1、2.1 梯度输送理论梯度输送理论K理论理论 (重点重点扩散方程两种解的基本假定与特点扩散方程两种解的基本假定与特点) 2.2 湍流扩散的统计理论湍流扩散的统计理论 (重点重点泰勒公式的导出泰勒公式的导出,扩散参数和扩散时间关系扩散参数和扩散时间关系)2.3 湍流扩散相似理论湍流扩散相似理论 2.4 各种扩散理论的比较各种扩散理论的比较 第二章小结（第二章小结（ 各种扩散理论的比较）各种扩散理论的比较）第二章第二章 湍流扩散基本理论湍流扩散基本理论 大气总处于湍流运动状态 污染物排入大气，存在浓度梯度，不均匀分布。 污染物随气流（风）整体输送，湍流混合作用将清洁空气卷入污染烟气，同时将污染烟气带
2、到周围大气中，通过湍流扩散、耗散、稀释，空气污染物浓度再分布。 空气污染物的散布是在大气边界层湍流场中进行的，空气污染物的散布过程就是大气输送与扩散的结果。 空气污染物散布的理论处理就是从大气湍流扩散的基本理论出发，对空气污染物散布过程作正确的数学物理估算。 对大气污染物散布过程进行理论处理： 可得污染物浓度计算公式进行预测和估算。 描述大气输送与扩散有两种基本途径，即欧拉方法和拉格朗日方法。 1）欧拉方法是相对于固定坐标系描述污染物的输送与扩散； 2）拉格朗日方法是跟随流体移动的粒子来描述污染物的浓度及其变化。u 欧拉方式，一种是传统的做法，即在气象塔的固定点上，当气流流过风杯风速表时测量风
3、和湍流。测量仪器不随空气移动。u 拉格朗日方式，跟随标记粒子1或2移动穿过湍流场的测量称之为拉格朗日方式的测量。 污染物的扩散是拉格朗日形式的过程，但测量往往采用欧拉方式。 欧拉方法处理，是相对于固定坐标系描述污染物的输送与扩散； 拉格朗日方法则是由跟随流体移动的粒子来描述污染物的浓度及其变化。 两种方法采用不同类型的描述空气污染物浓度的数学表达式，都能正确地描述湍流扩散过程。然而，每种方法都有一定的困难，从而影响到对空气污染物散布的精确模拟。 欧拉方法易于测量，可以有效地预测污染物浓度，但是，由雷诺方程导得的欧拉扩散方程组是不闭合的，为了求解必须采用适当的闭合方案并由此带来一系列的技术难点和
4、问题。 欧拉方法的主要问题和困难就是有个闭合问题。 拉格朗日方法的数学处理比欧拉方法容易些，不存在闭合问题。 但不易精确确定所需的粒子统计量。 研究平均运动规律，形成了湍流半经验理论； 研究脉动运动规律，形成了湍流统计理论。 采用不同的方法，形成不同的扩散理论 （三种大气扩散基本理论） 1）梯度输送理论（K理论) 2）统计理论 3）相似理论 应用于实际的是梯度输送理论和统计理论。 实际的大气扩散模式主要是由梯度输送理论推导出来的。 梯度输送理论（梯度输送理论（K理论）理论） 德国科学家德国科学家菲克菲克，在，在1855年发表了一篇题为年发表了一篇题为“论扩散论扩散”的著名论文。在这篇论文中，他
5、首先的著名论文。在这篇论文中，他首先提出了梯度扩散理论。他把这个理论表述为：提出了梯度扩散理论。他把这个理论表述为：“假定食盐在其溶剂中的扩散定律与在导体中发假定食盐在其溶剂中的扩散定律与在导体中发生的热扩散相同，是十分自然的。生的热扩散相同，是十分自然的。”它是一维的它是一维的大气扩散方程式，是经典的热传导方程式。大气扩散方程式，是经典的热传导方程式。 湍流梯度输送理论的基本假定是：湍流梯度输送理论的基本假定是：由湍流所由湍流所引起的局地的某种属性的通量与这种属性的局地引起的局地的某种属性的通量与这种属性的局地梯度成正比，通量的方向与梯度方向相反，比例梯度成正比，通量的方向与梯度方向相反，比
