1、数学试题（第 1 页 共 4 页） 准考证号 姓名 . （在此卷上答题无效） 2022 年 3 月福州市高中毕业班质量检测 数 学 试 题 （完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 第 卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题
2、共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1. 若复数z满足1i4iz，则z在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 已知3 03 00 3ABC， ， ，则ABC外接圆的方程为 A2212xy B2214xy C2212xy D2214xy 3. 中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图： 则下列结论中不正确的是 A这一
3、星期内甲的日步数的中位数为 11 600 B乙的日步数星期四比星期三增加了 1 倍以上 C这一星期内甲的日步数的平均值大于乙 D这一星期内甲的日步数的方差大于乙 数学试题（第 2 页 共 4 页） 4. “0ab ”是“11abab”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5. 已知P是半径为 3cm 的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置0P开始，按逆时针方向做圆周运动， 角速度为2rad/s 如图， 以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy， 若03POx， 则点P的纵坐标y关于时间t（单位：s）的函数关系式为 A3sin 43yt B3sin2
4、3yt C3sin 43yt D3sin23yt 6. 从集合1 2 3，的非空子集中任取两个不同的集合A和B， 若AB ， 则不同的取法共有 A42 种 B36 种 C30 种 D15 种 7. 已知平面向量a b c，均为单位向量，且1ab，则 abbc的最大值为 A14 B12 C1 D32 8. 折纸是我国民间的一种传统手工艺术现有一张长10cm、宽8cm的长方形的纸片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为1S，2S若12:1:3SS ，则折痕长的最大值为 A89 cm B10cm C2 29 cm D2 34 cm 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本
5、题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9. 已知椭圆22:143xyC的左、右焦点分别为12FF，P为C上一点，则 AC的离心率为22 B12PFF的周长为 5 C1290FPF D113PF 10. 已知等差数列 na的前n项和为nS，公差0d 若6nSS，则 A10a B0d C60a D130S 11. 设函数 f x的定义域为R，1f x 为奇函数，1f x 为偶函数
6、， 当1 1x ，时， 21f xx ，则下列结论正确的是 A7324f B7f x 为奇函数 C f x在6 8，上为减函数 D方程 lg0f xx仅有 6 个实数解 xyOP0P3数学试题（第 3 页 共 4 页） 12. 已知正四面体ABCD的棱长为 3，其外接球的球心为O点E满足AEAB（01） ，过点E作平面平行于AC和BD，设分别与该正四面体的棱BC，CD DA，相交于点F G H， ，则 A四边形EFGH的周长为定值 B当12时，四边形EFGH为正方形 C当13时，截球O所得截面的周长为134 D四棱锥AEFGH的体积的最大值为223 第卷 注意事项： 用 0.5 毫米黑色签字笔
7、在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13. 已知函数 lnf xa xx在1x 处取得极值，则实数a 14. 如图，一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为 10cm，高为 20cm，则这个茶叶盒的表面积约为 2cm （精确到0.1，31.732） 15. 写出一个使等式sincos2sincos66成立的的值为 16. 已知抛物线2:4C yx的焦点为F， 过F的动直线l交C于A B，两点，过A B，分别作C的切线12ll，1l与2l交于点P经探究可知点P必在一条定直线上，其方程为 ；记1l，2l与y轴的交点
8、分别为M，N，若l的倾斜角为30，则四边形PMFN的面积为 （本题第一空 2 分，第二空 3 分 ） 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （10 分） 已知数列的前项和为，22a ，且214nnnSSa （1）求na； （2）求证：121112111naaa nannS11a 数学试题（第 4 页 共 4 页） 18. （12 分） 记ABC的内角A B C， ，所对的边分别为a b c，已知3sinsincosbCCC，3A （1）求c； （2）在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断该三角形是否存在？若存在，求出三角形的面积；若不存
