1、 有限元方法已被公认为应力分析的有效工具，受有限元方法已被公认为应力分析的有效工具，受到工程界科学研究者的广泛重视。现在的有限元软到工程界科学研究者的广泛重视。现在的有限元软件种类繁多，较为突出的有：件种类繁多，较为突出的有：MSC/NASTRAN、ANSYS、MARC、Algor、ABAQUS、等。、等。 本章主要通过板的平面应力问题介绍有限元基本本章主要通过板的平面应力问题介绍有限元基本方法。方法。yyxzxzyzyxxzxyzyzx zxyzxyzyx wvu 1.平面应力问题平面应力问题t/2t/2Oxyzy图图6-1222, 0, 0tzzytzzxtzz 因为板面上因为板面上(z=
2、 t/2 )不受力，所以有应力分量不受力，所以有应力分量 由于板很薄，故可以认为在整个薄板上所有各点由于板很薄，故可以认为在整个薄板上所有各点上都有：上都有：0, 0, 0zyzxz 根据剪应力互等定律：根据剪应力互等定律：0, 0yzxz 这样，板中任一点的九个应力分量就只剩下三个这样，板中任一点的九个应力分量就只剩下三个应力分量，即应力分量，即xyyxxy 因而这种问题称为平面应力问题。同时，由于板因而这种问题称为平面应力问题。同时，由于板很薄，所以这三个应力分量，以及分析问题时须考很薄，所以这三个应力分量，以及分析问题时须考虑的三个应变分量虑的三个应变分量 x 、 y 、 xy及和两个位
3、移分量及和两个位移分量u，v，都可以认为沿厚度不变化。这就是说，它们只是，都可以认为沿厚度不变化。这就是说，它们只是坐标坐标x和和y的函数，不随坐标的函数，不随坐标z的变化而变化。的变化而变化。 xyyx xyyx vu 在平面应力问题中，可用如下三个向量分别表在平面应力问题中，可用如下三个向量分别表板中任一点的应力、应变和位移；板中任一点的应力、应变和位移；(6-1)(6-2)(6-3) 在船体结构中，很多问题可以简化为平面应力在船体结构中，很多问题可以简化为平面应力问题处理。例如甲板开口、舷侧、横梁开孔和肘板问题处理。例如甲板开口、舷侧、横梁开孔和肘板的强度问题等等。的强度问题等等。 2.
4、2.基本方程式基本方程式 基本方程式包括平衡微分方程式、几何方程式和基本方程式包括平衡微分方程式、几何方程式和物理方程式，此外还有边界条件方程式。下面依次物理方程式，此外还有边界条件方程式。下面依次到处平面应力问题的这些方程式到处平面应力问题的这些方程式 xy xydxxxyxydyyxyxyydyyyydxxxxxCXYxy (1)平衡微分方程式平衡微分方程式 根据平衡条件导出的各应力分量之间的微分关根据平衡条件导出的各应力分量之间的微分关系就是平衡微分方程式系就是平衡微分方程式图图6-2021212121dydxdydxdyydxdydxdydxxyxyyyxxyxyxy 首先以通过中心首
5、先以通过中心C，并平行于，并平行于z轴的直线为矩轴，轴的直线为矩轴，列力矩平衡方程列力矩平衡方程 Mc=0。yxxy01111Xdxdydxdxdyydydydxxyxyyyxxxx 其次，以其次，以x轴为投影轴，列出力投影的平衡方程轴为投影轴，列出力投影的平衡方程 Fx=0：0Xyxxyx01111Ydxdydydydxxdxdxdyyxyxyxyyyy 其次，以其次，以y轴为投影轴，列出力投影的平衡方程轴为投影轴，列出力投影的平衡方程 Fy=0：0Yxyyxy 由此，得到平面应力问题的平衡方程由此，得到平面应力问题的平衡方程：00YyxXyxyyxxyx 这两个微分方程中包含三个未知数这两
6、个微分方程中包含三个未知数 x、 y、 xy = yx：因此，决定应力分量的问题是超静定，还必须：因此，决定应力分量的问题是超静定，还必须考虑变形情况才能解决问题。考虑变形情况才能解决问题。(6-4)xydyyvvdyyuudxxvvdxxuuPvPAABB (2)几何方程式几何方程式 下面从平面应力问题的几何学方面，导出应变下面从平面应力问题的几何学方面，导出应变分量与位移分量之间的关系式，即几何方程式。分量与位移分量之间的关系式，即几何方程式。O 线段线段PA的正应变的正应变：xudxudxxuux 线段线段PB的正应变的正应变：yvdyvdyyvvy(a)(b) 剪应变剪应变 xy：xy