6、例系数系数 K 称为湍流交换系数。称为湍流交换系数。 统计理论统计理论 泰勒泰勒是湍流统计理论的创始人之一。他在是湍流统计理论的创始人之一。他在1921 年发表的论文中，首先应用统计学的方法来研究湍流年发表的论文中，首先应用统计学的方法来研究湍流扩散问题，提出了著名的泰勒公式。它把描写湍流的扩散问题，提出了著名的泰勒公式。它把描写湍流的扩散参数扩散参数 Y2(t)，和另一统计特征量相关系数，和另一统计特征量相关系数 R 建立建立起关系，只要能找到相关系数的具体函数，通过积分起关系，只要能找到相关系数的具体函数，通过积分就可求出扩散参数就可求出扩散参数Y2(t)，污染物在湍流中扩散问题就，污染物
7、在湍流中扩散问题就得到解决。得到解决。 萨顿萨顿首先找到了相关系数的具体表达式，应用泰首先找到了相关系数的具体表达式，应用泰勒公式，提出了解决污染物在大气中扩散的实用模式，勒公式，提出了解决污染物在大气中扩散的实用模式，成为这一领域的先驱者。成为这一领域的先驱者。 高斯烟流模式高斯烟流模式是在大量实测资料分析的基础上，是在大量实测资料分析的基础上，应用应用统计理论得到的统计理论得到的。它是目前应用较广的模式。它是目前应用较广的模式。 相似理论相似理论 湍流相似扩散理论，最早始于英国科学家湍流相似扩散理论，最早始于英国科学家理查理查逊和泰勒逊和泰勒。后来由于许多科学家的努力，特别是俄。后来由于许
8、多科学家的努力，特别是俄国科学家国科学家莫宁莫宁的贡献，使湍流扩散相似理论得到很的贡献，使湍流扩散相似理论得到很大发展。大发展。 湍流扩散相似理论的基本观点是，湍流扩散相似理论的基本观点是，湍流由许多湍流由许多大小不同的湍涡所构成，大湍涡失去稳定分裂成小大小不同的湍涡所构成，大湍涡失去稳定分裂成小湍涡，同时发生了能量转移，这一过程一直进行到湍涡，同时发生了能量转移，这一过程一直进行到最小的湍涡转化为热能为止最小的湍涡转化为热能为止。 从这一基本观点出发，利用量纲分析的理论，从这一基本观点出发，利用量纲分析的理论，建立起某种统计物理量的普适函数，再找出普适函建立起某种统计物理量的普适函数，再找出
9、普适函数的具体表达式，从而解决湍流扩散问题。我们把数的具体表达式，从而解决湍流扩散问题。我们把这种理论称为相似扩散理论。这种理论称为相似扩散理论。 1、半经验理论： 按照欧拉方法处理扩散问题，通常是遵循梯度输送理论的概念和思路实施的。 梯度输送理论处理空气污染物散布的基本思路,就是利用湍流半经验理论，将速度场的脉动量与平均量联系起来。 湍流半经验理论的一个基本假定是：由湍流引起的动量通量与局地风速梯度成正比，如比例系数K即湍流交换系数亦称湍流扩散系数。zukwu为流体密度为流体密度式中Ksx、Ksy、Ksz分别表示x、y、z三个方向的比例系数，即任意物理量（S）的脉动值与该特征量的平均值的梯度
10、成线性比例关系。 zSKSwySKSxSKSuszsysx推广用于任意物理量 S，则有： 湍流的半经验理论，是根据一些假设及实验结果建立湍流应力与平均速度梯度之间的关系，从而建立起湍流运动的封闭方程组。半经验理论在理论上有很大的局限性和缺陷，但在一定条件下往往能够得出与实际符合得较满意的结果，因此在工程技术中得到广泛的应用。 2、湍流扩散问题： 由湍流运动引起的污染物局地质量通量输送与污染物的平均浓度梯度成正比，如 Kx、Ky、Kx则分别为x、y、z三个方向的湍流扩散系数，故称K理论。这就是梯度输送理论（也称K理论）的基本关系式，也是导出湍流扩散方程的基础。zqKwqyqKvqxqKuqzyx
11、1湍流扩散方程湍流扩散方程 湍流扩散方程实质上是流体中扩散物质质量守恒定律的一种形式。因此可以根据连续方程，将式中的流体密度换成扩散物质的浓度q而得 )()()(zwqyqxuqtq（2.1）湍流扩散方程的另一推导方法： 湍流扩散方程实质上是流体中扩散物质质量守恒定律的一种形式。 利用质量守恒定律：分析小体元由于平均运动和湍流扩散而发生的物质交换。 取微小体积dxdydz，研究其中由于 平均流动和湍流扩散而产生的物质 交换情况。 单位时间流入质量（左边）： 单位时间流出质量（右边）：沿x方向污染物净变化量(流入流出)：uqudydzdydzdxxququdxdydzqux同理：y方向净变化量：