9、在，说明理由 BC边上的中线长为22，AB边上的中线长为7，三角形的周长为 6 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19. （12 分） 如图， 在直三棱柱111ABCABC中， 点E为AB的中点， 点F在BC上，且3ACBCBF （1）证明：平面11AB F 平面1CC E； （2）若60ABC，12AAAB，且三棱锥11EAB F的体积为4 39，求CE与平面11AB F所成角的正弦值 20. （12 分） 某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加n（*nN，且2n）次抽奖，每次中奖的概率为13，不中奖的概率为23，且各次抽奖相互独立规定第 1 次抽奖时，若中奖则得 10
10、 分，否则得 5 分第 2 次抽奖，从以下两个方案中任选一个： 方案：若中奖则得 30 分，否则得 0 分； 方案：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得 5 分 第 3 次开始执行第 2 次抽奖所选方案，直到抽奖结束 （1）如果2n ，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由 （2）记顾客甲第i次获得的分数为iX（1 2in ， ，） ，并且选择方案请直接写出1()iE X与()iE X的递推关系式，并求8()E X的值 （精确到0.1） 参考数据：720.0593 21. （12 分） 平面直角坐标系xOy中， 双曲线22:136xyC的右焦点为F，T为直
11、线:1l x 上一点，过F作TF的垂线分别交C的左、右支于P Q，两点，交l于点A （1）证明：直线OT平分线段PQ； （2）若3PAQF，求2TF的值 22. （12 分） 已知函数 esinxf xaxxbxc的图象与x轴相切于原点 （1）求b c，的值； （2）若 f x在0 ，上有唯一零点，求实数a的取值范围 数学参考答案与评分细则（第1页 共11页） 准考证号 姓名 . （在此卷上答题无效） 2022 年 3 月福州市高中毕业班质量检测 数学参考答案及评分细则数学参考答案及评分细则 评分说明： 1 本解答给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与本解答不同， 可根据试题的主要考查
12、内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2 对计算题， 当考生的解答在某一步出现错误时， 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1B 2D 3B 4A 5D 6C 7B 8C 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 9CD 1
13、0BD 11ABD 12ABD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 20 分分 132 141719.6 158 （答案不唯一，82kk=+Z，任取一个值均可） 161x =，4 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17. （10 分） 【考查意图】本小题主要考查数列的通项与前n项和的关系式、等比数列的通项公式与前n项和公式、放缩法证明不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、 函数与方程思想； 考查逻辑推理、 数学运算等核心素养， 体现基础性、综合性满分 10 分 【解答
14、】（1）由214nnnSSa+=+得24nnaa+= 1 分 所以，当()*21nkk=N时，21214kkaa+=， 数学参考答案与评分细则（第2页 共11页） 所以数列21ka是首项为11a =，公比为 4 的等比数列， 2 分 故1211 4kka= ，即()211222122kkka = 3 分 当2nk=()*kN时，同理可得12122 42kkka= = 4 分 所以12nna=（*nN） 5 分 （2）证明：由（1）知11111212nnna=+， 7 分 所以12111111naaa+ 012111112222n+ 8 分 112112n= 9 分 12112= 10 分 18
15、. （12 分） 【考查意图】本小题主要考查解三角形等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分 【解答】（1）由3sinsincosbCCC=+得)3sin2sin(cBC=+， 3 分 又3A=，ABC+=, 所以()2sinsin2sinBBcB=， 5 分 而0B，故sin0B ，故2c = 6 分 （2）选， 方法一：设BC边上的中线为AD，则22AD = 由coscosADBADC= 得，22222222ADBDABADCDACAD BDAD CD+=， 7 分 数学参考答
16、案与评分细则（第3页 共11页） 即2221142424aab+= +，即2226ab=+， 9 分 由余弦定理2222cosabcbcA=+得2224abb=+， 10 分 即2220bb+=， 11 分 该方程无实数解， 故符合条件的三角形不存在. 12 分 方法二：设BC边上的中线为AD，则1()2ADABAC=+， 8 分 两边平方得2221(2)4ADABAB ACAC=+， 9 分 即211142 2242bb=+ +，即2220bb+=， 11 分 易知该方程无实数解， 故符合条件的三角形不存在. 12 分 方法三：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系 故C点坐标
