1、二维傅立叶变换特殊函数的傅立叶变换 傅立叶变换的性质1傅立叶级数傅立叶积分与变换二维傅立叶变换意义2一个随时间变化的量可以分解成它的简谐分量某点随声波的通过而变化着的压强因光波、无线电波通过而变化的电场强度电压、电流等任何周期信号都可以变化成傅立叶级数的形式3tnjtntjnesincos)(2/2/0)(1dttfa4nnnnnnnnnnnnnntjngtndatncatnbtnatnbtnaatf)exp()sin()cos(sincossincos)(1010010周期函数周期函数l函数函数f(t)，周期周期 、基频、基频 =2 / ，频率，频率v= 1/ 2/2/cos)(1tdtnt
2、fan2/2/sin)(1tdtntfbn2/2/2exp)(1dtvtjtfgnf(t)f(t)满足狄利克雷条件，即在一个满足狄利克雷条件，即在一个周期内存在有限个极值点或第一类周期内存在有限个极值点或第一类间断点。间断点。对于非周期函数的频谱函数)()2exp()()()2exp()()(tfdtvtjtfvFdvvtjvFtf( )( )exp( 2)( )( )exp(2)( )( )g xG vjvx dvG vg xjvx dxG vg x为空间函数的频谱，光学信息处理的对象5什么是傅立叶变换？什么是傅立叶变换？正变换正变换逆变换逆变换对于一个二维物函数g(x,y)，其傅立叶变换也
3、为二维，记为G(u,v)：傅立叶正变换傅立叶逆变换 g(x,y)原函数 G(u,v)傅立叶变换函数6cosucosv) 1 ()(2exp),(),(dxdyvyuxjyxgvuG)2()(2exp),(),(dudvvyuxjvuGyxg空间频率空间频率变换存在的客观条件数学表述(绝对可积和狄里赫利条件)g(x,y)在全平面绝对可积在全平面只有有限个间断点，在有限区域有有限个极值没有无穷大间断点实际上，“物理的真实”是变换存在的充分条件直角坐标系下（特例）( , )( )( ),( , )( ) ( )xyf x yfxfyF u vF u F v若则二维傅立叶变换也可分离，即 Spatia
4、l domain frequency domain 空域 频域 spatial variable spatial frequency variable 空间变量 空间频率变量 8),(),(vuGyxg9l几何投影区： 光场分布与孔径形状相同l菲涅耳衍射区 衍射图中心产生明暗变化l夫琅禾费衍射区 相对强度不变、尺寸与距离成正比，幅度降低光学模拟f1f2，4F系统，输出面上得到等大实像1212,fyvfxu101L2Lf1f1f2f2yx1uv x y傅立叶处理器1傅立叶处理器2g(x,y)G(u,v)g(-x,-y)P1P2P3函数符号函数阶跃函数梳状函数其它特殊函数的傅立叶变换110000(
5、,)exp2 ()xxyyiuxvy12( , )1x y特例：)(2exp)(2exp),(00oovyuxidxdyvyuxiyyxx证明：1)00(2exp)(2exp),(idxdyvyuxiyx证明：物理意义：表示点源函数具有权重为1的最丰富的频谱特性。 在光学中，常用点光源检测系统的响应特性。( , )1x y如何求？1( , )1(0,0)f x y Fdxdyf( , )1x y即可得到？( , )exp 2 ()(,)( , )(0 0)f x yjuxvy dxdy dudvFuv dudvF u v dudvf ，13( ,y) ( ,y)dy(0,0)f xxdxf1:
6、1 ( , )1 exp 2 () ( , )Ff x y dxdyjuxvy dudv f x y dxdy 证明142( )11( )( )iuxFueduu证明：当a=0时，g(x)sgn(x),0( ),0,0axaxexg xaex令15uix1)sgn(axeaxeuix1)sgn(02200(2)(2)0(2)(2)0: ( )(2)(2)11(2)(2)axiuxaxiuxa iu xa iu xoa iu xa iu xF g xeedxe edxedxedxeeaiuaiuaiuaiu证明111F ( )=Fsgn(x)22ag xiuiui u当 =0时，161111:(
7、 )sgn( )( )2222step xxuiu所以uix1)sgn( )1x1711( )sgn( )22step xx方法：先将阶跃函数变换为已知傅立叶变方法：先将阶跃函数变换为已知傅立叶变换信号的组合，然后求其傅立叶变换换信号的组合，然后求其傅立叶变换方法：先将梳状函数展开为傅立叶级数形式，然后求其傅立叶变换傅立叶级数形式nnxfniCxgxcomb)2exp()()(0/20/21/21/21/21/21()exp(2)()exp(2)( )exp(2)( )exp(2)1XnnXnoCxni nf x dxXxni n x dxxi n x dxxi n x dxe18( )()e
8、xp( 2)nncomb xxni n x傅立叶变换2( )iuxedxu19-F( )Fexp( 2)exp( 2)exp(2)()( )nncomb xi n xi n xiux duuncomb u 梳状函数梳状函数 comb(x)的的 傅立叶变换傅立叶变换 仍为仍为梳状函数梳状函数 comb(u)20梳状函数的应用之一梳状函数的应用之一 ：复现：复现nnXx)(nnnXxgXxcombxgXnXxxg)()()(1)()(复现函数复现函数x0Xx0)(xg0X*21梳状函数的应用之二梳状函数的应用之二 ：抽样抽样x)()(nXxXXxcombnsnXxnXgXXxcombxgxg)()
9、()()()(抽样函数0Xx0)(xgx0X)(xgs正实数常数22抽样函数nsnXxnXgXXxcombxgxg)()()()()()()(xgxgsX nXxn)(nxg的抽样函数抽样间隙抽样点抽样值)(xg的抽样函数即即)(xgs是以抽样值为权重的 函数序列222( )sin ( )( )( )sin ( )sin ( )sin ( )( )sin ( )sin ( )( )( )( )sin( )( ) ( )sin( )sin( )rect xc urect x rect yc uc vc xrect uc xc yrect u rect vxc uxyc uc v231.线性性2.