12、 z方向净变化量：单位时间微元里总变化量为：另一方面，微元内原有的污染物质量为 qdxdydz单位时间内的变化量（即变化率）为：由质量守恒得：dxdydzqvydxdydzqwzdxdydzzqwyqvxqudxdydztqqwzqvyquxtq 上述为连续方程 考虑由湍流引起的速度脉动和浓度涨落，即将速度和浓度写为平均值与脉动值之和)()()(zwqyqxuqtqwwwuuuqqq（2.1）(2.2)代入，取平均，整理得：类比分子扩散： Kx, Ky, Kz为湍流扩散系数zqKqwyqKqxqKquzyxzqwyqxquzqwyqxqutqzqwyqxquzqwyqxqutq(2.3)局地变
13、化平流输送项湍流扩散项u或此式右端项的意义是，单位时间通过单位面积向x，y，z方向输送的扩散物质的平均质量，即局地质量通量。运用梯度输送理论的闭合形式，对湍流脉动量用平均量表示，即有)()()(zqwyqxqudtqd式中 为污染物的平均浓度以毫克/米3表示；Kx、Ky、Kz分别表示坐标x、y、z方向的湍流扩散系数。 （2.4）式即为根据梯度输送理论导出的普遍形式湍流扩散方程，它说明流体中某物质的散布是由湍流扩散所引起的。 这样，对大气扩散问题的处理就成为在一定的边界条件下求解方程（2.4）的问题，这就是K理论发展的推动力之一。)()()(zqKzyqKyxqKxdtqdzyxq(2.4)二二
14、 扩散方程的两种解扩散方程的两种解 为处理大气扩散问题，需求解扩散方程，一个主要问题: 如何定 Kx、Ky、Kz假定和简化: )()()(zqKzyqKyxqKxdtqdzyx首先取最简单的情况，即假设流场在三个方向的扩散系数Kx、Ky、Kz为常数（即斐克扩散情形）； 若取坐标系使x轴与平均风向一致，z轴垂直向上，则有 ，(2.4) 简化为： 若平均风速很小，则（2.5)式可进步简化得此式表明:在给定条件下，可求解（2.5）式或（2.6）式。0w222222zqKyqKxqKxqutqzyx222222zqKyqKxqKtqzyx(2.5)(2.6)zqwyqxquzqwyqxqutq（一）瞬
15、时点源的解（一）瞬时点源的解1.无风瞬时点源的解无风瞬时点源的解 假定大气是静止的，即 ， 湍流扩散系数为常数，并且各向同性，即Kx=Ky=Kz=常数。若在t=0时，在坐标原点释放Q（克）的污染物质，则（2.6）式可化为 如果排放出来的污染物质具有保守性质，即在扩散过程中既不增加也不损失，在整个空间中总量保持不变，即满足连续性条件。)(222222zqyqxqKtq(2.7) Qdxdydzq0wu写成球坐标形式写成球坐标形式)(222rqrrrKtq2222zyxr取边界条件：1）当 时： 时 时 2）当 时 条件1）表示除了在排放源处（原点）空间任一点在开始排放的瞬间，污染物尚未扩散到该点
16、之前，浓度为零。条件2）表示当扩散时间足够长时，污染物质向无穷空间扩散，各点浓度趋近于零。0t0r0q0rqt0q在以上条件下，扩散方程（2.7）式的解为： 上式表示了一个在原点（0，0，0），t=0时刻瞬间喷放的烟团，在空间某点（x、y、z）处，在t=t时刻所造成的浓度。 说明一个烟团随时间膨胀稀释过程，其浓度在同一时间随距离增加按指数律减小，并呈三维正态分布。 KtrKtQzyxKtKtQtzyxq4exp)( 8)(41exp)( 8),(22/32222/3(2.8)令于是（2.8）可写成下面的形式 tKtKtKzzyyxx2,2,2222)222(exp)2(),(2222222/3