17、为cos, sin33bb，即1322bb，B点坐标为()2,0， 8 分 所以BC边的中点坐标为13144bb+， 9 分 由BC边上的中线长为22得2221321442bb+=， 10 分 整理得2220bb+=， 11 分 该方程无实数解， 故符合条件的三角形不存在. 12 分 选， 设AB边上的中线为CF，则7CF = 在ACF中，由余弦定理得2222cosAFACAC AFACF=+， 即2712 1cos3ACAC= + ， 8 分 整理得260ACAC=， 9 分 解得3AC =或2AC = （舍去）. 10 分 数学参考答案与评分细则（第4页 共11页） 故ABC的面积S =1
18、133 3sin3 22222AC ABA= =. 12 分 选， 依题意得6ABBCCA+=，由（1）知2AB=， 所以4BCCA+=. 7 分 在ABC中，由余弦定理得，2222cosABCAAB CAABC=+， 所以222122 22CACACB=+ ， 即2242CACACB=+， 9 分 所以22(4)42CACACA=+， 解得，2BCCA=. 10 分 所以ABC的面积S =113sin2 23222AC ABA= =. 12 分 19. （12 分） 【考查意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，三棱锥的体积，直线与平面的夹角等基础知识；考查推理论证能力、运
19、算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分 【解析】（1）在直三棱柱111ABCABC中，1CC 平面111ABC， 111CCAB， 1 分 点E为AB的中点，且ACBC=，ABCE， 2 分 11ABAB，11AB CE， 3 分 1CECCC=， 11AB 平面1CC E， 4 分 11AB 平面11ABF， 平面11AB F 平面1CC E； 5 分 （2）60ABC=，ACBC=，ABC为正三角形 设ABt=，则122AAABt=， 由（1）可得，CE 平面11ABBA， 数学参考答案与评分细则（第5页 共
20、11页） 依题意得13BFBC=，故点F到平面11ABBA的距离为11333326CEtt=， 6 分 1 12111222EABSABAAttt= =， 1 11 11 12333113336618EE A B FFA B EA BVVStttt=， 7 分 三棱锥11EABF的体积为4 39， 334 3189t =，解得2t = 8 分 以E为原点，分别以EC EB，1AA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则()3,0,0C，()0,0,0E，()10, 1,4A，()10,1,4B，3 2,033F， ()3,0,0CE = ，()110,2,0A
21、B =，13 5, , 433AF=， 9 分 设平面11ABF的法向量为(), ,x y z=n， 则11100ABAF=nn，即20354033yxyz=+=， 令1z =，得()4 3,0,1=n， 10 分 124 3cos737CECECE=nnn， 11 分 CE与平面11ABF所成角的正弦值为4 37 12 分 20. （12 分） 【考查意图】本小题主要考查离散型随机变量的期望、推断与决策等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养，体现综合性、应用性与创新性满分 12 分 【解答】方法一： （1）若甲第
22、2 次抽奖选方案，两次抽奖累计积分为，则的可A1A1C1BBCEFxyz数学参考答案与评分细则（第6页 共11页） 能取值为40 35 10 5， ， ， 1 分 111(40)=339P=，212(35)=339P=， 122(10)=339P=，224(5)=339P=， 2 分 所以40702020150( )99999E=+= 3 分 若甲第 2 次抽奖选方案，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为 30,15,10，则 111(30)=339P=，21124(15)+=33339P=，224(10)=339P=， 306040130( )9999E=+=， 5 分 因为( )( )EE，
23、所以应选择方案 6 分 （2）依题意得1210()()33iiE XE X+=+， 7 分 1X的可能取值为 10，5 其分布列为 1X 10 5 P 13 23 所以120()3E X=，则110() 103E X=， 8 分 由1210()()33iiE XE X+=+得()()1210103iiE XE X+=， 10 分 所以()10iE X为等比数列，其中首项为103，公比为23 11 分 所以78102() 10( )33E X=，故78102()( ) +109.833E X= 12 分 方法二： （1）同解法一 6 分 （2）依题意得112210()2 ()5()3333iii
24、E XE XE X+=+ =+， 7 分 由（1）知()2709E X=，则 ()()8721033E XE X=+ 数学参考答案与评分细则（第7页 共11页） ()262210103333E X=+ 8 分 = ()65422102213333E X=+ 10 分 6621702103293313=+ 11 分 7102109.833= + 12 分 21. （12 分） 【考查意图】本小题主要考查双曲线的图象和性质、直线和双曲线的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合
25、性与创新性满分 12 分 【解答】方法一： （1）依题意，363Fx =+=，即()3 0F， 1 分 设()1 2Tt，则直线PQ的方程为3xty=+， 2 分 由22326xtyxy=+=，得()222112120tyty+=， 设()()1122P xyQ xy， ，则()22221014448 210ttt =， ，故212t ， 12122212122121tyyy ytt+=， 3 分 所以()121226621xxt yyt+=+=， 又直线PQ分别交C的左、右支于P Q，两点， 所以()()()221 21212122963339021tx xtytyt y yt yyt+=+