7、 线段线段PA的转角为的转角为：xvdxvdxxvv 线段线段PB的转角为的转角为：yudyudyyuu 剪应变剪应变 xy：yuxvxy 式式(a)、(b)、(c)是应变分量与位移分量之间的关是应变分量与位移分量之间的关系式，现归纳为系式，现归纳为：yuxvyvxuxyyx称为平面应称为平面应力问题的几力问题的几何方程式，何方程式，又称柯西方又称柯西方程式程式(c)(6-5) 由式（由式（6-5）可见，当板内各点的位移分量）可见，当板内各点的位移分量u、v为已为已知函数时，就可确定各点的应变分量知函数时，就可确定各点的应变分量 x、 y、 xy；反之，；反之，假定三个应变分量函数，那么按式（
8、假定三个应变分量函数，那么按式（6-5）的前两个式子）的前两个式子就可以求出位移函数就可以求出位移函数u、v，若用此两个位移分量函数代，若用此两个位移分量函数代入第三个方程式求入第三个方程式求 xy，就会与假定的，就会与假定的 xy不同。这样就出不同。这样就出现了矛盾。这一矛盾是因为板内任一点的应变分量之间现了矛盾。这一矛盾是因为板内任一点的应变分量之间有相互联系所造成的，如果在假定各应变分量函数时不有相互联系所造成的，如果在假定各应变分量函数时不反映出这种联系，那就将使变形不连续，即板变形将发反映出这种联系，那就将使变形不连续，即板变形将发生空隙或裂缝。从数学上讲，式（生空隙或裂缝。从数学上
9、讲，式（6-5）的应变分量是三）的应变分量是三个，而位移分量只有两个，因此三个应变分量不能相互个，而位移分量只有两个，因此三个应变分量不能相互独立，而必然有一定的联系，这个关系叫应变协调方程独立，而必然有一定的联系，这个关系叫应变协调方程或应变相容条件。现推导如下：或应变相容条件。现推导如下： 应变相容方程或叫应变协调方程应变相容方程或叫应变协调方程：xvyuyxyxvyxuxyyx223232222yxxyxyyx22222 称为变形连续方程或圣维南方程称为变形连续方程或圣维南方程(6-6) （3）物理方程式）物理方程式 上面建立了二个平衡微分方程式和三个几何方上面建立了二个平衡微分方程式和
10、三个几何方程式，五个方程式中共有八个未知函数程式，五个方程式中共有八个未知函数 x、 y 、 xy 、u、v、 x、 y、 xy，尚需补充三个方程式才可能求，尚需补充三个方程式才可能求解。这三个方程式就是应变分量与应力分量之间的解。这三个方程式就是应变分量与应力分量之间的关系式，即物理方程式。物理方程式就是材料力学关系式，即物理方程式。物理方程式就是材料力学中广义虎克定律，平面应力状态下的广义虎克定律中广义虎克定律，平面应力状态下的广义虎克定律为：为：GEExyxyxyyyxx11xyxyxyyyxxGEE2211 或写成：或写成：(6-7)(6-8)xyyxxyyxE2100010112 用
11、矩阵形式表示为：用矩阵形式表示为： 简记为：简记为： D 2100010112ED称为平面应称为平面应力问题的弹力问题的弹性矩阵性矩阵(6-9)(6-10) （4）边界条件）边界条件 上述式（上述式（6-4）、（）、（6-5）、（）、（6-7）或（）或（6-8）一）一共有八个基本方程式。这八个基本方程式中包含八共有八个基本方程式。这八个基本方程式中包含八个未知函数（坐标个未知函数（坐标x,y的函数）；三个应力分量；三的函数）；三个应力分量；三个应变分量；两个位移分量。方程的数目恰好等于个应变分量；两个位移分量。方程的数目恰好等于未知函数的数目。因此，在适当的边界条件下，由未知函数的数目。因此，