17、zyxzyxzyxQtzyxq(2.9) (2.9)表明：瞬时点源的浓度正比于源强Q，随距离增加按指数规律递减， 为x，y，z方向上浓度分布的标准差，称为扩散参数。 由于无风，烟团仅在原点膨胀扩散，(2.9)又称为静止烟团模式。)222(exp)2(),(2222222/3zyxzyxzyxQtzyxqzyx,(2.9)2、有风瞬时点源的解、有风瞬时点源的解 大气总是处于运动状态，取一个随平均风速沿x轴移动的坐标系，如图所示。0u 图中在原坐标系中坐标为（x，y，z）的一点，在移动坐标系中坐标是,),(zyt ux 有风时将源点放在移动坐标系的原点上，则有风瞬时点源的解便可由无风瞬时点源的一般
18、解得到。在移动坐标系中瞬时源的解和（2.9）式的形式一样。 移动坐标相对固定坐标而言，y，z未改变，x变成了 ，把移动坐标换为固定坐标表示，则得有风瞬时点源的解： 上式称为移动烟团模式。实用估计用此式。tux2222222/3222)(exp)2();,(zyxzyxzyt uxQtzyxq(2.10)（二）有风条件下连续点源的解（二）有风条件下连续点源的解1）坐标： 原点取在烟囱口上，取平均风沿x轴方向，即z轴垂直向上，y轴水平向与x轴相垂直。2）有风条件下，平流输送项比x方向上的湍流扩散项的作用大得多，即有 ，x方向的湍流扩散项可略去。3）Kx=Ky=Kz=K为常数4）定常条件 ， 于是扩
19、散方程（2.5）式变为22xqKxqux0tq222222zqKyqKxqKxqutqzyx (2.11)边界条件：连续条件： 源强Q2222zqKyqKxquzy.,0; 0,qzyxqzyx时时 Qqdydzu类似，(2.11)的解为： （2.12）上式是假定污染物在无界空间中扩散，不受任何界面限制的条件下导出的，称为无界情况下的扩散模式。222222exp2),(zyzyzyuQzyxq如图，连续点源浓度在下风方的y，z方向浓度均是呈正态分布。随下风距离x增加， 也增大，污染物散布范围不断扩大，浓度不断降低。zy,（上述理论结果与实验结果一致）实际为有界扩散 实际应用中，有时用烟流宽度和
20、高度表示水平和铅直扩散范围。 烟流宽度2y0定义为沿着y轴，污染物浓度下降到等于轴线浓度的1/10处的两点间的距离。 当污染物沿y方向浓度分布为正态分布时，坐标y处的浓度q可用下式表示 ： q0为中心轴线上的浓度。2202expyyqqyyyyyyeyqqy3 . 4215. 210/ 12exp10002220022据定义可得烟流宽度2y0和半宽y0与方差的关系。同理，有烟流高度2z0和半高z0分别为zzzz3 . 4215. 200上述求解过程中，假定Kx、Ky、Kz为常数，u与高度无关，这些都与实际不符；K理论把湍流扩散类比分子扩散，缺乏严格物理依据；假定湍流场均匀定常，实际大气很难满足
21、。问题 例如，它能利用实际的风场资料而不必求助于假设；它亦能比较系统、客观地求解出空气污染物的浓度分布；最后，它易于加入源变化、化学变化和其它迁移清除过程，故适于区域性较大尺度的大气输送与扩散沉积问题的处理。 梯度输送理论在实际中很有用，许多实用大气模式由此而来。优越zqKqwyqKqxqKquzyxzqwyqxquzqwyqxqutq)()()(zqKzyqKyxqKxdtqdzyx222222zqKyqKxqKxqutqzyxzqwyqxquzqwyqxqutq无风瞬时点源的解无风瞬时点源的解0wuKx=Ky=Kz=常数)(222222zqyqxqKtq)(222222zqyqxqKtqtKtKtKzzyyxx2,2,2222KtrKtQzyxKtKtQtzyxq4exp)( 8)(41exp)( 8),(22/32222/3)222(exp)2(),(2222222/3zyxzyxzyxQtzyxq有风瞬时点源的解有风瞬时点源的解 2222222/3222)(exp)2();,(zyxzyxzyt uxQtzyxq有风条件下连续点源的解有风条件下连续点源的解
