1、2022-3-815 力平衡微分方程o 一般情况下，变形体内各点的应力状态一般情况下，变形体内各点的应力状态 是是不同的，不能仅用一点的应力状态描述或表不同的，不能仅用一点的应力状态描述或表示整个变形体的受力情况。我们现在就要学示整个变形体的受力情况。我们现在就要学习，其余个点的应力张量。但是变形体内各习，其余个点的应力张量。但是变形体内各点间的应力状态的变化又不是任意的，其各点间的应力状态的变化又不是任意的，其各应力分量必须满足静力平衡关系应力分量必须满足静力平衡关系力平衡力平衡微分方程。微分方程。 ij2022-3-8212.1.1 直角坐标系的力平衡微分方程 o 设变形体内有两相邻点设变
2、形体内有两相邻点Q及及 ，Q点的坐标为点的坐标为x、y、z， 点的坐标为点的坐标为x+dx、y+dy、z+dz，通过通过Q及及 点各作互相垂直的三个坐标面，点各作互相垂直的三个坐标面，围成一个微分六面体。在此微分体上作用着围成一个微分六面体。在此微分体上作用着法线应力和切应力。法线应力和切应力。 QQQ2022-3-83zxyQQ2022-3-84Q点3个面上应力分量，如图所示X面Y面Z面2022-3-85分析Q1点在点在X面上的应力：面上的应力：o设通过设通过Q点的点的x平面上作用着平面上作用着 ，现在将，现在将x平面向前平移平面向前平移dx， 到到Q1点，通过点，通过Q1点的点的x平面上作
3、用着平面上作用着 zyxfx,zydxxfx,1222,! 21,dxxzyxfdxxzyxfzyxf可简化为可简化为 dxxxxx1泰勒级数展开可得zydxxfx,12022-3-86Q1点3个面上应力分量zydxxgxy,1zyxgxy,设Q点x面切应力Q1点在X面上向前平移dx，通过的x平面切应力222,! 21,dxxzyxgdxxzyxgzyxgdxxxyxyxy1化简为：2022-3-87分析Q1点在点在y面上的应力：面上的应力：设通过设通过Q点的平面上作用着点的平面上作用着 ，因为，因为Q1点延点延y轴平移轴平移dy，通过，通过Q1点的点的y平面上作用着平面上作用着 zyxfy,
4、1zdyyxfy,11222,1! 21,1,1dyyzyxfdxyzyxfzyxfdyyyyy1化简为：2022-3-88dzzyxgzx,31zyxgzx,3设Q点z面切应力Q1点在z面上向前平移dz，通过的z平面切应力222,3! 21,3,3dzzzyxgdzzzyxgzyxgdzzzxzxzx1化简为：分析Q1点在点在z面上的应力：面上的应力：2022-3-89Q1点3个面上应力分量如下：2022-3-8102022-3-811o 如果不考虑惯性力，按静力平衡如果不考虑惯性力，按静力平衡 0X0dzdydxzdydxdzydxdydzxzxyxxdydzdxxxxdxdydzzzxz
5、xdzdxdyyyxyxdydzxdxdyzxdzdxyx整理得整理得0zyxzxyxx2022-3-812o 同理，由同理，由 、 有类似的结果有类似的结果 0Y 0Z0zyxzyyxy0zyxzyzxz0iij0jijfi高速塑性加工时，高速塑性加工时，惯性力不可忽略惯性力不可忽略 求和约定得形式求和约定得形式 0zyxzxyxx 0Y 0Z 0X平面应力2022-3-813 变形体的某个平面上无应力，即z=0，zx=zy=0，这种状态称为平面应力状态。相应的应力张量为 此张量具有三个独立应力分量：x、y、xy（=yx）。0000000yx实际生产中薄壁管的扭转，薄壁容器受压力，板材的冲压，厚度方向应力较小，可以看成为平面应力状态。2022-3-814o 力平衡微分方程力平衡微分方程 0yxyxx0yxyxy2022-3-815o 力平衡微分方程反映了变形体内正应力的变力平衡微分方程反映了变形体内正应力的变化与切应力变化的内在联系和平衡关系，可化与切应力变化的内在联系和平衡关系，可用来分析和求解变形区的应力分布。用来分析和求解变形区的应力分布。 2022-3-816 柱面坐标系的力平衡微分方程 0 rzrrrzrrr02rzrrrzr0 rzrrrzzzrzrd rdrrrrdr drr dzzzrzr