12、在适当的边界条件下，由上述方程式求解未知函数是可能的。上述方程式求解未知函数是可能的。 根据边界条件的不同，平面应力问题分为位移根据边界条件的不同，平面应力问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。边界问题、应力边界问题和混合边界问题。 （4）边界条件）边界条件 在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是在全部边界上有：分量是已知的，也就是在全部边界上有：ssvvuu,式中，式中，us和和vs在边界上是坐标的已知函数。这就是平在边界上是坐标的已知函数。这就是平面应力问题的位移边界条件。面应力问题的位移边界条件。(6-11) （4
13、）边界条件）边界条件 在应力边界问题中，物体在全部边界上所受的在应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，也就是说，面力分量面力是已知的，也就是说，面力分量X和和Y在全部边在全部边界上是坐标的已知函数。根据面力分量与边界上应界上是坐标的已知函数。根据面力分量与边界上应力分量之间的关系，可以把面力已知条件转换为应力分量之间的关系，可以把面力已知条件转换为应力已知的条件，这就是所谓应力边界条件，推导如力已知的条件，这就是所谓应力边界条件，推导如下：下：xABPNXYYXxyyxyyxo 在物体边界上取直角三角形的微块在物体边界上取直角三角形的微块PAB，它的，它的斜面斜面AB与物体边界面
14、重合，如图与物体边界面重合，如图6-4所示。用所示。用N表示表示边界面的外法线法向，其方向余弦为：边界面的外法线法向，其方向余弦为：xABPNXYYXxyyxyyxomyNlxN,cos,cos 设该边界面设该边界面AB 的长度为的长度为ds，则截面，则截面PA和和PB的的长度分别为长度分别为lds和和mds，另设微块的厚度为，另设微块的厚度为1。由微。由微块的平衡条件块的平衡条件 Fx=0，得，得012111ldsmdsXmdsldsdsXyzxdslmXXmlyzx2Xmlsyzsx0ds),cos(),cos(ynmlmYxnlmlXxxysysyxsx 同理由微块的平衡条件同理由微块的
15、平衡条件 FY=0，得另外一方程式。，得另外一方程式。这两个方程式为：这两个方程式为： 式（式（6-12）就是平面应力问题的应力边界条件。）就是平面应力问题的应力边界条件。如果考虑第三个平衡条件如果考虑第三个平衡条件 FM=0，则可以再写出一则可以再写出一个方程式，但是在个方程式，但是在ds趋近于零时，设一方程式将成趋近于零时，设一方程式将成为剪应力互等方程式。为剪应力互等方程式。(6-12)021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE 1.解题方法简介解题方法简介 传统的弹性力学解题方法有三种：位移法，应立传统的弹性力学解题方法有三种：位移法，应立法和
16、混合法。法和混合法。 当平面应力问题按位移法求解时，以位移分量当平面应力问题按位移法求解时，以位移分量u、v为基本未知函数。将几何方程式（为基本未知函数。将几何方程式（6-5）代入物理）代入物理方程式（方程式（6-8），得应力分量与位移分量之间的关系），得应力分量与位移分量之间的关系式，再将所得关系式代入平衡微分方程式（式，再将所得关系式代入平衡微分方程式（6-4）和）和应力边界条件（应力边界条件（6-12），简化后得到：），简化后得到：(6-13)YlyuxvmxuyvEXmxvyulyvxuE21121122 和：和：(6-14)uYlyuxvmxuyvEXmxvyulyvxuE21121122u 当平面应力问题按应力法求解时，以应力分量为当平面应力问题按应力法求解时，以应力分量为基本未知函数。将几何方程式（基本未知函数。将几何方程式（6-5）代入物理方程）代入物理方程式（式（6-8），得应力分量与位移分量之间的关系式，），得应力分量与位移分量之间的关系式，再将所得关系式代入平衡微分方程式（再将所得关系式代入平衡微分方程式（6-4）和应力）和应力边界条件（边界条件（6-12），简化后得到：），简化后得到： 2.有限单元法概念有限单元法概念 （1）结构的离散化）结构的离散化 （2）单元的位移函数）单元的位移函数 （3）外力的移置）外力的移置
