 计算计算2n
44、阶行列式阶行列式dcdcbabaDn 2其中未写出来的元素为其中未写出来的元素为0. 解：解：把把D2n 中的第中的第2n行依次与第行依次与第2n-1行行, , 第第2行行对调对调(作作2n-2次相邻对换次相邻对换)，5400000000)1(222dcdcbabadcbaDnn 再把第再把第2n列列, 第第2行对调，得行对调，得D2(n-1)55dcdcbabadcbaDnn00000000)1()22(22 根据例根据例3的结果，有的结果，有)1(2)1(222)( nnnDbcadDDD以此做递推公式，以此做递推公式，得得21)2(222)()(DbcadDbcadDnnn nbcad)
45、( 56 例例5 已知已知1326，2743，5005，3847都能被都能被13整整除，不计算行列式的值，证明行列式除，不计算行列式的值，证明行列式4783500534726231 D能被能被13整除。整除。 解：解：将第将第1列的列的1000倍，第倍，第2列的列的100倍以及第倍以及第3列的列的10倍都加到最后一列，可得倍都加到最后一列，可得3874783500500527434721326231 D根据行列式的定义，可得结论。根据行列式的定义，可得结论。57 行列式的行列式的6个性质个性质. 行列式中行与列具有同等的地行列式中行与列具有同等的地位位, 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成
46、立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 计算行列式常用方法计算行列式常用方法: (1) 利用定义利用定义; (2) 利用性质利用性质把行列式化为上把行列式化为上(下下)三角形行列式三角形行列式, 从而算得行列式从而算得行列式的值的值.三、小结三、小结581.6 行列式按行行列式按行(列列)展开展开 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa引例引例, 考察三阶行列式考察三阶行列式 3223332211aaaaa 33213
47、12312aaaaa 3122322113aaaaa .323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 在在 n 阶行列式阶行列式D中中, 把元素把元素 aij 所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列元素划去后列元素划去后, 留下来的留下来的 n1 阶行列式叫做阶行列式叫做(行列式行列式D的关于的关于)元素元素aij 的的余子式余子式, 记作记作 Mij . 即即59nnnjnjnjnnnijijijiiiinijijijiinijijijiiinjjjnjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD112111
48、1111121111211111111121121221222211111111211 nnnjnjnnnijijiiinijijiiinjjnjjijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaM1121111111211111111211212122221111111211 60例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 记记 Aij = (1)i+j Mij, 称称 Aij 为元素为元素 aij 的的代数余子式代数余子式.,4
49、4434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA 61 引理引理: 如果一个阶行列式如果一个阶行列式D的第的第 i 行元素除行元素除 aij 外外都为零都为零, 那么那么, 行列式行列式 D 等于等于 aij 与它的代数余子式与它的代数余子式 Aij的乘积的乘积, 即即 D = aij Aij . 行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式子式和唯一的一个代数余子式.nnnjnjnjnnnijij
50、ijiiiijnijijijiiinjjjnjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD11211111111211111111112112122122221111111121100000 = aij Aij .62证证: 当当 aij 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,nnnnnaaaaaaaD21222211100 又由于又由于 A11=(1)1+1M11=M11, 再证一般情形再证一般情形, 此时此时由上节例由上节例3, 即教材中的即教材中的P14的例的例10得得: D = a11M11 .从而从而 D = a11A11, 即结论成立即结论成立.63nnnj