10、缩放性3.位移性4.共轭性5.卷积定理6.函数导数的傅立叶变换7.相关定理8. Parseval 定理9.函数的矩 Moment2425（1）. 线性性线性性 Ag(x,y)+Bh(x,y) AG(u,v)+BH(u,v) dxdyvyuxiyxhBdxdyvyuxiyxgAdxdyvyuxiyxBhyxAg)(2exp),()(2exp),()(2exp),(),(提示：提示：将两个图像透明片置于相干光学处理器中，并在空间频率 平面放一正弦光栅T(p)=( 1+ sinap) /2 输出平面的光轴衍射出相减了的图像 f1(,) - f2(,)2627 g(ax,by)28),(1bvauGa
11、b)()()()(2exp),(1)(2exp),(bydaxdbybvaxauibyaxgabdxdyvyuxibyaxgg(-x,-y),(vuG称为称为 Inversion property : 反演性反演性意义：空域展宽、频域收缩；空域收缩、频域展宽意义：空域展宽、频域收缩；空域收缩、频域展宽提示：特例：当特例：当a = b = -1时时空域中的位移频域中的位移29 300000(,)exp 2 ()( , )g xxyyiuxvyG u v提示：000000000000(,)exp2 ()exp 2 ()(,)exp2()()() ()exp 2 ()( , )g xxyyiuxvy
12、dxdyiuxvyg xxyyiu xxv yyd xx d yyiuxvyG u v 说明：当物体在空域中有位移时，频谱的空间位置说明：当物体在空域中有位移时，频谱的空间位置不变，只存在位相的变化，称为不变，只存在位相的变化，称为“相移相移”频域中的位移由空域中的相移引起的例如：实现空域相移最简单的方法是改变入射角的方向，单狭缝在倾斜光照射下的频率改变入射光的角度，可实现衍射图像的横向位移),(),()(2exp0000vvuuGyxgyvxui31),(),(*vuGyxg3233ddyxhgyxhyxg),(),(),(),( 定义定义 定理定理),(),(),(),(vuHvuGyxh
13、yxg)()()(00 xxgxxxg 函数的卷积函数的卷积),().(),(),(),(yxgyxyxglklk34),()2()2(vuGviuilk（6）. 函数导数的傅立叶变换函数导数的傅立叶变换 证：证：),().(),(),(),(yxgyxyxglklk),(),(yxglk( , )( , )( , )k lF g x yFx y),(),(yxglk),()2()2(vuGviuilk定义定理*( , )( , )( , ) (,)g x yh x ygh xyd d 互相关*( , )( , )( , ) (,)g x yg x ygg xyd d 自相关352),(),(
14、),(vuGyxgyxg),(),(),(),(*vuHvuGyxhyxg表明一个函数的自相关与其功率谱构成傅立叶变换对表示功率谱是空间自相关函数的傅里叶变换空间自相关函数表征空间相距为(x,y)的两点之间场的相似性或关联性它是场的空间相干性的度量场的相干性较高时，功率谱的弥散就较小，表示光功率在频域内集中在很小的区域中(这样的光波可称为准单色光)；当场的相干性较差时，功率谱s 的弥散就较大，表示光功率在频域中分布在较大的区域内，包含较宽的波段),(),(),(),(),(),(),(*2yxgyxgvuGvuGvuGyxgyxh时，当3637dudvvuGddg22),(),(Proof：d
15、udvvuGddghgyxletdudvvyuxivuHvuGddyxhg22*),(),(, 0:)(2exp),(),(),(),(),(),(*),(),(vuHvuGyxhyxg（8）. Parseval 定理物理意义物理意义：在物理学上表述了物空间和象空间的能量守恒原理，也称瑞利定理表现了能量守恒定律在空域和频域中表达式的一致性若g(x,y)表光场的复振幅分布，则|g(x,y)|2代表光强的分布， 该积分式代表该光场在空间的总光能；|G(u,v)|2表示单位频率间隔的光能量，称功率谱gg则表示功率谱是空间自相关函数的傅立叶变换ddg2),(382个 定义: 傅立叶正变换、傅立叶逆变换9个 傅立叶基本性质及其概念： 线性，缩放及反演 ，位移 ，共轭，卷积 ，导数的变换 ，相关及自相关 ，矩 ，Parseval 定理特殊函数及其傅立叶变 换及应用39
