1、高中数学竞赛 大纲 应该掌握的内容和知识点1. 集合 ( set)1.1 集合的阶， 集合之间的关系。1.2 集合 的分划1.3 子集，子集族1.4 容斥原理2. 函数( function )2.2.1函数的定义域、值域2.2.2函数的性质3.1单调性3.2奇偶性3.3周期性3.4凹凸性3.5连续性3.6可导性3.7有界性3.8收敛性2.2.3初等函数5.1一次、二次、三次函数5.2幂函数5.3双勾函数5.4指数、对数函数2.2.4函数的迭代2.2.5函数方程3. 三角函数( trigonometric function )6.1 三角函数图像与性质6.2 三角函数运算6.3 三角恒等式、不等
2、式、最值6.4 正弦、余弦定理6.5 反三角函数6.6 三角方程4. 向量( vector )6.3.1向量的运算6.3.2向量的坐标表示，数量积5. 数列( sequence)8.1 数列通项公式求解9.1.1 换元法9.1.2 特征根法9.1.3 不动点法，迭代法9.1.4 数学归纳法，递归法6不等式( inequality )9.3.1解不等式9.3.2重要不等式9.5.1 均值不等式9.5.2 柯西不等式9.5.3 排序不等式9.5.4 契比雪夫不等式9.5.5 赫尔德不等式9.5.6 权方和不等式9.5.7 幂平均不等式9.5.8 琴生不等式9.5.9 Schur 不等式9.5.10
3、 嵌入不等式9.5.11 卡尔松不等式9.3.3证明不等式的常用方法15.1利用重要不等式15.2调整法15.3归纳法15.4切线法15.5展开法15.6局部法15.7反证法15.8其他7.解析几何( analytic geometry )15.13.1 直线与二次曲线方程15.13.2 直线与二次曲线性质15.13.3 参数方程15.13.4 极坐标系8立体几何( solid geometry )15.13.2.1空间中元素位置关系15.13.2.2空间中距离和角的计算15.13.2.3棱柱，棱锥，四面体性质15.13.2.4体积，表面积15.13.2.5球，球面15.13.2.6三面角8.
4、7 空间向量10.5 偏导数9. 排 列 ， 组 合 ， 概 率 ( permutations,combinatorics, probability )16.6.1排列组合的基本公式16.8.1加法、乘法原理16.8.2无重复的排列组合16.8.3可重复的排列组合16.8.4圆排列、项链排列16.8.5一类不定方程非负整数解的个数16.8.6错位排列数16.8.7Fibonacci 数16.8.8Catalan 数16.6.2计数方法映射法容斥原理递推法折线法算两次法母函数法16.6.3证明组合恒等式的方法Abel 法算子方法组合模型法归纳与递推方法母函数法组合互逆公式9.4 二项式定理概率独
5、立事件概率互逆事件概率条件概率全概率公式，贝叶斯公式现代概率，几何概率数学期望极限，导数( limits, derivatives )极限定义，求法导数定义，求法导数的应用判断单调性求最值判断凹凸性洛比达法则复数( complex numbers )复数概念及基本运算复数的几个形式复数的代数形式复数的三角形式复数的指数形式复数的几何形式复数的几何意义，复平面复数与三角，复数与方程单位根及应用平面几何( plane geometry)几个重要的平面几何定理梅勒劳斯定理塞瓦定理托勒密定理西姆松定理斯特瓦尔特定理张角定理欧拉定理九点圆定理圆幂，根轴三角形的巧合点内心外心重心垂心旁心费马点调和点列圆内
6、接调和四边形几何变换平移变换旋转变换位似变换对称变换(反射变换)反演变换配极变换几何不等式平面几何常用方法纯几何方法三角法解析法复数法向量法面积法多项式( polynomials )多项式恒等定理多项式的根及应用韦达定理虚根成对原理多项式的整除，互质拉格朗日插值多项式差分多项式牛顿公式单位根不可约多项式，最简多项式数学归纳法( mathematical induction )第一数学归纳法第二数学归纳法螺旋归纳法跳跃归纳法反向归纳法最小数原理7. 初等数论( elementary number theory )整数，整除同余素数，合数算术基本定理费马小定理，欧拉定理拉格朗日定理，威尔逊定理裴蜀
7、定理平方数中国剩余定理高斯函数指数，阶，原根二次剩余理论二次剩余定理及性质Legendre 符号Gauss 二次互反律不定方程不定方程解法同余法构造法无穷递降法反证法不等式估计法配方法，因式分解法重要不定方程一次不定方程(组)勾股方程Pell 方程p 进制进位制， p 进制表示16. 组合问题( combinatorics )组合计数问题(参见 9.1,9.2 )组合恒等式，不等式(参见 9.3)存在性问题组合极值问题操作变换，对策问题组合几何凸包覆盖分割整点图论图的定义，性质简单图，连通图完全图，树二部图， k 部图托兰定理染色与拉姆塞问题欧拉与哈密顿问题有向图，竞赛图组合方法映射法，对应法
8、，枚举法算两次法递推法抽屉原理极端原理容斥原理平均值原理介值原理母函数法染色方法赋值法不变量法反证法构造法数学归纳法调整法最小数原理组合计数法17.其他（ others） （了解即可，不作要求）微积分，泰勒展开矩阵，行列式空间解析几何连分数级数， p 级数，调和级数，幂级数其他1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点-费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点 -重心。三角形内到三边距离之积最大的点 -重心。几何不等式。简单的等周问题。了解
9、下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。几何中的运动：反射、平移、旋转。复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 第二数学归纳法。递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单
10、位根的应用。 圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。一元 n 次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里 得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性 质。3、立体几何多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体，欧拉定理。体积证法。截面，会作截面、表面展开图。4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。三角形的面积公式。 圆锥曲线的切线和法线。 圆的幂和根轴。5、其它 抽屉原理。 容斤原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。竞赛内容和方式1、 联赛分第一试和第二试。2、 第一试的内容不超出现行高中数学教学大纲，其中包括六道选择题、 六道填空题和三道解答题，难度维持在高考中高档试题的水平，能力要求略有提高。3、 第二试共有三道题。其中一道平面几何题、一道代数或数论题、一道组合题。内容 以竞赛大纲为准。8：00-9：20，一试；9：40-12：10，加试（也就是二试）