26、=+=，故212t 4 分 所以PQ中点为22362121tNtt， 5 分 数学参考答案与评分细则（第8页 共11页） 所以22ONOTkt kt=，故O T N， ，三点共线，即直线OT平分线段PQ 6 分 （2）依题意，由3PAQF=得()1213 3xx=，即1238xx+=， 7 分 所以()12284xxx+ =， ()121384xxx+ =， 8 分 得()()212121 231664 16xxxxx x+=， 9 分 所以()22222366963166416212121tttt+=， 10 分 解得283 74t+=，或283 74t=（舍去） 11 分 此时，22441
27、23 7TFt=+=+ 12 分 方法二： （1）依题意，依题意，363Fx =+=，即()3 0F， 1 分 直线PQ的斜率存在且不为 0，设其方程为()3yk x=（0k ） ，21Tk， 2 分 由()22326yk xxy =，得()222226960kxk xk+=， 设()()1122P xyQ xy， ，则()()242220364 9620kkkk =+， ，故22k ， 22121 222696022kkxxx xkk+=，22k 4 分 所以()121221262kyyk xxk+=+=，PQ中点为2223622kkNkk， 5 分 所以2ONkk=，2OTkk=，故O T
28、 N， ，三点共线，即直线OT平分线段PQ 6 分 （2）依题意，由3PAQF=得()1213 3xx=，即1238xx=， 7 分 所以()()22222222696383822kkxxxxkk+=，0，故22k ， 8 分 即()22222222789638222kkxxxkk+=， 数学参考答案与评分细则（第9页 共11页） 所以()()22222227878963822222kkkkkk+ =， 9 分 整理得4211166410kk+ =， 10 分 所以2183 74k+=，或2183 74k=（舍去） 11 分 此时，()2222211 304 1123 7TFkk=+=+=+
29、12 分 22. （12 分） 【考查意图】 本小题主要考查导数的几何意义、 函数的零点、 导数的应用等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性满分 12 分 【解答】 （1）( )e(sincos )xf xaxxxb=+， 1 分 依题意，(0)0(0)0ff=， 3 分 即1010bc=+=，解得1b =，1c = 4 分 （2）由（1）得()( )esincos1xfxaxxx=+，记()( )esincos1xg
30、xaxxx=+， ()( )e2cossinxg xaxxx=，所以(0)1 2ga= ， 当12a时， （）当02x，时，()( )e3sincos0 xg xaxxx=+，所以( )g x为增函数， 5 分 又因为( )00g，2e022ga=+， 所以存在唯一实数002x，使得()00g x= 6 分 （）当2x，时，2cossin0 xxx，则( )0g x. 数学参考答案与评分细则（第10页 共11页） 由（） （）可知，()00 xx，( )0g x，( )g x单调递减；()0 xx，( )0g x，( )g x单调递增 因为( )00g=，( )e 10ga=+ ， 所以存在唯
31、一实数()10 xx，使得( )10g x=， 7 分 所以当()10 xx，时，( )0g x ， 即( )0fx，( )f x单调递减；()1xx，( )0g x ，即( )0fx，( )f x单调递增 因为( )00f=，( )e 10f= ， 所以存在唯一实数()21xx，使得()20f x=， 即( )f x在()0 ，上有唯一零点，符合题意. 8 分 当12a时， ( )1esin1esin12xxf xaxxxxxx=， 9 分 记( )1esin12xh xxxx=，()0 x，. ( )()1esincos12xh xxxx=+， 所以( )011ecossinecossin
32、022xhxxxxxxx=+， 10 分 所以( )h x为增函数，( )()01esin00cos0102h x+ =， 所以( )h x为增函数，( )01e0 sin00 102h x =，则()0 x， ，( )0f x ， 所以( )f x在()0 ，上没有零点，不合题意，舍去. 11 分 综上，a的取值范围为12+， 12 分 解法二： （1）同解法一 4 分 （2）同解法一 8 分 当12a时，( )1esin1esin12xxf xaxxxxxx=， 9 分 当()0 x，时，下面证明不等式sinxx成立， 数学参考答案与评分细则（第11页 共11页） 设( )()sin0 m
33、 xxx x=，则( )1 cos0m xx= ， 所以( )m x递增，所以( )0sin00m x=，即sinxx， 所以( )21e12xf xxx； 记( )q x =21e12xxx，则( )q x=e1xx， 下面证明不等式e1xx+()0 x成立， 设( )()e10 xp xxx=，则( )e10 xp x= ， 所以( )p x递增，所以( )0e0 10p x =，即e1xx+ 10 分 所以( )0q x， 所以( )q x为增函数，则( )021e00 102q x =，即( )0f x ， 所以( )f x在()0 ，上没有零点，不合题意，舍去 11 分 综上，a的取值范围为12+， 12 分
